第05讲周期信号分解-傅里叶级数课件

2022/11/271第05讲返回周期信号的分解——傅里叶级数2022/11/261第05讲返回周期信号的分解—2022/11/272频率分析通过变换将时间变量转变为频率变量、在频域内分析信号和系统特性的方法。这是基于信号的频率特性来分析信号与系统响应的方法。2022/11/262频率分析通过变换将时间变量转变为2022/11/273本章要求熟练掌握周期信号与非周期信号的频率分析熟练掌握傅氏变换与反变换的方法及其傅氏变换的性质2022/11/263本章要求熟练掌握周期信号与非周期2022/11/274本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4

非周期信号的频谱返回4.5

傅里叶变换的性质4.6

能量谱和功率谱4.7

周期信号的傅里叶变换2022/11/264本章主要内容4.1引言返回42022/11/275本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4

非周期信号的频谱4.5

傅里叶变换的性质返回4.6

能量谱和功率谱4.7

周期信号的傅里叶变换2022/11/265本章主要内容4.1引言返回42022/11/276频率分析的重要性频率特性是信号的第二个特性。由于频率紧贴我们日常生活（周期性变化是自然界的普遍规律），频率变化的高低（或快慢）我们看的见（如表中秒针最快，时针最慢，也可以用示波器看到）、听的出（女生说话的频率高些，声音就尖锐，男生说话的频率低些，声音就低沉）、量的到（可以用频率计、示波器测量），应用也非常很多（如通信中的频分复用、时分复用），所以说频率特性是信号的非常重要的特性。2022/11/266频率分析的重要性频率特性是信号的第二2022/11/277频域分析的重要性处理信号的需要，比如放大，放大器的带宽要覆盖信号的频带，就要知道信号的频带，就要用频域分析；信号计算的需要，在时域内往往要解微分方程，而用傅里叶变换到频域（拉普拉斯变换到复频域）后就变成了代数方程，求解起来很方便；一种非常基础的数学方法，应用面非常广泛。2022/11/267频域分析的重要性处理信号的需要，比如放2022/11/278在时域中，将信号分解为不同时延、强度的冲激信号；在频域中，信号可以分解为不同频率、相位及振幅的简谐振荡信号。2022/11/268在时域中，将信号分解为不同时延、强度的2022/11/279本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4

非周期信号的频谱4.5

傅里叶变换的性质返回4.6

能量谱和功率谱4.7

周期信号的傅里叶变换2022/11/269本章主要内容4.1引言返回42022/11/2710信号可以展开成傅里叶级数（作频域分解）的条件是“狄里赫利”（Dirichlet）条件，即

f(t)在[t0，t0+T]、[0，T]或区间内，以下条件才可以展开成傅里叶级数：（T为信号周期）

：周期信号的频谱分析——傅里叶级数绝对可积，即极大值、极小值数目有限间断点数目有限通常我们所遇到的周期信号大都满足以上条件。2022/11/2610信号可以展开成傅里叶级数（作频域分解2022/11/2711傅里叶级数——三角形式若信号f(t)的周期为T，频率为，则其角频率，对应傅里叶级数展开式为：式中：——

周期信号的直流分量其中n为正整数2022/11/2611傅里叶级数——三角形式若信号f(t)2022/11/2712——

n=2的称为二次谐波，n=3的称为三次谐波，以此类推。也就是说任何周期信号均可表示为由各次谐波进行叠加而成。——

基波分量周期信号的谐波分量2022/11/2612——n=2的称为二次谐波，n=32022/11/2713还可将原有的正弦谐波与余弦谐波变换成单一的余弦谐波或正弦谐波形式，即：或式中：2022/11/2613还可将原有的正弦谐波与余弦谐波变换成2022/11/2714信号波形关于纵轴对称，其傅里叶级数展开式只含有余弦项，即：an≠0

及

bn=

0（n

=

0，1，2，…）。

⑴

偶函数：满足f(-t)=f(t)

⑵

奇函数：满足

f(-t)=-f(t)

信号波形关于原点对称，其傅里叶级数展开式只含有正弦项，即：an=0

及

bn≠0（n

=

1，2，3，…）。函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系2022/11/2614信号波形关于纵轴对称，其傅里叶级数展2022/11/2715⑶

奇谐函数：满足

信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分关于横轴对称，其傅里叶级数展开式只含有奇次谐波（包括余弦项和正弦项），即：an≠0，bn≠0（其中

n

=1，3，5，…），又称半波镜像信号。……2022/11/2615⑶奇谐函数：满足信号波形某部分向2022/11/2716⑷

偶谐函数：满足

信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分完全重合，其傅里叶级数展开式只含有偶次谐波（包括余弦项和正弦项），即：an≠0，bn≠0（其中n

