数学重点难点易错点全总结-直线与圆

1份你不能错过的资料包知识集平 直线的倾斜角与斜 圆的方 直线、圆的位置关 空间直角坐标 平要点一、平面的基本概念用表示平面的平行四边形的相对两个顶点的两个字母表示，如平面 A在平面AA在平面A直线l在平面内，记作l；直线l不在平面内，记作l要点二、平面的基本性质AlBlABl符号语言表述：A、B、C三点不共线有且只有一个平面，使A，BC

lP要点三、证明点线共面要点四、证明三点共线问3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还要点五、证明三线共点问空间中直线、平面之间的位置关系要点一：空间两直线的位置关系面ab异面，实际上，由a∥bab共面，它们不是异面直线．abbca//c.异面直线所成角的取值范围是

90要点二：直线和平面的位置关系a和平面平行，记作a//

A个平面内，记作a. a在平面a与平面a与平面a a要点三：两个平面的位置关系// 且 要点四:反证法直线、平面平行的判定要点一、直线和平面平行的判定图形语言符号语言a、baba//a在平面外，即ab在平面内，即b要点二、两平面平行的判符号语言：若a、b， bA，且a//、b//，则//面平行面面平行．要点三、判定平面与平面平行的常用方直线、平面平行的性质要点一、直线和平面平行的性符号语言：若a//，a b，则a//ba∥，， （2）平面和相交，即 b直线a在平面内，即a．三个条件 要点二、平面和平面平行的性质符号语言：若//， a，b，则a//b.图形语言要点三、平行关系的综合转化空间之中两直线，平行相交和异直线、平面垂直的判定要点一、直线和平面垂直的定义与判定如果直线l和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作l.直线l叫平面的垂线；平面叫直线l的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”a,b，则ab

m,n, nBllm,l 特征：线线垂直要点二、直线与平面所成的角直线与平面所成的角的范围 垂直时，=90°要点三、二面AB、面分别为、的二面角记作二面角AB.有时为了方便，也可在、内棱以外的半平面部分分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角PABQ.如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角lPlQ.相交时，0°＜＜180°；当两个半平面一个平面时，角示为二面角a如右图，在二面角a的棱a上任取一点O，在平面内过点O如下图（左），已知二面角l过棱上一点O作一平面，使l，且 OA， OBOAOB，且l⊥OAl∴∠AOB为二面角l要点四、平面与平面垂直的定义与判定表示方法：平面垂直，记作.l,l特征：线面垂直通常其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直直线、平面垂直的性质要点一、直线与平面垂直的性质lmlmlml//m若lAAPlAP要点二、平面与平面垂直的性质符号语言：

,lml要点三、垂直关系的综合转化判定定理也常用，它的意义要记直线的倾斜角与斜率y2掌握经过两点P(x,y)和P(x,y)的直线的斜率公式：k (xx 1 x 要点一、直线的倾斜角转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角.x轴平行或重合时，直线倾斜角为00180x轴正向；③小于

的角倾斜角的范围是0180.当0xx轴重合要点二、直线的斜率倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用kktan要直线lx轴垂直时，=90°，k不存在直线的倾斜角与斜率k9018)范围内时，直线的斜率小于零；当0时，直线的斜率为零；当90时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角90除外)为一一对应关系，且在0，9018)此若需在0，90或(90180范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦要点三、斜率公式已知P1(x1y1P2x2y2P1P2xP1(x1y1P2x2y2的直线的斜率公式ky2y1.x2x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角=90°，直线与xy1=y2时，斜率k=0，直线的倾斜角=0°，直线与x轴平行或重合P1P2点的坐标求k的值已知kx1,y1,x2y2中的三个量可求第四个量已知kP1P2的横坐标(或纵坐标)可求|P1P2|要点四、两直线平行的条设两条不重合的直线l1l2k1k2.若l1l2，则l1与l2的倾斜角1与2相等.由12，可得tan1tan2，即k1k2.因此，若l1l2，则k1k2.反之，若k1k2，则l1l2.l1l2k1k2成立的前提条件是①两条直线的斜率存在分别为k1，k2当两条直线的斜率都不存在且不重合时，l1与l2的倾斜角都是90，则l1//l2要点五、两直线垂直的条设两条直线l1l2的斜率分别为k1k2.若l1l2，则k1k2公式l1l2k1k21直线的点斜式与两点式方程【要点梳理】要点一：直线的点斜式方yy0k(xx0yy0k(xx0叫做能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；90°时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为:xx1.kyy0P(xyyyk(xx表示一条直线x

