专题02 导数的计算与复合函数导数的计算（讲义）（教师版）

专题02导数的计算与复合函数导数的计算【重难点知识点网络】：1．几个常用函数的导数几个常用函数的导数如下表：函数导数（为常数）2．基本初等函数的导数公式（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则；（5）若，则；（6）若，则；（7）若，则；（8）若，则．3．导数运算法则（1）；（2）；（3）．4．复合函数的导数（1）复合函数的定义一般地，对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数(compositefunction)，记作．（2）复合函数的求导法则复合函数的导数和函数，的导数间的关系为___________，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．（3）如果函数在点x处可导，函数f(u)在点u=处可导，则复合函数y=f(u)=f[]在点x处也可导，并且(f[])ˊ=或记作=•熟记链式法则若y=f(u)，u=y=f[]，则=若y=f(u)，u=，v=y=f[]，=【重难点题型突破】：一、简单的函数求导问题例1．（1）（2021·全国高二课时练习）下列各式中正确的是（）A．(logax)′=B．(logax)′=C．(3x)′=3xD．(3x)′=3xln3【答案】D【分析】根据求导公式直接可判断.【详解】由(logax)′=，可知A，B均错；由(3x)′=3xln3可知D正确.故选：D（2）.（2021·全国高二课时练习）设函数f(x)=cosx，则=（）A．0 B．1 C．-1 D．以上均不正确【答案】A【分析】根据常数的导数为0可直接得解.【详解】因为为常数，所以故选：A（3）.（2020·全国高二课时练习）已知函数，则_________.【答案】【分析】利用复合函数的求导法则可求得.【详解】，因此，.故答案为：.【变式训练1-1】、（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【分析】（1）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数；（2）利用幂函数的导数公式可求得原函数的导数；（3）利用对数函数的导数公式可求得原函数的导数；（4）利用指数函数的导数公式可求得原函数的导数；（5）化简函数解析式，利用正弦函数的导数公式可求得原函数的导数.【详解】（1），；（2），；（3），；（4），；（5），．【变式训练1-2】、（2021·全国高三专题练习）已知函数．（1）求；（2）求曲线过点的切线的方程．【答案】（1）；（2）或．【分析】（1）利用函数的求导法则可求得；（2）设所求切点的坐标为，利用导数求出所求切线的方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，可得出切点的坐标，进而可求得所求切线的方程.【详解】（1），则；（2）设切点为，，所以，切线的斜率为，所求切线方程为．将，代入切线方程，得．整理得，解得或.当时，，切线方程为，化简得；当时，，切线方程为，化简得．综上所述，曲线过点的切线的方程为或．【点睛】本题考查导数的计算，同时也考查了曲线过点的切线方程的求解，考查导数几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.二、简单的导数运算法则例2．（1）（2021·全国高二月考（理））已知，则（）A．-1 B．0 C．1 D．【答案】C【分析】根据导数的运算公式，求得，代入即可求得的值.【详解】由题意，函数，可得，所以.故选：C（2）（2021·全国高二单元测试）函数y＝的导数是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接根据导数的运算法则及基本初等函数的导数公式计算可得；【详解】解：因为，所以故选：A（3）（2021·南昌市新建一中高二期末（理））下列求导运算中错误的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】依据求导公式及法则一一判断即可.【详解】A选项：，A正确；B选项：，B正确；C选项：，C错误；D选项：，D正确故选：C（4）（2021·全国高二单元测试）求下列函数的导数：（1）y＝(2x2＋3)(3x－2)；（2）y＝.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）已知结合导数的乘法法则计算即可求解；（2）已知结合导数的除法法则计算即可求解.【详解】（1）y′＝(2x2＋3)′(3x－2)＋(2x2＋3)(3x－2)′＝4x(3x－2)＋3(2x2＋3)＝18x2－8x＋9.(2)y′＝＝.【变式训练2-1】、（2021·陕西西安市·高二期末（文））求下列函数的导数：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】直接利用导数公式和导数运算法则求解.【详解】（Ⅰ）因为，所以；（Ⅱ）因为，所以三、简单的复合函数求导运算例3．（1）（2021·全国高二课时练习）已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′（1）＝________.【答案】【分析】直接利用复合函数的求导公式求导即可.

【详解】，则，所以.故答案为：.（2）．（2021·全国高二课时练习）函数的导数为________．【答案】【分析】根据复合函数的求导法则可得答案.【详解】函数是函数与的复合函数，则.故答案为：.（3）．（2021·全国高二月考（理））已知，则___________.【答案】【分析】先对函数求导得到，再代入即得结果.【详解】由，可得，故.故答案为：.【变式训练3-1】、（（2021·安徽马鞍山市·马鞍山二中高二开学考试（理））函数的导函数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复合函数求导法则即可求导.【详解】，故选：B.【变式训练3-2】、（2021·江西南昌市·高二期末（理））函数的导数是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据复合函数的求导法则可求得结果.【详解】.故选：C【变式训练3-3】、（2020·陕西省子洲中学高二月考（理））函数的导数是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数的加法运算与复合函数的求导法则即可求解.【详解】，故选：D.【点睛】思路点睛：求一个函数的导函数，应该先判断出函数的形式，然后选择合适的导数运算法则及基本初等函数的导数公式进行求值，考查学生的运算求解能力，属于基础题.【变式训练3-4】、（2021·全国高二单元测试）的导数是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用复合函数的导数公式可求得结果.【详解】令，则，，，.故选：A.四、简单的复合函数求导与运算法则例4．（2021·全国高二单元测试）函数y＝x2cos2x的导数为（）A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x【答案】B【分析】利用复合函数的导数运算法则计算即可．【详解】y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x故选：B【变式训练4-1】、（2021·江苏泰州市·姜堰中学高二月考）下列求导结果正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用导数的求导法则以及复合函数的求导法则可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，B选项错误；对于C选项，，C选项正确；对于D选项，，D选项错误.故选：C.【变式训练4-2】、（2020·扬州市第一中学高三月考）下列求导运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用导数的运算法则计算结果.【详解】A.，故A不正确；，故B正确；C.，故C不正确；D.，故D不正确.故选：B【变式训练4-3】、（2021·全国高二课时练习）求下列函数的导数：（1）y＝103x－2；（2）y＝ln(ex＋x2)；（3）y＝x.【答案】（1）y′x