=

0，2，4，…），又称半波重叠信号。……2022/11/2616⑷偶谐函数：满足信号波形某部分向2022/11/2717例：求图示周期方波信号的傅里叶级数展开式。信号幅度为A，持续时间为τ，周期为T，对应的频率为，角频率为，于是各次谐波的系数分别为：2022/11/2617例：求图示周期方波信号的傅里叶级数展2022/11/2718由于是偶对称，故有于是：2022/11/2618由于是偶对称，故有于是：2022/11/2719周期信号的频谱图如果以频率（或角频率）为横轴，以An的幅度或相位为纵轴，将各分量按其频率高低依次排列起来画出的谱状线，称为频谱线（或频谱图），可以分别称为振幅频谱和相位频谱（如果相位值只有0、π二个值的话，也可以画一个图）；通过各谱线的端点的连线，称为频谱包络线。2022/11/2619周期信号的频谱图如果以频率（或角频2022/11/2720三角形式：周期信号的频谱图2022/11/2620三角形式：周期信号的频谱图2022/11/27212022/11/26212022/11/2722傅里叶级数——指数形式由前面的三角形式的傅里叶级数关系式可以进行如下推导：2022/11/2622傅里叶级数——指数形式由前面的三角形2022/11/2723指数形式2022/11/2623指数形式2022/11/2724上式表明，任意周期信号

f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号（）之和，其各分量的复数幅度（或相量）为Fn（谐波振幅）。上式中出现负频率，是由数学推导引出的，无实际意义；事实上正负频率是成对出现，两项相加才为实际值。∴，式中2022/11/2624上式表明，任意周期信号f(t)可2022/11/2725由前例：2022/11/2625由前例：2022/11/2726本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4

非周期信号的频谱4.5

傅里叶变换的性质返回4.6

能量谱和功率谱4.7

周期信号的傅里叶变换2022/11/2626本章主要内容4.1引言返回2022/11/2727周期信号的频谱如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，将各分量按其频率高低依次排列起来的谱状线，称为频谱线，或分别称为振幅频谱和相位频谱；通过各谱线的端点的连线，称为频谱包络线。以周期性方波为例：2022/11/2627周期信号的频谱如果以频率为横轴，以幅2022/11/2728三角形式：2022/11/2628三角形式：2022/11/2729指数形式：2022/11/2629指数形式：2022/11/2730周期信号的频谱为离散频谱，只有在处有谱线；两条谱线间的距离为，因此，周期

T越大，谱线越密，这样就引出了一条频谱的离散性重要概念：

， ，周期信号→非周期信号，离散频谱→连续频谱。2022/11/2630周期信号的频谱为离散频谱，只有在2022/11/2731频谱的谐波性频谱的各次谐波的振幅与

A、成正比，而与

T

成反比。2022/11/2631频谱的谐波性频谱的各次谐波的振幅与2022/11/2732①

总趋势下降，但快慢不一样：如果信号本身有有限间断点，则其频谱系数按的速率衰减；如信号本身连续，但其一阶导数有有限间断点（如三角波），则其频谱系数按速率的衰减；依次类推。频谱的收敛性2022/11/2632①总趋势下降，但快慢不一样：如果信2022/11/2733可见信号对时间存在的导数越高，则其频谱衰减越快，即信号的波形越光滑，其高频谐波的幅度越小；反之，信号变化越快，则其高次谐波的幅度也就越大。频谱的收敛性2022/11/2633可见信号对时间存在的导数越高，则其频2022/11/2734②

当或（m为任何整数）时，频谱包络线通过零点，可见，τ

越长，则第一个零点越接近原点；由于经过第一个零点以后的幅度已经很小，可忽略，因此，常把第一个零点以内所包含的宽度定义为信号的（有效）频带宽度：或2022/11/2634②当或2022/11/2735所以，信号的持续时间越长，其占有频带就越窄（极限：直流

