弹性与塑性力学问题的建立与基本解法

弹性与塑性力学引论配套教材：《弹性与塑性力学引论》中国水利水电出版社，丁勇宁波大学建筑工程与环境学院联系方式：137210762@弹性与塑性力学引论第6章弹性与塑性力学问题的建立与基本解法6.1弹性力学基本方程与边界条件弹性力学基本方程平衡方程：∂τ∂σ∂τ∂z⎫+yx++

=zx

F

0x⎪∂x∂ybx⎪∂τ

∂σ

∂τ⎪xy+y+F

0zy

+

=⎬∂x∂y∂zby⎪⎪∂τ∂τ∂σ∂z+yz+F

0⎪+

=xzz∂x∂ybz⎭用张量公式表示为σ

+

F

=

0ij,

jbi6.1弹性力学基本方程与边界条件弹性力学基本方程几何方程：∂u∂u

∂v⎫εx

=εy

=εz

=γ

=

+xy⎪∂x∂

∂y

x⎪∂v∂v

∂w⎪∂

∂z

yγ

=

+⎬∂yyz⎪⎪∂w∂w

∂uγ

=

+⎪∂zzxx

z

⎭∂

∂用张量公式表示为1(

)ε

=

u

+

uiji,jj,i2此外还可补充6个应变协调方程6.1弹性力学基本方程与边界条件弹性力学基本方程本构方程：τ⎫1⎡

(

)⎤

γ

=

xyε

=

σ

−

v

σ

+σ⎪⎣⎦xyxxyzGτE1⎪⎪ε=

⎡

−

(

+

)⎤σvσ

σγ=yz⎬⎣⎦yyzxyzE1G⎪τ⎪⎡

(

)⎤ε

=

σ

−

v

σ

+σγ

zx

=

zx⎣⎦⎪zzxyEG⎭用张量公式表示为1+

vvε

=

σ

−

δ

σijijij

kkEE6.1弹性力学基本方程与边界条件弹性力学边界条件应力边界条件：p

σ

n

τ

n

+τ

n

⎫=+（张量形式)xx

xyx

yzx

z⎪p

=τ

n

+σ

n

+τ

np

=

σ

n⎬zy

ziij

jyxy

xy

y⎪p

=τ

n

+τ

n

+σ

n⎭zxz

xyz

yz

z位移边界条件：ui

=

ui（张量形式)混合边界条件：p

=

σ

nS在

上iij

jσui

=

uiS在

上u6.1弹性力学基本方程与边界条件弹性力学问题的提法：弹性力学问题是在给定边界或内部作用（温度、外力等）下，求解物体内部的应力、应变和位移场。弹性力学问题共有15个方程，即3个平衡方程、6个几何方程、6个本构方程；求解变量也是15个，即3个位移分量、6个应变分量、6个应力分量，在给定边界条件时，问题可解。σ

+

F

=

0平衡方程：几何方程：ij,

jbi1(

)ε

=

u

+

uiji,jj,i21+

vvε

=

σ

−

δ

σ本构方程：ijijij

kkEE6.2弹性力学问题的基本解法6.2.1位移法位移法是以位移为基本未知量的解法，为此需要用位移表示平衡方程。即先将应力用应变表示，再将应变用位移表示；最后代入平衡方程，得到用位移表示的平衡方程⎧∂θ(

)u

F

0λ

+

μ

+

μ∇2

+

=⎪∂xbx⎪⎪∂θ(

)v

F

0λ

+

μ

+

μ∇2

+

=⎨∂yby⎪⎪∂θ(

)λ

+

μ

+

μ∇2

+

=w

F

0⎪⎩∂zbz∂∂2∂∂2∂∂2θ

=

ε

+

ε

+

ε∇2=

+

+其中，xyz222x

y

z6.2弹性力学问题的基本解法位移法：上述位移法平衡方程表示为张量形式为(

)λ

+

μ

u

+

μu

+

f

=

0j,

jii,

jji位移法平衡方程的推导包含了平衡方程、几何方程和本构方程的信息，求解时只需补充边界条件。当边界条件为给定位移时，可以直接使用；当边界条件为给定面力时，则可通过广义胡克定律和几何关系，将其中的应力用位移来表示。6.2弹性力学问题的基本解法6.2.1

