对数函数及其性质-完整版课件

2.2.3对数函数及其性质(1)单位：哈尔滨市呼兰区第一中学校作者：房玉红

1.对数函数 一般地，我们把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中________是自变量，函数的定义域是___________，值域是实数集R.x(0，＋∞)图象a>10<a<1性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)当x＝1时，y＝0，即过定点______(4)当x>1时，______；当0<x<1时，______(5)当x>1时，______；当0<x<1时，______(6)在(0，＋∞)上是____函数(7)在(0，＋∞)上是____函数2.对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象特征和性质(1,0)y＞0y＜0y＜0y＞0增减（续表）补充性质(8)设y1＝logax，y2＝logbx，其中a>1，b>1(或0<a<1，0<b<1)，当x>1时，“底大图低”，即若a>b，则________；当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b，则________y1＜y2y1＞y2练习2：函数f(x)＝log(a－1)x在(0，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为__________.1<a<2D练习3：与函数

y＝x有相同图象的一个函数是()【问题探究】1.比较下列两组数的大小：(1)log108与log1015；(2)log0.50.9与log0.50.6.答案：(1)log1015>log108；(2)log0.50.6>log0.50.9.2.求下列函数的定义域：题型1求对数函数的定义域

答案：AA.(－1，＋∞)C.(－1,1)∪(1，＋∞)B.[－1，＋∞)D.[－1,1)∪(1，＋∞)答案：C

求一些具体函数的定义域，有分母的要保证分母不为零；开偶次方根的要保证被开方数为非负数；对数函数的要保证真数大于零，底数大于零，且不等于1.在求定义域的过程中，往往需要解不等式(组)，或利用函数的单调性.【变式与拓展】1.(2014年江苏宿迁一模)函数f(x)＝lg(2x－3x)的定义域为____________.(－∞，0)解析：要使函数有意义，则2x－3x>0，即2x>3x>0，题型2求对数函数的值域【例2】已知y＝log4(2x＋3－x2).(1)求y的定义域；(2)求y的单调区间；(3)求y的最大值，并求出对应的x值.解：(1)由2x＋3－x2>0，解得－1<x<3.∴f(x)的定义域为{x|－1<x<3}．(2)令u＝2x＋3－x2，则u>0，y＝log4u.由于u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4.再考虑定义域可知，其增区间是(－1,1)，减区间是[1,3)．又y＝log4u在(0，＋∞)上为增函数，故该函数单调递增区间为(－1,1)，单调递减区间为[1,3)．(3)∵u＝2x＋3－x2＝－(x－1)2＋4≤4，∴y＝log4u≤log44＝1.故当x＝1，u取最大值4时，y取最大值1.【变式与拓展】A2.函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(

)A.(0，＋∞) B.[0，＋∞)C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)解析：∵3x>0,3x＋1>1，∴log2(3x＋1)>0.3.求下列函数的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；解：(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．题型3利用函数性质比较大小【例3】比较下列三组数的大小：作y＝log7x与y＝log6x图象，如图2­2­1.图2-2-1

利用对数函数的单调性比较两个对数的大小，常用的方法有：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接判断；②若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论；③若底数不同，真数相同，则可用换底公式化为同底，再进行比较；④若底数、真数都不相同，则常借助1,0等中间量进行比较，或利用对数函数图象的性质进行判断.【变式与拓展】DA.y<x<1B.x<y<1C.1<x<yD.1<y<x)C5.下列关系式成立的是(A.0.32＜log20.3＜20.3

B.0.32＜20.3＜log20.3C.log20.3＜0.32＜20.3

D.log20.3＜20.3＜0.32[方法·规律·小结]1.对数函数的概念.(1)同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，只有形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的函数才是对数函数，如y＝2log2x，y＝log2x2等都不是对数函数.(2)由于指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的定义域是R，值域为(0，＋∞)，所以对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的定义域为(0，＋∞)，值域为R，它们互为反函数.2.比较两个对数的大小的基本方法.(1)若底数相同，真数不同，可构造相应的对数函数，利用其单调性比较大小.(2)若真数相同，底数不同，则可借助函数图象，利用图象在直线x＝1右侧“底大图低”的特点比较大小.(3)若底数、真数均不相同，则经常借助中间值“0”或“1”比较大小.

3.对数运算的实