→0）反之，信号的持续时间越短，其占有频带就越宽（极限：）。

2022/11/2635所以，信号的持续时间越长，其占有频带2022/11/2736频谱的收敛性信号的频带宽度是研究信号与系统频率特性的重要内容。既然规定了信号频带宽度的标准，那么，为了使信号通过线性系统又不产生失真，就要求系统本身所具有的频率特性必须与信号的带宽相适应。由此可知，信号的频带宽度越大，对系统的要求就会越高。2022/11/2636频谱的收敛性信号的频带宽度是研究信号2022/11/2737周期信号频谱分析的总结周期信号的频谱为离散频谱；周期信号频谱的收敛（衰减）速度与信号波形有关：波形越光滑，收敛越快；频谱的密度与信号周期成正比；周期信号的有效频带宽度与信号的持续时间成反比。2022/11/2637周期信号频谱分析的总结周期信号的频谱2022/11/2738周期信号频谱分析的总结T改变（假如增加），幅度减小，谱线变密，但包络线零点位置不变；τ

改变（假如也增加），幅度增加，谱线密度不变，零点位置向左移动（靠近原点），有效频宽变窄；A

改变，仅影响幅度，成正比。2022/11/2638周期信号频谱分析的总结T改变（假如2022/11/2739可见A

越大，T

越小（ω

越高），τ

越长，信号能量越大，谐波分量必然要加强。2022/11/2639可见A越大，T越小（ω越高2022/11/2740周期信号的功率这里讨论的是周期信号的功率在时域和频域的对应关系：周期信号为功率信号，由归一化平均功率：，将 代入得（时域）根据：，上式有四种类型：①

自身项n=0

：2022/11/2640周期信号的功率这里讨论的是周期信号的2022/11/2741②

自身项n≠0

：③交叉项m=-n

：

2022/11/2641②自身项n≠0：③交叉项2022/11/2742④交叉项m

≠

-n

：

2022/11/2642④交叉项m≠-n：2022/11/2743由前面式子，，及，可以推出：∴（频域）2022/11/2643由前面式子2022/11/2744上式称为帕斯瓦尔（Parseral）时频功率守恒公式，即“任意周期信号的平均功率等于信号的各次谐波的平均功率之和”。例：前面介绍的方波：设由第一个零点：2022/11/2644上式称为帕斯瓦尔（Parseral）2022/11/2745返回2022/11/2645返回2022/11/2746设：f(t)=i(t)，则其瞬时功率为p=i2(t)R=i2(t)，由三角分解式可知各次谐波的最大值为：A0=I0

，An=Imn

那么在一个周期内的平均功率为：非正弦周期信号的有效值又：P=I2R=I2

，即2022/11/2646设：f(t)=i(t)，则其瞬2022/11/2747有效值：一个非正弦周期信号（电压或电流）的有效值等于这个电压或电流所含各次谐波有效值的平方和的开方（方均根值）。

∴其中：I、

Ieff——

有效值（方均根值）同理：2022/11/2647有效值：一个非正弦周期信号（电压或电2022/11/2748例：周期非正弦稳态电路的计算。已知：求：瞬时值i(t)、有效值I

、平均功率P。非正弦周期信号的有效值2022/11/2648例：周期非正弦稳态电路的计算。已知：2022/11/2749解：⑴

分别计算各次谐波单独作用产生的响应∴

①

基波：②

三次谐波：∴

2022/11/2649解：⑴分别计算各次谐波单独作用产生2022/11/2750③

五次谐波∴⑵

计算各次谐波产生的总响应瞬时值：有效值：2022/11/2650③五次谐波∴⑵计算各次谐波产生的2022/11/2751⑶

平均功率（即为同次电流、电压的平均功率之和）或2022/11/2651⑶平均功率（即为同次电流、电压的平2022/11/2752第05讲返回周期信号的分解——傅里叶级数2022/11/261第05讲返回周期信号的分解—2022/11/2753频率分析通过变换将时间变量转变为频率变量、在频域内分析信号和系统特性的方法。这是基于信号的频率特性来分析信号与系统响应的方法。2022/11/262频率分析通过变换将时间变量转变为2022/11/2754本章要求熟练掌握周期信号与非周期信号的频率分析熟练掌握傅氏变换与反变换的方法及其傅氏变换的性质2022/11/263本章要求熟练掌握周期信号与非周期2022/11/2755本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4

非周期信号的频谱返回4.5

傅里叶变换的性质4.6

能量谱和功率谱4.7

周期信号的傅里叶变换2022/11/264本章主要内容4.1引言返回42022/11/2756本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4

