大二-概率论第3章第三章多维随机变量及其分布

第三章

随量及其分布量§

1

二维随§

2

边缘分布§

3

条件分布§

4

相互独立的随量§

5

两个随

量的函数的分布返回主

§1

二维随量二维随

量联合分布函数联合分布律联合概率密度返回主SY(e)§1

二维随量1

二维随

量的定义设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，设X=X(e)

和Y=Y(e)是定义在S上的随

量。由它们构成的一个向量(X,

Y)

，叫做二维随机向量，或二维随

量。X(e)e返回主

X，Y

量可看(2)在几何上，二维随作平面上的随机点．§1

二

维随

量注意事项(1)

我们应把二维随

量X，

Y

X

e，

Y

e

e

S

看作一个整体，因为X

与Y

之间是有联系的；返回主

⒈．

，则YX就是一个二维随二维随

量的例子某地区成年男子的身体状况，令X：该地区成年男子的身高；Y：该地区成年男子的体重⒉对一目标进行射击，令：

X：弹着点与目标的水平距离

Y：弹着点与目标的垂直距离

，则YX就是一个二维随

量．§1

二维随量返回主

⒊．

，则YX就是一个二维随某钢厂钢材的质量，令⒋二维随

量的例子某地区的气候状况，令X：该地区的温度Y：该地区的湿度X：钢材的含碳量

Y：钢材的含硫量

，则YX就是一个二维随

量．§1

二维随量返回主

实数量，则对于任意一对

，设YX是一个二维随的分布函数.x，y

是的变量X，Yyx，，F

x，

y

PX

x，

Y

y2二维随§1

二

维随

量量的联合分布函数的定义返回主

二维分布函数的几何意义是：F

x，y

表示平面上的随机点X，Y

落在以

x，y

为右上顶点的无穷矩形中的概率．yo(X,

Y

)§1

二维随二维分布函数的几何意义量x(

x,

y)F

x，

y

PX

x，

Y

y返回主

一个重要的公式设：x1

x2

，y1

y2则Px1

X

x2

，

y1

Y

y2

2

2

2

1

1

2

1

1

F

x

，

y

F

x

，

y

F

x

，

y

F

x

，

y yxox1x2y1y2(x2

,

y2)(x2

,

y1)(x1

,

y2)(X,Y

)(x1,

y1)§1

二维随量

Px

X

x ，

y

Y

y

1

2

1

2

PX

x2

，

Y

y2

(

X

x1

,Y

y2

)

P

(

X

x2

,Y

y1

)对于任意固定的

Y,对于任意固定的

X

,F

(,

y)

0;F(

x,)

0;F

),(),0(;F

§1

二

维随

量2)分布函数具有以下的基本性质：1)F(x,y)是变量x,y的不减函数，即对于任意固定的

y

,当x1<x2时，F

(x1

,y)

F

(x2

,y);对于任意固定的x

,当y1<y2时，F

(x,y1

)

F

(x,y2);0

F(x,y)

1,

且返回主

xox1x2yy2y1(x2

,

y1)(x1

,

y2) (x2

,

y2)(X,Y

)(x1,

y1)§1

二

维随

量F

(x,y)=F(x+0,y), F

(x,y

)=F(x,y+0),即F

(x,y)关于x

右连续，关于y

也右连续.F

(

x2

,

y2

)

F

(

x2

,

y1

)

F

(

x1

,

y1

)

F

(

x1

,

y2

)

0.明量分布函数的最基本的量的分布函数都具有这四说上述四条性质是二维随性质，即任何二维随条性质；更进一步地，我们还可以证明：如果某一二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随量的分布函数（证明略）．§1

二维随量返回主

X

e，

X

e，

，

X

e

e

S

X，

X

，

，

X

1

2

n1

2

n量为样本空间S上的n维随§1

二

维随

量3 n

维随

量设E

是一个随机试验，S是其样本空间Xi

Xi

e

e

S

i

1，

2，

，

n是该样本空间上的n个随

量则称返回主

量的分布函数量，则对于任

xxx，，，，n维随

XX

，，X，是设一个n维随意一n

数组21

n21

n§1

二维随量量X

，

X

，

，

X

1

2

nF

x

，

x

，

，

x

1

2

n

x

，

，

X

x n

n2

PX

x

，

X1

1

2我们称此函数为n维随的分布函数.返回主

4

二维离散型随量§1

二

维随

量若二维随个，则称

，YX为二维离散型随量

，

YX的取值是有限个或可列无穷量．X

的取值为

，设YX二维离散型随x1，

x2，

，

xi

，

Y

的取值为y1，

y2，

，

y

j

，

则称pij

PX

xi

，

Y

y

j

i，j

1，

2，

为二维离散型随量X，Y

的（联合）分布律二维离散型随X，Y

的联合分布律也可以由下表表示YX12y

yj…

y…x1x2xip11p12…p1

j…p21p22…p2

j…pi

1pi

2…pij…§1

二

维随

量量的联合分布律返回主二维离散型随性质1

：

1

piji，j性质2

：对任意的i，j，i，j

1，2，有

p

PX

x

，

Y

y

0ij

i

j§1

二

维随

量量联合分布律的性质返回主入321三个盒子中解例1将两个球等可能地放令：X：放入1号盒中的球数Y：放入2号盒中的球数试求X，

Y

的X

的可能取值为0，1，2Y

的可能取值为0，1，29

132PX

0，

Y

0

1§1

二维随量返回主932

2

2

;例1（续）PX

0，

Y

132PX

0，

Y

2

19329PX

1，

Y

0

2

2

;329PX

1，

Y

1

2

2

;PX

1，

Y

2

P

0§1

二

维随

量32

1

;

