新高考艺术生数学基础复习讲义 考点45 抛物线（教师版含解析）

考点45抛物线知识理解知识理解一．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(点F不在直线l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.二．．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义焦点F到准线l的距离，焦点到顶点以及顶点到准线的距离均为eq\a\vs4\al(\f(p,2).)图形顶点O(0,0)对称轴x轴y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)三．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程．例：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y，得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则：Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．考向分析考向一抛物线的定义考向分析【例1】(2021·陕西宝鸡市·高三二模(文))设抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，是上一点，若，则()A． B．5 C． D．【答案】D【解析】如图所示，过P作PQ垂直l，交l于Q，不妨设，根据抛物线定义得，所以y=4，所以x=4，即，所以，所以.故选：D【举一反三】1．(2021·山东烟台市·高三一模)已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，若中点的横坐标为则()A． B． C． D．【答案】C【解析】抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的横坐标为4，设，，，，，则．故选：．2．(2021·内蒙古高三月考(文))点为抛物线的焦点，点，点为物线上与直线不共线的一点，则周长的最小值为()A． B．C． D．【答案】B【解析】根据题意，焦点，准线方程为：，过点作准线的垂线，垂足为，过点作准线的垂线，垂足为，且与抛物线交于点，作出图像如图，故，由抛物线的定义得：，则周长为：，当且仅当点在点处时，等号成立；因为，，所以周长的最小值为：.故选：B.3．(2021·全国高三专题练习(文))已知抛物线上的动点P到直线l∶的距离为d，A点坐标为(2，0)，则的最小值等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，抛物线化为，可得焦点，准线方程为，可得动点P到直线l∶的距离为，又由，从而.所以的最小值等于.故选:B.4．(2021·浙江杭州市·学军中学)已知拋物线的焦点坐标为，则的值为___________；若点在抛物线上，点则的最小值为___________.【答案】87【解析】拋物线的焦点坐标为，则，解得；抛物线的准线方程为，过作直线的垂线，垂足为，，当三点共线时，取得最小值，且故答案为：．考向二抛物线的标准方程【例2-1】(2021·全国单元测试)顶点在原点，关于y轴对称，并且经过点M(－4，5)的抛物线方程为()A．y2＝x B．y2＝－xC．x2＝y D．x2＝－y【答案】C【解析】由题设知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，将(－4，5)代入得所以，抛物线方程为．故选：C．【例2-2】(2021·浙江)已知抛物线的焦点，则拋物线C的标准方程为___________，焦点到准线的距离为___________.【答案】【解析】根据抛物线的焦点，设抛物线方程，，则，故抛物线方程；抛物线中，焦点到准线的距离为，，即距离为.故答案为：；.【举一反三】1．(2021·全国课时练习)以轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为()A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】设抛物线方程为或，依题意得，代入或得，，．抛物线方程为或，故选：C.2．(2021·山东德州市·高二期末)抛物线的焦点是直线与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是()A． B． C． D．【答案】C【解析】由可知抛物线开口向上或向下，，令，焦点坐标为准线为故选：C3．(2021·绵阳南山中学实验学校(文))顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，设抛物线的方程为，因为顶点与焦点的距离等于，可得，解得，所以所求抛物线的方程为.故选：C.4(2021·广东湛江市·高三一模)已知抛物线C：x2=-2py(p>0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且｜MF|=6，则p=()A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【解析】设，则，解得故选：A考向三抛物线的几何性质【例3】(2021·江苏省天一中学高三二模)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|AB|＝________．【答案】8【解析】抛物线y2＝4x中，，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，故根据抛物线定义可知.故答案为：8.【举一反三】1．(2021·四川遂宁市·高三二模(文))若过抛物线：的焦点且斜率为2的直线与交于，两点，则线段的长为()A．3. B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】抛物线：的焦点所以直线的方程为，设，，由，消去并整理得，所以，.故选：C.2．(2021·广西玉林市·高三其他模拟(理))已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A､B两点，则()A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】因为直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点坐标为，设，抛物线方程为，所以过焦点且倾斜角为的直线方程为，设，由，得，所以，所以，故选：C3．(2021·商丘市第一高级中学)设F为抛物线的焦点，过F作倾斜角为的直线与该抛物线交于两点，且为坐标原点，则的面积为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得焦点坐标为，则直线的方程为，设，直线与曲线联立，可得，，，又，解得，又，所以，所以，直线方程为，即，所以原点O到直线的距离，所以的面积.故选：A.强化练习强化练习1．(2021·四川高三月考(理))设为坐标原点，直线过定点，与抛物线交于两点，若，则抛物线的准线方程为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知直线斜率不为.设直线与联立.得恒成立.设，则.由得，即.即.得.所以其准线方程为故选：A.2．(2021·北京丰台区·高三一模)为抛物线上一点，点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，则()A．2 B．4 C．或 D．