2020高考浙江专用精准提分二轮：第1篇-第4练-平面向量

第一篇小考点抢先练，基础题不失分第4练平面向量第一篇小考点抢先练，基础题不失分第4练平面向量明晰考情1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查向量的有关知识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度.明晰考情核心考点突破练栏目索引易错易混专项练高考押题冲刺练核心考点突破练栏目索引易错易混专项练高考押题冲刺练考点一平面向量的线性运算要点重组

(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘.(2)共线向量定理.(3)平面向量基本定理.方法技巧

(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得

且s＋t＝1，s，t∈R.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.核心考点突破练考点一平面向量的线性运算要点重组(1)平面向量的线性运算√解析作出示意图如图所示.答案解析12345故选A.√解析作出示意图如图所示.答案解析12345故选A.答案解析√12345答案解析√12345√答案解析12345√答案解析1234512345∵M，N分别为BC，CD的中点，12345∵M，N分别为BC，CD的中点，1234512345则－1·2x－3(1－x)＝0，解得x＝3.答案解析123453则－1·2x－3(1－x)＝0，解得x＝3.答案解析1234答案解析12345－2答案解析12345－2考点二平面向量的数量积要点重组

(1)a·b＝|a||b|cosθ.方法技巧

(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.考点二平面向量的数量积要点重组(1)a·b＝|a||b|6.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为

√解析b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，答案解析6789106.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，答案解析√678910答案解析√678910解析方法一

(解析法)图①678910解析方法一(解析法)图①678910故选B.方法二(几何法)图②678910故选B.图②678910又当点P在线段AD上时，故选B.678910又当点P在线段AD上时，故选B.678910A.30° B.45°C.60° D.120°又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.答案解析√678910A.30° B.45°又∵0°≤∠ABC≤180°，9.(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤

，则a·b的最大值是____.解析由已知可得答案解析由于上式对任意单位向量e都成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.6789109.(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2答案解析16678910答案解析16678910以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，678910以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，678910678910678910考点三平面向量的综合应用方法技巧

(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.考点三平面向量的综合应用方法技巧(1)以向量为载体的综合解析因为BC的垂直平分线交AC于Q，√答案解析1112131415解析因为BC的垂直平分线交AC于Q，√答案解析111213当且仅当M点与O点重合时取等号，故选C.12.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝120°，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则

的最大值为

√答案解析1112131415当且仅当M点与O点重合时取等号，故选C.12.如图，半径为1答案解析√1112131415答案解析√1112131415∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，1112131415∵B，D，E，C共线，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，1112答案解析√1112131415答案解析√1112131415以线段PnA，PnD

作出平行四边形AEDPn

，如图，1112131415以线段PnA，PnD作出平行四边形AEDPn，如图，11即xn＋1＝2xn＋1，∴xn＋1＋1＝2(xn＋1),则{xn＋1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以x4＋1＝2×23＝16，所以x4＝15.故选A.1112131415即xn＋1＝2xn＋1，1112131415答案解析1112131415答案解析1112131415解析在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，化为4m2－8mcos∠ACB＋1≥0恒成立.1112131415解析在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，化为4m111213141511121314151.对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是

A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2

D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2易错易混专项练解析选项B中，当向量a，b反向及不共线时，√答案解析1.对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是易错易混专项答案解析√答案解析√故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________________.答案解析3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的4.向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，若|λa－b|的最小值为2(λ∈R)，则a·b＝____.答案解析8解析向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，即a·b＝b2.化为16λ2－2λa·b＋a·b－4≥0对于λ∈R恒成立，∴Δ＝4(a·b)2－64(a·b－4)≤0，化为(a·b－8)2≤0，∴a·b＝8.4.向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，若|λa－解题秘籍

(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质.(2)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC中，

的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和a·b＞0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).解题秘籍(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理1.(2018·金华模拟)已知平面向量a，b，c，满足

且|a|＋|b|＋|c|＝4，则c·(a＋b)的最大值为

A.1 B.2C.3 D.4√答案解析123456789101112高考押题冲刺练1.(2018·金华模拟)已知平面向量a，b，c，满足 可得〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°，将|a|＋|b|＋|c|＝4两边同时乘以|c|，可得|a||c|＋|b||c|＝－|c|2＋4|c|，123456789101112可得〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°，将|a|＋|b|答案解析123456789101112√答案解析123456789101112√123456789101112所以θ＝∠BCA.123456789101112所以θ＝∠BCA.123456789101112123456789101112A.(－1，＋∞) B.(－1,3)C.(0，＋∞) D.(0,3)√答案解析123456789101112A.(－1，＋∞) B.(－1,3)√答案解析12345解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，0)，∠CBD＝θ，则C(3，b)，D(a－1，b),则3－(a－1)＝a，解得a＝2.所以D(1，b)，C(3，b).123456789101112当b→0时，cosθ→－1，得BM→－1.当b→＋∞