要点二：直线的斜截式方如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0b)，根据直线的点斜式方程可得ybk(x0ykxb.我们把直线ly轴的交点(0b的纵坐标b叫做直线l在yykxbky轴上的截距b确定，所以方程ykxb叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.当k0时，斜截式方程就是一次函数的表示形式要点三：直线的两点式方经过两点P1(x1y1P2x2y2)(其中x1x2y1y2) yy1 xx1 xyy y x 当直线没有斜率x1x2)或斜率为0(y1y2时，不能用两点式求出它的方程直线方程的表示与P1x1y1P2x2y2选择的顺序无关 x x,yy) y x 过交叉相乘转化为整式形式yy1x2x1(y2y1xx1，从而得到的方程中，包含x1=x2y1=y2x1、x2和y1、y2是否相等引起的．要避免，可直接假设两点式的整式形式．要点四：直线的截距式方若直线lxA(a，0)yB(0，b)，其中a0,b0ABxy1，这个方程称为直线的截距式方程.ax =要点五：中点坐标公式1 则此公式为线段P1P2的中点坐标公式要点六：直线方程几种表达方式的选取直线的一般式方程及综合要点一：直线方程的一般B不全为零)叫做直线方程的一般式． C B≠0yBxB0B，斜率为B CB=0，A≠0Ax+C=0xxAx、y的一次方程（2y1 y 要点二：直线方程的不同形式间的关系yy1xy2 x2（x1，y1），（x2，y2）是直线上两定xy ax轴上的非零截距，b在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这x1x2y1y2应用时若采用(y2y1x―x2x1yy1=0的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距要点三：直线方程的综合应用已知直线l1yk1xb1l2yk2xb2l1//l212k1k2(b1b2)2ll tancotk1kk2 1于是与直线yk1

行的直线可以设为ykx1byk

x2l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC2l1l2l1//l2

A1

A2B1且A1C2A2C10或B1C2B2C10，（A1B1C1 l1与l2重合A1B2A2B10A1C2A2C10B1C2B2C1AxByC0AxByD0BxAyD0直线的交点坐标与距离公式要点一、直线的交点求两直A1xB1yC10(A1B1C10)A2xB2yC20(A2B2C20)的交A1xB1yC1坐标，只需求两直线方程联立所得方程组AxByC0的解即可若有 A1B1C1A1B1C1

B1要点二、过两条直线交点的直线系方程x,y以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参l1A1xB1yC10，l2A2xB2yC20交点的直线方程A1xB1yC1A2xB2yC20，其中能表示直线l2．要点三、两点间的距离公(xx)2(xx)2(yy 要点四、点到直线的距离公式P(x

AxByC0的距离为d

Ax0By0C A2A2要点五、两平行线间的距AxByC20的距离为d

C2 . A2

|C1C2A2B利用两条平行直线间的距离公式d 且两条直线中x，A2B圆的方程要点一：圆的标准方程(xa)2yb)2r2，其中a，br为半径.如果圆心在坐标原点，这时a0，b0x2y2r2.有关图形特征|a||b|ra2b2r2圆的标准方程(xa)2yb)2r2圆心为a，br，它显现了圆的标准方程的优点在于明确了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.要点二：点和圆的位置关如果圆的标准方程为(xa)2yb)2r2，圆心为Ca，b，半径为r若点Mx，y在圆上|CM|rxa2 b2r Mx，y在圆外|CM|rxa2yb2r Mx，y在圆内|CM|rxa2yb2r 要点三：圆的一般方程D2E2当D2E24F0x2y2DxEyF0程D2E2 2 2

D E D2E2由方程x2y2DxEyF0得x y 2 2 D2E24F0时，方程只有实数解xDy

它表示一个点(D,E) D2E24F0当D2E24F0DE 2 1D21D2E22要点四：几种特殊位置的圆的方程x2y2r2rx2y2r20r(xa)2(yb)2a2x2y2DxEy(xa)2y2r2rx2y2DxFx2(yb)2r2rx2y2EyF(xa)2y2a2ax2y2Dxx2(yb)2b2bx2y2Eyx(xa)2(yb)2x2y2DxEyFD24Fy(xa)2(yb)2x2y2DxEyFE24F要点五：用待定系数法求圆的方程的步要点六：轨迹方程将其转化为关于变量x,y之间的方程．直线、圆的位置关系要点一：直线与圆的位置关系判断直线lC的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线lC有公共点.有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实数解时，直线lC相切；无实数解时，直线l与圆C相离.dr时，直线l与圆C相交；dr时，直线lC相切；dr时，直线lC相离.要点二：圆的切线方程的求法M法一：利用切线的斜率l与圆心和该点连线的斜率的乘积等于1，即OMl1．法二：圆心O到直线l的距离等于半径r2x0y0在圆外，则设切线方程：yy0k(xx0，变成一般式：kxyy0kx00k．过圆xa2yb2r 上一点Px0,y0的切线方程xaxaybybr2 要点三：求直线被圆截得的弦长的方法1r，圆心到直线的距离dl具有的关系lr2d2 2