应力法应力法是以应力为基本未知量的方法，平衡方程∂τ⎧∂σ∂τ+yx++

Fbx

=

0xzx⎪∂x

∂y

∂z∂τ

∂σ

∂τ⎪⎪xy+y+Fzy

+

=

0⎨∂x

∂y

∂zby⎪∂τ⎪∂τ∂σ+yz

+

+

F

=

0xzz⎪∂x

∂y

∂zbz⎩由应力求得的应变还需要满足应变协调方程。因为前面的应变协调方程是用应变表示的，所以还需要转化为用应力表示。6.2弹性力学问题的基本解法应力法：应力表示的应变协调方程称为米切尔方程：∂Fby⎫∂2σ⎛

∂∂

⎞∂Fbx∂x1vFbxxF∇∇∇∇∇∇2σ

x

+=

−=

−=

−++++++bz

−

2⎜⎟⎪+

∂1

v

x∂2σ+

∂1

v

y∂2σ+

∂1

v

y21

v−∂∂y∂z⎝⎠⎪⎪∂Fby∂Fby∂y⎛

∂F∂

⎞1vFbxx2σ

y

+σ

y

+bz

−

2⎪⎜⎟21

v−∂∂y∂z⎝⎠⎪⎪∂Fby∂Fby⎛

∂F∂

⎞1vFbxx⎪2bz

−

2⎜⎟21

v−∂∂y∂zy∂

⎪⎝⎠⎬∂∂2σ⎛

FF∂

⎞bx1⎪2τ

+=

−by+++⎜⎟⎪xy1

v

x

y+

∂

∂∂∂yx⎝⎠⎪∂F

⎞by⎪∂2σ1

v

y

z+

∂

∂⎛

∂1Fbzy2τ

yz

+=

−=

−⎜⎟⎪∂∂z⎝⎠⎪⎪1

∂2σ⎛

∂F∂F

⎞bz2τ

zx

+bx⎪⎜

∂⎝

zx

⎠∂

⎟1

v

z

x+

∂

∂⎭因此，应力法求解弹性力学问题，归结为求满足3个平衡方程，6个应变协调方程以及边界条件的6个应力分量。6.3塑性力学基本方程与求解方法6.3.1基本方程塑性力学可采用增量理论或全量理论求解，相应的基本方程与边界条件有所不同。平衡方程：dσ

+

dF

=

0增量理论ij,

jbidσij,

jdF为应力增量，

为体力增量。bi全量理论

σ

+

F

=

0ij,

jbi6.3塑性力学基本方程与求解方法几何方程：1()j,idε

=

du

+

du增量理论iji,

j2dεdu为应变增量，

为位移增量。iji1(

)ε

=

u

+

u全量理论iji,jj,i2本构方程：d

d

dε

=

ε

e

+

ε

p增量理论ijijijdσ3vdεeij=dij

−

σ

δ其中弹性应变增量塑性应变增量m

ij2G

E∂ϕε3dε

p

=

λd

d,

dλ

=pij∂σij2σs6.3塑性力学基本方程与边界条件本构方程：3εe

=

s⎫⎪ij

σ

ij2⎪全量理论⎬σE⎪εm

==m

,

K3K(

−

)3

1

2v

⎪⎭除上述方程外，塑性力学问题还需要增加一个屈服条件方程屈服条件方程：(

)ϕ

σ

,ξ

=

0ijα(

)ϕ

σ

,ξ

<

0弹性区塑性区ijα(

)ϕ

σ

,ξ

=

0ijα6.3塑性力学基本方程与边界条件塑性力学边界条件增量理论d

pi=

dσ

n应力边界条件：ijjdui

=

dui位移边界条件：全量理论P

=

σ

n应力边界条件：位移边界条件：iij

jui

=

ui塑性力学问题共有16个方程，即3个平衡方程、6个几何方程、6个本构方程，1个屈服条件方程；求解变量也是15个，即3个位移分量、6个应变分量、6个应力分量，1个塑性参dλ数

。在给定边界条件时，问题可解。6.3塑性力学基本方程与边界条件6.3.2塑性力学问题的基本解法对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。增量理论中塑性力学问题的提法：已知物体的加载历史、应力场、应变场、位移场、加载面方程，以及t