非周期信号的频谱4.5

傅里叶变换的性质返回4.6

能量谱和功率谱4.7

周期信号的傅里叶变换2022/11/265本章主要内容4.1引言返回42022/11/2757频率分析的重要性频率特性是信号的第二个特性。由于频率紧贴我们日常生活（周期性变化是自然界的普遍规律），频率变化的高低（或快慢）我们看的见（如表中秒针最快，时针最慢，也可以用示波器看到）、听的出（女生说话的频率高些，声音就尖锐，男生说话的频率低些，声音就低沉）、量的到（可以用频率计、示波器测量），应用也非常很多（如通信中的频分复用、时分复用），所以说频率特性是信号的非常重要的特性。2022/11/266频率分析的重要性频率特性是信号的第二2022/11/2758频域分析的重要性处理信号的需要，比如放大，放大器的带宽要覆盖信号的频带，就要知道信号的频带，就要用频域分析；信号计算的需要，在时域内往往要解微分方程，而用傅里叶变换到频域（拉普拉斯变换到复频域）后就变成了代数方程，求解起来很方便；一种非常基础的数学方法，应用面非常广泛。2022/11/267频域分析的重要性处理信号的需要，比如放2022/11/2759在时域中，将信号分解为不同时延、强度的冲激信号；在频域中，信号可以分解为不同频率、相位及振幅的简谐振荡信号。2022/11/268在时域中，将信号分解为不同时延、强度的2022/11/2760本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4

非周期信号的频谱4.5

傅里叶变换的性质返回4.6

能量谱和功率谱4.7

周期信号的傅里叶变换2022/11/269本章主要内容4.1引言返回42022/11/2761信号可以展开成傅里叶级数（作频域分解）的条件是“狄里赫利”（Dirichlet）条件，即

f(t)在[t0，t0+T]、[0，T]或区间内，以下条件才可以展开成傅里叶级数：（T为信号周期）

：周期信号的频谱分析——傅里叶级数绝对可积，即极大值、极小值数目有限间断点数目有限通常我们所遇到的周期信号大都满足以上条件。2022/11/2610信号可以展开成傅里叶级数（作频域分解2022/11/2762傅里叶级数——三角形式若信号f(t)的周期为T，频率为，则其角频率，对应傅里叶级数展开式为：式中：——

周期信号的直流分量其中n为正整数2022/11/2611傅里叶级数——三角形式若信号f(t)2022/11/2763——

n=2的称为二次谐波，n=3的称为三次谐波，以此类推。也就是说任何周期信号均可表示为由各次谐波进行叠加而成。——

基波分量周期信号的谐波分量2022/11/2612——n=2的称为二次谐波，n=32022/11/2764还可将原有的正弦谐波与余弦谐波变换成单一的余弦谐波或正弦谐波形式，即：或式中：2022/11/2613还可将原有的正弦谐波与余弦谐波变换成2022/11/2765信号波形关于纵轴对称，其傅里叶级数展开式只含有余弦项，即：an≠0

及

bn=

0（n

=

0，1，2，…）。

⑴

偶函数：满足f(-t)=f(t)

⑵

奇函数：满足

f(-t)=-f(t)

信号波形关于原点对称，其傅里叶级数展开式只含有正弦项，即：an=0

及

bn≠0（n

=

1，2，3，…）。函数的偶、奇性质及其与谐波含量的关系2022/11/2614信号波形关于纵轴对称，其傅里叶级数展2022/11/2766⑶

奇谐函数：满足

信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分关于横轴对称，其傅里叶级数展开式只含有奇次谐波（包括余弦项和正弦项），即：an≠0，bn≠0（其中

n

=1，3，5，…），又称半波镜像信号。……2022/11/2615⑶奇谐函数：满足信号波形某部分向2022/11/2767⑷

偶谐函数：满足

信号波形某部分向左（或向右）平移半个周期，就会与不动的部分完全重合，其傅里叶级数展开式只含有偶次谐波（包括余弦项和正弦项），即：an≠0，bn≠0（其中n

=

0，2，4，…），又称半波重叠信号。……2022/11/2616⑷偶谐函数：满足信号波形某部分向2022/11/2768例：求图示周期方波信号的傅里叶级数展开式。信号幅度为A，持续时间为τ，周期为T，对应的频率为，角频率为，于是各次谐波的系数分别为：2022/11/2617例：求图示周期方波信号的傅里叶级数展2022/11/2769由于是偶对称，故有于是：2022/11/2618由于是偶对称，故有于是：2022/11/2770周期信号的频谱图如果以频率（或角频率）为横轴，以An的幅度或相位为纵轴，将各分量按其频率高低依次排列起来画出的谱状线，称为频谱线（或频谱图），可以分别称为振幅频谱和相位频谱（如果相位值只有0、π二个值的话，也可以画一个图）；通过各谱线的端点的连线，称为频谱包络线。2022/11/2619周期信号的频谱图如果以频率（或角频2022/11/2771三角形式：周期信号的频谱图2022/11/2620三角形式：周期信号的频谱图2022/11/27722022/11/26212022/11/2773傅里叶级数——指数形式由前面的三角形式的傅里叶级数关系式可以进行如下推导：2022/11/2622傅里叶级数——指数形式由前面的三角形2022/11/2774指数形式2022/11/2623指数形式2022/11/2775上式表明，任意周期信号