利用弦长公式：设直线l:ykxb，与圆的两交点x1,y1x2,y2代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：1k1 x 1k1 x 4x22 12 要点四：圆与圆的位置关设O1的半径为r1，O2的半径为r2，两圆的圆心距为dr1r2dr1r2时，两圆相交；r1r2d时，两圆外切；r1r1

dd时，两圆内含长．4．两圆公切线的条数要点五：圆系方程1AxByC0与圆x2y2DxEyF0的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)以abxa2yb22(0)x2y2DxEyF0x2y2DxEy0 过同一定点ab的圆系方程是xa2yb2(xayb)0 直线与圆的方程的应用要点一、用直线与圆的方程解决实际问题的步骤要点二、用坐标方法解决几何问题的“三步曲要点三、用坐标法解决几何问题时应注意以下几点空间直角坐标系要点一、空间直角坐标系OxyzO叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面.指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.A(x，y，z)xA的横坐标，yA的纵坐标，zA的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标特殊点的坐标：原点000；x,y,z轴上的点的坐标分别为x000,y000,z坐标平面xOy,yOz,xOz上的点的坐标分别为x,y00,y,zx0,z在空间直角坐Px,y,zP关于原点的对称点是P1xyzP关于横轴(x轴)P2xyz；P关于纵轴(y轴)P3x,yz；P关于竖轴(z轴)P4xy,z；PxOzP7xyz.要点三、空间两点间距离公式空间中有两点Ax1,y1,z1,Bx2,y2z2，则此两点间的距(xx)2(xx)2(yy)2(zz x2y2特别地，点Ax,y,z与原点x2y2空间中有两点A , , .x1x2y1y2z1 , , .

y1,z1B2x,2y,，则线段AB的中点C

《解析几何初步》全章复习与巩固要点一：直线方程的几种形式①yy0k(xx0)②ykxb③AxByC0(A2B20)A1xB1yC1A2xB2yC20（λ为参数要点二：两条直线的位置关系当两条直线的斜率都不存在时，两直线的倾斜角都为 ，互相平行当一条直线的斜率不存在（倾斜角为900），另一条直线的倾斜角为00时，两直已知直线l1yk1xb1和l2yk2xb2，则l1l2k1k2且b1已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20(A1B1C10,A2B2C20)，则l∥lA1B1C1 （1）已知直线l1yk1xb1和l2yk2xb2，则l1l2k1k2（2）已知直线l1A1xB1yC10和l2A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20要点三：点到直线的距离公式

,

到直线lAxByC0d

Ax0By0A2A2Bl1l2的一般式方程为l1：AxByC10l2AxByC0，则l与l的距离为dC1C2A2BA2B要点四：对称问题设点P(x0,y0)关于直线ykx 的对称点为P(x,y)，则 yy0kyyxy

x 0k P(x0y0关于直xaP(2ax0y0P(x0y0关于直点(xyx轴的对称点为(xy点(xyy轴的对称点为(xy点(x,y关于原点的对称点为(xy点(xyxy0的对称点为yx点(xyxy0的对称点为(yx要点五：圆的方程(xa)2yb)2r2，其中a，br为半径要点诠释：（1）如果圆心在坐标原点，这时a0，b0x2y2r2.|b|r|a||b|ra2b2r2.圆的标准方程(xa)2yb)2r2圆心为a，b，半径为ra、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法.当D2E24F0x2y2DxEyF0D2E2 D2E2 2

要点诠释：由方程x2y2DxEyF0得 D E D2E2 x y （1）D2E24F0时，方程只有实数解xDy

它表示一个点(D,E) D2E24F0（3）当D2E24F0时，可以看出方程表示以D,E 为圆心 2 1D21D2E22要点六：点和圆的位置关系如果圆的标准方程为(xa)2yb)2r2，圆心为Ca，b，半径为r（1）Mx，y在圆上|CM|rxa2yb2r （2）Mx，y在圆外|CM|rxa2yb2r Mx，y在圆内|CM|rxa2yb2r 要点七：直线与圆的位置关系如果有解，直线l与圆C有公共点；有两组实数解时，直线lC相交；有一组实数解时，直线lC相切；无实数解时，直线l与圆C相离.设直线lAxByC0(A2B20，圆Cxa)2yb)2r2r0)A2C(ab到直线l的距离记为d|AaBbC|，则:dA2dr时，直线lC相切；dr时，直线lC相离.要点八：圆与圆的位置关Cxa)2yb)2r2与圆C:(xa2)(yb2)r2，两圆圆心距 (a(aa)2(bb r1

dr1r2r1r2d时，两圆外切；r1r1

dd时，两圆内含要点九：求圆的切线方程的常用方法： ②过圆xa2yb2r2Pxy的切线 xaxaybybr2 要点十：空间直角坐标系直线与圆相关的最值问题题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最所以圆心为(2，－3)，半径长为5.则最大弦长即为圆的直径，即m＝10.弦心距d＝32，2r2－d2＝225－18＝27，所以m－n＝10－27.ykx1与圆Cx2y124ABABR2dR2dR2d2 d2r2l22

，dMC 2，故l 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线

C(1,2)，|AC|＝5<5(半径)，所以点A在圆C内，

题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值题型三：直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．dAC2，故距离的最大值为dr3，最小值为dr221x2y21xy2的距离的最大值？222圆心到直线的距离为d 22则圆上的点到直线xy2的最大值为dr 2xy2的最小值为dr

2-圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为dr，最小值为d直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为dr，最小值为d题