时刻物体上的体力增量、边界面力增量（给定力边界）、边界位移增量（给定位移边界），求解t

+

Δt时刻的位移场、应变场和应力场。增量理论对应的解法：⎫σ

=

σ

+

dσ根据增量理论的平衡方程、几何方ijijij⎪t+Δtt程、本构方程、屈服条件、边界条件，⎪ε

=

ε

+

dε⎬ij求出t

+

Δt时刻的应力增量、应变增量、ijijt+Δtt⎪位移增量，从而获得此时的应力、应变和位移场。u

du=

+ui⎪⎭iit+Δtt6.3塑性力学基本方程与边界条件6.3.2塑性力学问题的基本解法对应于增量理论和全量理论，塑性力学问题采用不同的解法。全量理论中塑性力学问题的提法：已知作用于物体上的体力、边界面力（给定力边界上）、边界位移增量（给定位移边界上）的加载历史，求解某一时刻物体的应力场、应变场、位移场。全量理论对应的解法：根据全量理论的平衡方程、几何方程、本构方程、屈服条件、边界条件，获得某一时刻的应力、应变和位移场。实际解法与弹性问题一样，有位移法、应力法两种基本方法。6.3塑性力学基本方程与边界条件6.3.2塑性力学问题的基本解法全量理论的尹留申弹性解法：⎣

(

)⎦

代入位移s

=

2G

1−ω

ε

e⎡⎤把应力应变偏量之间的关系式法平衡方程的推导中，得到ijij(

)(

)λ

+

μ

u

+

μu

+

f

=

2μ

ωej,

jii,

jjiij,

j首先令ω

=

0，上式退化为线弹性方程，求得弹性解；再将弹性解作为第一次近似解，代入式上右端项作为已知量，求解上式，得到二次近似解。重复以上过程，直到前后两次近似解的值差别很小，即可认为得到弹塑性解。6.4解的唯一性定理

圣维南原理

叠加原理6.4.1解的唯一性定理弹塑性力学基本方程在给定边界条件情况下，其解是唯一的。下面在小变形、线弹性条件下来证明。假设同一弹性力学问题的存在两组应力解，它们的差为σ*ij=

σ

(1)

−σ

(2)ijij(2)ij,

j(1)ij,

jσ

+

=σ

+

F

=

0F

0由平衡方程得到bibiσ+*ij,j=0（*）11+

v由应变协调方程得到∇2σ*ijσ*=0,

ij（**）(2)ij(1)ijσ

=σ

n

=

Pn

P由边界条件得到jijin

0σ

*

=（***）ij

j6.4解的唯一性定理

圣维南原理

叠加原理6.4.1解的唯一性定理σ

*综上所述，

满足无体力、无面力的自然状态下的平衡方程ij和边界条件，此时σ*ij=0所以(1)ij(2)ij*ijσ

−σ

=σ

=

0(1)ij2(

)ijσ

σ即

和

实际上是同一组解，由此说明弹性力学问题的解是唯一的。6.4解的唯一性定理

圣维南原理

叠加原理6.4.1解的唯一性定理解的唯一性定理可以简化弹塑性力学问题的求解，它是逆解法、半逆解法的理论依据。逆解法：预先选取一组位移或应力函数，然后验证其满足弹塑性基本方程和边界条件，该组函数即为问题的解。半逆解法：在所有的未知量中，预先假设一部分已知，另一部分则根据基本方程和边界条件求出，从而得到全部的未知量解的唯一性定理说明由逆解法、半逆解法得到的解答是弹塑性力学问题的唯一解。6.4解的唯一性定理

圣维南原理

叠加原理6.4.2圣维南原理作用在弹性体表面局部面积上的力系，如果被同一作用面上的等效力系所代替，只会影响与荷载作用处很近处的应力，对荷载较远处只有极小的影响。上图钳子夹住一根直杆，那么直杆上加上了一组平衡力系，实验证明，无论作用的力有多大，在A区域以外的应力很小。这一现象可以用圣维南原理来解释。研究表明，影响区域的大小，大致与外力作用区的大小相当。6.4解的唯一性定理

圣维南原理

叠加原理6.4.2圣维南原理右图试验中，端部施加的既不是集中力，也不是均布力，因此按均布力考虑的受力分析图与实际情况存在一定的差异。但是根据圣维南原理，这种差异只会影响作用点附近的应力，影响范围与杆件横截面的尺寸接近。在上图中，即使端部应力分布不均匀，到距离受力端超过b以后，杆件横截面上应力接近均匀分布。6.4解的唯一性定理

圣维南原理

叠加原理6.4.3叠加原理在弹性力学中，可以将复杂荷载作用分解为多个简单荷载的叠加，复杂荷载下的弹性力学解也是简单荷载单独作用下解的叠加，这就是叠加原理。(1)ij1(

)(1)biσF叠加原理成立时，如果

是面力P

和体力

作用下的弹性i(2)ij2(

)