时，θ→0，得BM→＋∞.故选A.解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平√答案解析123456789101112√答案解析123456789101112解析由题意∠C＝45°，所以∠AOB＝90°，以OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A(1,0)，B(0,1)，则C在圆O的优弧AB上，123456789101112解析由题意∠C＝45°，所以∠AOB＝90°，1234565.(2018·浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三点A，B，C，则

的值为

A.正数

B.负数C.0 D.以上说法都有可能√答案解析1234567891011125.(2018·浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三123456789101112123456789101112√所以AO平分∠BAC，所以平行四边形AMON为菱形，且λ1>0，λ2>0，答案解析123456789101112√所以AO平分∠BAC，所以平行四边形AMON为菱形，且λ17.(2018·浙江省新昌中学、台州中学等联考)如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB＝2，过A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则

的最大值是

A.2 B.1C.0 D.－1√答案解析1234567891011127.(2018·浙江省新昌中学、台州中学等联考)如图，点C在123456789101112解析连接BC，则∠ACB＝90°，∵AP⊥PC，依题意可证Rt△APC∽Rt△ACB，123456789101112解析连接BC，则∠ACB＝9123456789101112∵|AC|2＋|CB|2＝|AB|2，∴|AC|2＋|CB|2＝4≥2|AC||CB|，∴|PC|≤1，故选B.123456789101112∵|AC|2＋|CB|2＝|A√答案解析123456789101112√答案解析123456789101112123456789101112因为a1a4－a2a3≠0，所以m，n不共线，则f(a1，a2，a3，a4)＝|m|2＋|n|2＋m·n，123456789101112因为a1a4－a2a3≠0，所9.(2018·浙江省嘉兴市第一中学模拟)设e1，e2为单位向量，其中a＝2e1＋e2，b＝e2，且a在b上的投影为2，则a·b

＝___，e1与e2的夹角为____.2答案解析1234567891011129.(2018·浙江省嘉兴市第一中学模拟)设e1，e2为单位答案解析123456789101112答案解析123456789101112＝9m2＋6m＋4＝(3m＋1)2＋3，123456789101112＝9m2＋6m＋4＝(3m＋1)2＋3，12345678911.(2018·浙江省杭州市第二中学月考)已知点M为单位圆x2＋y2＝1上的动点，点O为坐标原点，点A在直线x＝2上，则

的最小值为___.解析设A(2，t)，M(cosθ，sinθ)θ∈[0,π]，2答案解析12345678910111211.(2018·浙江省杭州市第二中学月考)已知点M为单位圆123456789101112答案解析123456789101112答案解析本课结束更多精彩内容请登录：本课结束更多精彩内容请登录：空白演示在此输入您的封面副标题空白演示在此输入您的封面副标题63第一篇小考点抢先练，基础题不失分第4练平面向量第一篇小考点抢先练，基础题不失分第4练平面向量明晰考情1.命题角度：向量常与三角函数、不等式、解析几何等知识交汇命题，综合考查向量的有关知识，一般以选择、填空题的形式考查.2.题目难度：中低档难度.明晰考情核心考点突破练栏目索引易错易混专项练高考押题冲刺练核心考点突破练栏目索引易错易混专项练高考押题冲刺练考点一平面向量的线性运算要点重组

(1)平面向量的线性运算：加法、减法、数乘.(2)共线向量定理.(3)平面向量基本定理.方法技巧

(1)向量加法的平行四边形法则：共起点；三角形法则：首尾相连；向量减法的三角形法则：共起点连终点，指向被减.(2)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得

且s＋t＝1，s，t∈R.(3)证明三点共线问题，可转化为向量共线解决.核心考点突破练考点一平面向量的线性运算要点重组(1)平面向量的线性运算√解析作出示意图如图所示.答案解析12345故选A.√解析作出示意图如图所示.答案解析12345故选A.答案解析√12345答案解析√12345√答案解析12345√答案解析1234512345∵M，N分别为BC，CD的中点，12345∵M，N分别为BC，CD的中点，1234512345则－1·2x－3(1－x)＝0，解得x＝3.答案解析123453则－1·2x－3(1－x)＝0，解得x＝3.答案解析1234答案解析12345－2答案解析12345－2考点二平面向量的数量积要点重组

(1)a·b＝|a||b|cosθ.方法技巧

(1)向量数量积的求法：定义法，几何法(利用数量积的几何意义)，坐标法.(2)向量运算的两种基本方法：基向量法，坐标法.考点二平面向量的数量积要点重组(1)a·b＝|a||b|6.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，若λ为实数，(b＋λa)⊥c，则λ的值为

√解析b＋λa＝(1,0)＋λ(1,2)＝(1＋λ，2λ)，又c＝(3,4)，且(b＋λa)⊥c，所以(b＋λa)·c＝0，即3(1＋λ)＋2λ×4＝3＋3λ＋8λ＝0，答案解析6789106.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)，答案解析√678910答案解析√678910解析方法一