PX

2，

Y

0

19

1PX

2，

Y

2

P

0PX

2，

Y

1

P

0返回主例1（续）由此得X，

Y 的§1

二维随量i

4p

P{

X

i,Y

j}

P{Y

j

|

X

i}P{

X

i}

1

1

,ij其中i

1,2,3,4,§1

二维随量量X在1,2,3,4四个数中等可能地取值，另一个量Y

在1~X

中等可能地取一整数值。试求(X,Y

)例2设随随的分布律。解：由题意知，X=i，Y=j的取值情况是：i=1,2,3,4，且是等可能的；然后j

取不大于i

的正整数。返回主ij

PX

i，

Y

j

0所以，当

i

j

时，p当i

j

时，由乘法公式，得§1

二维随量Y12341234例2（续）X返回主

二维离散型随设X，Y

二维离散型随量其(联合)分布律为pij

PX

xi

，

Y

y

j

i，j

1，

2，

则X，Y

的联pijxxi

yy

，

j

F

x，

y§1

二

维随

量量的联合分布函数返回主

对于二维随

量(X,Y

)

的分布函数如果存在非负实函数 使得对于任意的实数 有：

y

xf

(u,v)dudv,F(

x,

y)

则称(X,Y)是连续型的二维随称为二维随

量(

X,Y

)的概率密度，或称为X

和Y

的联合概率密度。5

二维连续型随量§1

二维随量F(

x,

y)

,f

(

x,

y)

,x,

y量，函数

f

(x,y),返回主

10f

(

x,

y)

0

;20

f

(

x,

y)dxdy

F

(,)

1

;30f

(

x,

y).xy

2

F

(

x,

y)

若f

(x,y)在点(x,y)连续，则有40设G

是平面上的一个区域，点(X,Y

)落在G

内的概率为：GP{(X

,Y

)G}

f

(

x,

y)dxdy.返回主

§1

二

维随

量按定义，概率密度

f

(x,y)具有以下性质：§1

二维随量P{(X

,Y

)G}的几何意义在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示P{(X,Y)G}的值等于以G

为底，以曲面

z=f

(x,y)为顶的柱体体积返回主

例3

设二维随量

，

YX的密度函数为解⑴由密度函数的性质，得0x

0，y

0其它f

x，

y

ce

3

x

4

y

⑴求常数c⑵

求X，

Y

的⑶求P0

X

1，0

Y

2．§1

二

维随

量返回主

例3（续）1

f

x，

ydxdy

c

e3

x

4

y

dxdy0

0

c

e

dx

e

dy0

4

y0

3

x12

c所以，c§1

二维随量xyx

0,

y

0当x

0或y

0时，F

x，y

0(2)F

x，

y

PX

x，

Y

y返回主

yx0

0

12

e

3udu

e4v

dvxy

f

u，

v

dudv

xy

12

e3u

4v

dudv0

0

1

e3

x

1

e4

y

0x

0，y

0其它所以，F

x，y

1

e3

x

1

e4

y

§1

二维随例3（续）当x

0

且y

0

时F

x，

y

PX

x，

Y

y量返回主

1

20

00

x

1，

0

y

2f

x，

ydxdy1

2

12

e3

x

4

y

dxdy0

0

12

e

3

x

dx

e4

y

dy

1

e3

1

e8

§1

二维随例3（续）⑶．P0

X

1，

0

Y

2．量返回主

如果二维随上的均匀分布．则称二维随

f x，

y

1

x，

y

D

A

0

x，

y

D量

，

YX服从区域D§1

二

维随

量二维均匀分布设D是平面上的有界区域，其面积为A返回主

二维均匀分布几何意义如果二维随量X，Y

服从区域D上的均匀分布，我们可以认为随机点X，Y

只落在区域D内；并且落在D内任一个子区域D1

内的概率与该子区域的面积成正比，而与D1

的形状以及D1

在D中的位置无关．§1

二维随量返回主

二维正态分布设二维随则称随的正态分布，记作2

2222122122

exp

1

2112

121

12

2

yyx1

x

，fyx

221

2

1

2X，

Y

~

N

，

，

，

,

§1

二维随量i

i

i

1，

20

i

1，

2

1

1返回主

解出现例4将一枚均匀的硬币掷3次，令X：3次抛掷中正面出现的次数

Y：3次抛掷中正面出现次数与次数之差的绝对值．试求X，

Y

的§1

二

维随

量S

{HHH,

HHT,

HTH

,

HTT

,THH

,THT

,TTH

,TTT

}X

的可能取值为0，1，2，3Y

的可能取值为1，3

．返回主

例4（续）PX

0，

Y

1

0PX

0，

Y

3

1

；8PX

1，

Y

1

3

；PX

2，

Y

1

3

；8PX

1，

Y

3

0PX

2，

Y

3

0；8PX

3，

Y

1

08PX

3，

Y

3

1

．由此得随量X，Y

的联合分布律为§1

二

维随

量S

{HHH,

HHT,

HTH

,

HTT

,THH

,THT

,TTH

,TTT

}返回主

例4（续）XY012310383803180018§1

二维随量返回主

例5设二维随量

，

YX的密度函数为解⑴．由密度函数的性质，得

y2

R2其它x

2

y2

x

20cR

f

x，

y

y2

r

2

0

r

R内⑴．求常数c；⑵．求X，Y

落入圆x2的概率．§1

二

维随

量返回主

例5（续）

f

x，

ydxdy1

22

cR

x

yx

2

y

2

R2dxdy作极坐标变换x

cos

，