f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号（）之和，其各分量的复数幅度（或相量）为Fn（谐波振幅）。上式中出现负频率，是由数学推导引出的，无实际意义；事实上正负频率是成对出现，两项相加才为实际值。∴，式中2022/11/2624上式表明，任意周期信号f(t)可2022/11/2776由前例：2022/11/2625由前例：2022/11/2777本章主要内容4.1引言4.2傅里叶级数4.3周期信号的频谱4.4

非周期信号的频谱4.5

傅里叶变换的性质返回4.6

能量谱和功率谱4.7

周期信号的傅里叶变换2022/11/2626本章主要内容4.1引言返回2022/11/2778周期信号的频谱如果以频率为横轴，以幅度或相位为纵轴，将各分量按其频率高低依次排列起来的谱状线，称为频谱线，或分别称为振幅频谱和相位频谱；通过各谱线的端点的连线，称为频谱包络线。以周期性方波为例：2022/11/2627周期信号的频谱如果以频率为横轴，以幅2022/11/2779三角形式：2022/11/2628三角形式：2022/11/2780指数形式：2022/11/2629指数形式：2022/11/2781周期信号的频谱为离散频谱，只有在处有谱线；两条谱线间的距离为，因此，周期

T越大，谱线越密，这样就引出了一条频谱的离散性重要概念：

， ，周期信号→非周期信号，离散频谱→连续频谱。2022/11/2630周期信号的频谱为离散频谱，只有在2022/11/2782频谱的谐波性频谱的各次谐波的振幅与

A、成正比，而与

T

成反比。2022/11/2631频谱的谐波性频谱的各次谐波的振幅与2022/11/2783①

总趋势下降，但快慢不一样：如果信号本身有有限间断点，则其频谱系数按的速率衰减；如信号本身连续，但其一阶导数有有限间断点（如三角波），则其频谱系数按速率的衰减；依次类推。频谱的收敛性2022/11/2632①总趋势下降，但快慢不一样：如果信2022/11/2784可见信号对时间存在的导数越高，则其频谱衰减越快，即信号的波形越光滑，其高频谐波的幅度越小；反之，信号变化越快，则其高次谐波的幅度也就越大。频谱的收敛性2022/11/2633可见信号对时间存在的导数越高，则其频2022/11/2785②

当或（m为任何整数）时，频谱包络线通过零点，可见，τ

越长，则第一个零点越接近原点；由于经过第一个零点以后的幅度已经很小，可忽略，因此，常把第一个零点以内所包含的宽度定义为信号的（有效）频带宽度：或2022/11/2634②当或2022/11/2786所以，信号的持续时间越长，其占有频带就越窄（极限：直流

→0）反之，信号的持续时间越短，其占有频带就越宽（极限：）。

2022/11/2635所以，信号的持续时间越长，其占有频带2022/11/2787频谱的收敛性信号的频带宽度是研究信号与系统频率特性的重要内容。既然规定了信号频带宽度的标准，那么，为了使信号通过线性系统又不产生失真，就要求系统本身所具有的频率特性必须与信号的带宽相适应。由此可知，信号的频带宽度越大，对系统的要求就会越高。2022/11/2636频谱的收敛性信号的频带宽度是研究信号2022/11/2788周期信号频谱分析的总结周期信号的频谱为离散频谱；周期信号频谱的收敛（衰减）速度与信号波形有关：波形越光滑，收敛越快；频谱的密度与信号周期成正比；周期信号的有效频带宽度与信号的持续时间成反比。2022/11/2637周期信号频谱分析的总结周期信号的频谱2022/11/2789周期信号频谱分析的总结T改变（假如增加），幅度减小，谱线变密，但包络线零点位置不变；τ

改变（假如也增加），幅度增加，谱线密度不变，零点位置向左移动（靠近原点），有效频宽变窄；A

改变，仅影响幅度，成正比。2022/11/2638周期信号频谱分析的总结T改变（假如2022/11/2790可见A

越大，T

越小（ω

越高），τ

越长，信号能量越大，谐波分量必然要加强。2022/11/2639可见A越大，T越小（ω越高2022/11/2791周期信号的功率这里讨论的是周期信号的功率在时