(解析法)图①678910解析方法一(解析法)图①678910故选B.方法二(几何法)图②678910故选B.图②678910又当点P在线段AD上时，故选B.678910又当点P在线段AD上时，故选B.678910A.30° B.45°C.60° D.120°又∵0°≤∠ABC≤180°，∴∠ABC＝30°.答案解析√678910A.30° B.45°又∵0°≤∠ABC≤180°，9.(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2.若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤

，则a·b的最大值是____.解析由已知可得答案解析由于上式对任意单位向量e都成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.6789109.(2016·浙江)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2答案解析16678910答案解析16678910以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，678910以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系，678910678910678910考点三平面向量的综合应用方法技巧

(1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.考点三平面向量的综合应用方法技巧(1)以向量为载体的综合解析因为BC的垂直平分线交AC于Q，√答案解析1112131415解析因为BC的垂直平分线交AC于Q，√答案解析111213当且仅当M点与O点重合时取等号，故选C.12.如图，半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝120°，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M，N分别是线段OA，OB上的动点，则

的最大值为

√答案解析1112131415当且仅当M点与O点重合时取等号，故选C.12.如图，半径为1答案解析√1112131415答案解析√1112131415∵B，D，E，C共线，∴m＋n＝1，λ＋μ＝1，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，1112131415∵B，D，E，C共线，则x＋y＝m＋n＋λ＋μ＝2，1112答案解析√1112131415答案解析√1112131415以线段PnA，PnD

作出平行四边形AEDPn

，如图，1112131415以线段PnA，PnD作出平行四边形AEDPn，如图，11即xn＋1＝2xn＋1，∴xn＋1＋1＝2(xn＋1),则{xn＋1}构成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以x4＋1＝2×23＝16，所以x4＝15.故选A.1112131415即xn＋1＝2xn＋1，1112131415答案解析1112131415答案解析1112131415解析在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，化为4m2－8mcos∠ACB＋1≥0恒成立.1112131415解析在△ABC中，∠ACB为钝角，AC＝BC＝1，化为4m111213141511121314151.对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是

A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.(a＋b)2＝|a＋b|2

D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2易错易混专项练解析选项B中，当向量a，b反向及不共线时，√答案解析1.对任意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是易错易混专项答案解析√答案解析√故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，故点O是BC的中点，且△ABC为直角三角形，3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是__________________.答案解析3.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的4.向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，若|λa－b|的最小值为2(λ∈R)，则a·b＝____.答案解析8解析向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，即a·b＝b2.化为16λ2－2λa·b＋a·b－4≥0对于λ∈R恒成立，∴Δ＝4(a·b)2－64(a·b－4)≤0，化为(a·b－8)2≤0，∴a·b＝8.4.向量a，b满足|a|＝4，b·(a－b)＝0，若|λa－解题秘籍

(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理解数量积的性质.(2)注意向量夹角的定义和范围.在△ABC中，

的夹角为π－B；向量a，b的夹角为锐角要和a·b＞0区别开来(不要忽视向量共线情况，两向量夹角为钝角类似处理).解题秘籍(1)熟练掌握向量数量积的概念，并且要从几何意义理1.(2018·金华模拟)已知平面向量a，b，c，满足

且|a|＋|b|＋|c|＝4，则c·(a＋b)的最大值为

A.1 B.2C.3 D.4√答案解析123456789101112高考押题冲刺练1.(2018·金华模拟)已知平面向量a，b，c，满足 可得〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°，将|a|＋|b|＋|c|＝4两边同时乘以|c|，可得|a||c|＋|b||c|＝－|c|2＋4|c|，123456789101112可得〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°，将|a|＋|b|答案解析123456789101112√答案解析123456789101112√123456789101112所以θ＝∠BCA.123456789101112所以θ＝∠BCA.123456789101112123456789101112A.(－1，＋∞) B.(－1,3)C.(0，＋∞) D.(0,3)√答案解析123456789101112A.(－1，＋∞) B.(－1,3)√答案解析12345解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，0)，∠CBD＝θ，则C(3，b)，D(a－1，b),则3－(a－1)＝a，解得a＝2.所以D(1，b)，C(3，b).123456789101112当b→0时，cosθ→－1，得BM→－1.当b→＋∞

时，θ→0，得BM→＋∞.故选A.解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的平√答案解析123456789101112√答案解析123456789101112解析由题意∠C＝45°，所以∠AOB＝90°，以OA，OB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，不妨设A(1,0)，B(0,1)，则C在圆O的优弧AB上，123456789101112解析由题意∠C＝45°，所以∠AOB＝90°，1234565.(2018·浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三点A，B，C，则

的值为

A.正数

B.负数C.0 D.以上说法都有可能√答案解析1234567891011125.(2018·浙江省金华十校模拟)已知平面内任意不共线的三123456789101112123456789101112√所以AO平分∠BAC，所以平行四边形AMON为菱形，且λ1>0，λ2>0，答案解析123456789101112√所以AO平分∠BAC，所以平行四边形AMON为菱形，且λ17.(2018·浙江省新