或【答案】D【解析】由题意可得：抛物线的准线的方程为：设点，又因点到抛物线准线和对称轴的距离分别为10和6，所以有，解得或，即的值分别为或.故选：D.3．(2021·河南高三其他模拟(文))已知点为抛物线上任意一点，点是圆上任意一点，则的最小值为()A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，，，当时，，所以故选：B4．(2021·浙江高三其他模拟)已知点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为，则抛物线的方程为()A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知过所作圆的两条切线关于直线对称，所以，设，，，则，同理可得，，则，得，得，所以，故，将代入抛物线方程，得，得，故抛物线方程为．故选：A5．(2021·吉林长春市·高三二模(理))已知抛物线上一点，为焦点，直线交抛物线的准线于点，满足则抛物线方程为()A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示：作轴，则，因为，且，所以,即，解得，所以抛物线方程是故选：C．6．(2021·四川成都市·石室中学高三月考(理))已知双曲线有一个焦点在抛物线：准线上，则的值为()A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】双曲线标准方程是，，，，焦点为，所以，．故选：B．7．(2021·辽宁丹东市·高三月考)倾斜角为45°的直线经过点，且与抛物线：交于，两点，若为的焦点，则()A．5 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】由题可知直线的方程为，设，所以由焦半径公式得：，所以联立方程得：，，所以，所以.故选：C.8．(2021·广西南宁市·高三一模(文))已知抛物线的焦点为圆的圆心，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A、B两点，则()A．12 B．14 C．16 D．18【答案】C【解析】由题可得抛物线焦点为，则，即，则抛物线方程为，直线的倾斜角为60°，则斜率为，故直线的方程为，联立直线与抛物线可得，设，则，则.故选：C.9．(多选)(2021·广东广州市·高三一模)已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则()A． B．C．的面积为 D．线段的中点到直线的距离为2【答案】AC【解析】设，抛物线，则，焦点为，则直线过焦点；联立方程组消去得，则，所以，故A正确；由，所以与不垂直，B错；原点到直线的距离为，所以的面积为，则C正确；因为线段的中点到直线的距离为，故D错故选：AC10(2021·湖北高三月考)已知点在抛物线：上运动，圆过点，，，过点引直线，与圆相切，切点分别为，，则的取值范围为__________.【答案】【【解析】设圆的方程为，将，，分别代入，可得，解得，即圆：；如图，连接，，，，易得，，，所以四边形的面积为；另外四边形的面积为面积的两倍，所以，故，故当最小时，最小，设，则，所以当时，，当正无穷大时，趋近圆的直径4，故的取值范围为.故答案为：11．(2021·江西高三其他模拟(理))已知离心率为2的双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，是与的公共点，若，则的标准方程为______.【答案】【解析】，所以双曲线方程为：，设抛物线方程为：联立方程可得：解得或(舍)所以双曲线方程为：故答案为：12．(2021·浙江)抛物线焦点为F，P为抛物线线上的动点，定点，则的最小值为_________．【答案】5【解析】准线为，过作准线的垂线，垂足为，则，所以，易知当三点共线时取得最小值为，故答案为：5．13．(2021·广东肇庆市·高三二模)已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为___________.【答案】【解析】设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，则.依抛物线的定义，知点到该抛物线的准线的距离为，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和.故答案为：.14．(2021·河北张家口市·高三一模)若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则________．【答案】5【解析】由为抛物线上一点，得，可得，则．故答案为：515．(2021·全国高三其他模拟)已知抛物线，点在抛物线上，过作圆的两条切线，分别交抛物线于点，，若直线的斜率为-1，则抛物线的方程为______.【答案】【解析】由题意可知，过所作圆的两条切线关于直线对称.设，，，则，同理，，因为两条切线关于直线对称，所以，即，得，得，所以，故，，代入抛物线方程，得，所以，故抛物线方程为.故答案为：16．(2021·桃江县第一中学)已知拋物线的焦点为F，O为坐标原点，M的准线为l且与x轴相交于点B，A为M上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若，，则M的标准方程为______________.【答案】【解析】因为，，所以，则，如图，，故，解得，所以，直线OA的斜率为，OA的方程，联立直线OA与抛物线方程，解得，所以，故，则抛物线标准方程为.故答案为：.17．(2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模(理))人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴，探照灯、手电筒就是利用这个原理设计的.已知抛物线的焦点为，从点出发的光线经抛物线上第一象限内的一点反射后的光线所在直线方程为，若入射光线的斜率为，则抛物线方程为______.【答案】【解析】从点F出发的光线第一象限内抛物线上一点P反射后的光线所在直线方程为y＝，可得P(，)，入射光线FP的斜率为，所以，解得p＝1或p＝﹣2(舍去)，所以抛物线方程为：y2＝2x．故答案为：y2＝2x18．(2021·贵溪市实验中学)若抛物线上的点到其焦点的距离是A到y轴距离的2倍，则等于___________.【答案】【解析】由题意，得，解得，即，代入，得，结合，解得故答案为：19．(2021·江苏南通市)已知抛物线，过焦点且斜率为1的直线与相交于、两点，且、两点在准线上的投影分别为，两点，则的面积为________．【答案】【解析】抛物线则焦点坐标为,准线方程为过焦点且斜率为的直线方程为,化简可得抛物线与直线相交于,两点,设且,两点在准线上的投影分别为,则,化简可得所以则所以故答案为:20．(2021·全国高三其他模拟)已知抛物线经过点，直线经过点且与抛物线交于，两点．若线段的中点为，为抛物线的焦点，则的周长为______．【答案】【解析】把点代入中得，故抛物线的方程为．设，，由题意可知直线的斜率存在且不为0，故．则，，两式相减得，又因为的中点为，所以，将代入上式得直线的斜率，于是直线的方程为，即．联立消去得，，由根与系数的关系得，，由抛物线的定义得，而，因此的周长为．故答案为：21(2021·陕西安康市)已知抛物线上一点到其焦点的距离为.(1)求抛物线的方程；(2)过点且斜率为的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因为抛物线上一点到其焦点的距离为，所以，解得，所以抛物线的方程为；(2)由(1)可得，；则过点且斜率为的直线的方程为：，即，设，，由消去，整理得，则，因此，又点到直线的距离为，