材料力学大二上-6平面图形几何性质

附录平面图形的几何性质－应力分析所必需的预备知识材料力学为什么要研究截面图形的几何性质?实际构件的承载能力与变形形式有关，不同变形形式下的承载能力，不仅与截面的大小有关，而且与截面的几何形状有关。拉压：应力均布，仅需满足

，不考虑形状；[

]A

FN扭转：应力不均布，出现

，API

2

dA在面积A相同，但形状不同的情况下，应力分布不同。材料力学为什么要研究截面图形的几何性质研究杆件的应力与变形，研究失效问题以及强度、刚度、稳定问题，都要涉及到与截面图形的几何形状和尺寸有关的量。这些量统称为几何量，包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性矩、惯性积、主轴等。材料力学一、定义1、静矩oyzAdAyzSz

ydA材料力学Sy

zdAA图形对y轴的静矩A图形对z轴的静矩单位：m3平面图形的几何性质（1）静矩可0；0；0。（2）若图形形心C已知，由静力学可知：oyzACzcycAc

ydAASy

A

z

zdAcz

A

A

ASy（3）求静矩的另一公式：Sz

yc

ASy

zc

A平面图形的几何性质已知图形的形心坐标可以确定静矩材料力学yzAC则Sz

0,Sy

0.y、z轴称为形心轴。若已知Sz

0,Sy

0,则可确定z轴、y轴通过截面形心。平面图形的几何性质（3）若yc

0,zc

0,已知静矩可以确定图形的形心坐标材料力学oyAdAyzAIz

y²dAI

y

z²dA图形对z轴的惯矩A图形对y轴的惯矩单位：m

4平面图形的几何性质2、惯矩z2（2）I

y

iy

A,材料力学I

i

2

Az

z所以

y

,Aiy

I

I

z

Aiz

yi

,iz

——惯性半径（1）惯矩恒0；oyzAdAyzAPI

2dA图形对o点的极惯矩单位：m

4（1）材料力学

2

z2

y2API

2

dAA22

AAy

dA(z

y

)dA

z

dA22zy

I

I平面图形的几何性质3、极惯矩（2）I

p恒

0yzd已知API

32

2dA

1

d

4则I

y

Iz

I

p而I

y

Iz所以1I

y

Iz

2

I

p4材料力学64

1

d平面图形的几何性质例：已知：圆截面直径d求：I

，Iy

zdAybh例：1、矩形。求解：AyzdzI

z2dA

2Iz

,

I

y

,iy

,izh

h2z2bdz23h

b

z3

2

h

12

1

bh3同理zI

12y2dA

1

hb3AI

yyi

AIzzi

A

6

3

h,63

bc材料力学平面图形的几何性质zI

yz

A

yzdA图形对y、z两轴的惯积单位：m

4oyAdAyz（1）

I

yz

可0；0；0；材料力学（2）若图形有一对称轴，则I

yz

0平面图形的几何性质4、惯积zyAII

AIIIIAAIVIIIAyzdA

A

yzdAIVIIIAyzdA

A

yzdAAIyz

I

yzdA

AIIyzdAIVIIIAAyzdAyzdA

0材料力学平面图形的几何性质z（3）若

I

yz

0,则y、z轴称为主惯性轴（主轴）。当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩，简称形心主矩。工程计算中有意义的是形心主轴与形心主矩。材料力学d根据定义：整个图形对某一轴的惯矩（静矩、惯积…）等于各个分图形对同一轴的惯矩（静矩、惯积…）之和。IIIIIIy平面图形的几何性质二、组合图形的几何性质zD材料力学IIIIIIA

A

A

A

则AyI

z

dA2IIIIIIyz材料力学

z

dA

z

dA

z

dA

AII

AIIIAI22

2

I

yII

I

yIm

I

yIII

I

yii1同理mi1ziS

,m

mi1yi

zyS

,

S

I

z

I

zi

,

S

i1myziyzII

i1平面图形的几何性质例如:空心圆IP

IP大

IP小

1

D4

1

d

432

3232

1

D4

(1

4

)其中

d

D

z小z大I

y

Iz

I

I64

1

D4

(1

4

)平面图形的几何性质dDy材料力学z工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴的惯性矩。yzCzyCc1y1材料力学ACyzdAyzoz1ba1z1y已知:Iz

,

I

y

,

I

yz

,

a,b(y、z轴过形心C)求y1z1z1

y1I

,I

及I(

y1

y,

z1

z)解：z

z

b,1y1

y

a,平面图形的几何性质三、平行移轴公式I

1代入定义式：y1A

Az

2dA

y1(z

b)2dAAA材A料力学

22z

dA

2zbdA

b

dAy

I

2bS

y

b

A2y2I

y

I

b

A1材料力学ACyzdAyzoy1z1ba1z1yI

1y1A

Az

2dA

(z

b)2dAAAA

22z

dA

2zbdA

b

dA

I

y

2bS

y

b

A2y21I

y

I

b

A同理I

y

z1

1I

I

a2

Az1

z

A

y1z1dA

A

(z

b)(

y

a)dAAAA

A

bydA

abdAyzdA

azdA00yz

I

abA平面图形的几何性质I

I

b2

Ay1

yz1I

I

a2

AI

y

zz

I

yz1

1注意：两平行轴中，必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算;截面图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心轴的惯性矩最小.ACyzdAyzoy1z1baz11y平面图形的几何性质平行移轴公式材料力学(3)a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，要注意二者的正负号；二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。平行移轴公式y21I

y

I

b

Az21I

z

I

a

AI

y

z

I

yz1

1材料力学20cm173zyCy1czcz1解:

(1)求形心任选参考坐标系,如ySy

A

zc13

IIIIIyIy11

1Sy

S

S而A

AI

AIISyc

1

A

z

S

I

S

IIy1

y13

20

317

3

20

(1.5)

317

(3

8.5)AI

AII

6.1cm平面图形的几何性质例：T字形截面,求其对形心轴的惯矩。C1C2材料力学zc

yc,

I(2)求Izc

zczc

I

III

I

I1212117

33

3

203

2048cm

4yc

ycyc

I

III

I

I20cm173zyCy1zccz3

III12材料力学1.5c

[

1

20

33

20

3

(z

1

123

[c

317

17

3

(z

8

4030cm

4平面图形的几何性质y1四、转轴公式所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。yzOdAzyz1y1已知：Iy、Iz、Iyz、求：Iy1、Iz1、Iy1z1AAI

I

I

y1z1

A

y1

z1dAy

2dA1z1z

2dA1y11材料力学1y

ycos

zsz

z22yzyzyz1

z

cos

2

I

sin

2I

I

I

II

sin

222yzy1I

Iz

cos

2

I

I

y

Iz

I

ycos

2yzzyy1z1I

1

(I

I

)

sin

2

I2yzOdAzyz1y1材料力学主轴与形心主轴、主惯性矩与形心主惯性矩yzO0dAzyz00y0y0、z0－通过O点的主轴11

1I

y

z

(I

y

I

z

)

sin

2

I

yz

cos

2

200yzzyy0

z0

I

cos

2

0I

1

(I

I

)

sin

2

20方向

的求解:z材料力学yI

I2I

yz0tg

2

Iy0、Iz0－主惯性矩2I

y

0

Imax

y

I

z

0

Imin

2主惯性矩：z当

改变时，Iyl、Izl的数值也发生变化，而当=0时，二者分别为极大值和极小值。yO00dAyzy0z0材料力学

对于任意一点（图形内或图形外）都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