通信原理第七章课件

现代通信原理第七章差错控制编码暨南大学电子工程系现代通信原理教研室授课教师：刘敏现代通信原理第七章差错控制编码主要内容1、纠检错编码的基本概念、最小码距与纠检错能力的关系2、常用简单编码3、线性分组码的基本概念4、循环码的基本概念、生成多项式、编码器原理主要内容1、纠检错编码的基本概念、最小码距与纠检错能力的关系本章重点与难点纠检错编码的基本概念、最小码距与纠检错能力的关系循环码的基本概念、生成多项式、编码器原理本章重点与难点纠检错编码的基本概念、最小码距与纠检错能力的关第七章差错控制编码7、1引言一、引起传输差错的根本原因及控制方法引起传输差错的根本原因： 信道的乘性干扰引起的码间串扰 信道的加性干扰引起的误码提高抗噪声性能： 提高信噪比：增大发射功率、降低接收设备本身 的噪声 选择抗噪声性能好的调制制度、解调方式第七章差错控制编码7、1引言二、信道分类按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类：随机信道、突发信道和混合信道。恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错误之间是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典型的突发信道，错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错误。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信道，应采用不同的差错控制方式。二、信道分类按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类：随机三、差错控制的方式1、前向纠错法：2、检错重发法：发端收端纠错码发端收端检错码判决信号发端收端纠错码发端收端检错码判决信号3、反馈检验法4、混合纠错法：发端收端信息信号信息信号发端收端检错和纠错码判决信号3、反馈检验法发端收端信息信号信息信号发端收端检错和纠错码判1.检错重发方式检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(AutomaticRepeatRequest)。由发端送出能够发现错误的码，由收端判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效，但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。海上通信NBDP1.检错重发方式检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(1）停止等待ARQ系统停止等待ARQ系统接收数据ACKACKNAKACKACKNAKACK1233455t发送数据12334556t有错码组有错码组1）停止等待ARQ系统停止等待ARQ系统接收数据ACKAC拉后ARQ系统214365798接收数据有错码组有错码组91011101112576ACK1NAK5NAK9ACK55769521436798发送数据1011101112重发码组重发码组2)拉后ARQ系统

拉后ARQ系统214365798接收数据91011101113）选择重发ARQ系统

选择重发ARQ系统9接收数据有错码组有错码组21436575981011131412发送数据995852143671011131412重发码组重发码组NAK9ACK1NAK5ACK5ACK93）选择重发ARQ系统

选择重发ARQ系统9接收数据2142.前向纠错方式前向纠错方式记作FEC(ForwordErrorCorrection)。发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备较复杂。 海上卫星通信Inmarsat-A2.前向纠错方式前向纠错方式记作FEC(ForwordEARQ和前向纠错比较：优点监督码元较少，即码率较高检错的计算复杂度较低能适应不同特性的信道缺点需要双向信道。不适用于一点到多点的通信系统或广播系统。传输效率降低，可能因反复重发而造成事实上的通信中断。ARQ和前向纠错比较：优点3.混合纠错方式混合纠错方式记作HEC(HybridErrorCorrection)是FEC和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错能力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力，但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此，近年来得到广泛应用。 海上卫星通信Inmarsat-C3.混合纠错方式混合纠错方式记作HEC(HybridEr四、纠错码的分类1、根据纠错码各码组的码元与信息元之间函数关系： 线性码 非线性码2、根据纠错码各码组的码元与信息元之间关系涉及的 范围： 分组码 卷积码3、根据纠错码组中信息元是否隐藏来分： 系统码 非系统码四、纠错码的分类1、根据纠错码各码组的码元与信息元之间函数关7、2纠错编码的基本原理分组码举例设：有一种由3个二进制码元构成的编码，它共有23=8种 不同的可能码组：

000–晴001–云010–阴011–雨

100–雪101–霜110–雾111–雹 这时，若一个码组中发生错码，则将收到错误信息。若在此8种码组中仅允许使用4种来传送天气，例如：令

000–晴011–云101–阴110–雨 为许用码组，其他4种不允许使用，称为禁用码组。 这时，接收端有可能发现（检测到）码组中的一个错码。这种编码只能检测错码，不能纠正错码。若规定只许用两个码组：例如

000–晴111–雨 就能检测两个以下错码，或纠正一个错码。 7、2纠错编码的基本原理码组全用用4种用2种码组全用用4种用2种000晴晴晴100雪禁用禁用001云禁用禁用101霜阴禁用010阴禁用禁用110雾雨禁用011雨云禁用111雹禁用雨码组全用用4种用2种码组全用用4种用2种000晴晴晴100雪7、2纠错编码的基本原理一、码长、码重、码距的概念分组码＝信息位＋监督位分组码符号：(n,k)

其中，n－码组总长度，

k－信息码元数目。

r=n–k

－监督码元数目。 分组码的一般结构：k个信息位r个监督位an-1an-2...arar-1an-2...a0t码长n=k+r分组码的结构信息位监督位晴000云011阴101雨1107、2纠错编码的基本原理一、码长、码重、码距的概念k个信息一、分组码的参数：码长、码重、码距的概念在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明(Hamming)重量，简称码重。例如，码字10110，码重w=3。两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的汉明(Hamming)距离，简称码距。例如11000与10011之间的距离d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重要参数，它是衡量码检错、纠错能力的依据。一、分组码的参数：码长、码重、码距的概念在分组码中，非零码元二、分组码的纠错能力与最小码距的关系任一(n,k)分组码，若在码字内：1、检测e个随机错误，则要求最小码距d0≥e＋12、纠正t个随机错误，则要求最小码距d0≥2t＋13、纠正t个同时检测e(e>t)个随机错误，则要求

d0≥t+e+1纠检错结合工作方式：当错码数量少时，系统按前向纠错方式工作，以节省重发时间，提高传输效率；当错码数量多时，系统按反馈重发的纠错方式工作，以降低系统的总误码率。

二、分组码的纠错能力与最小码距的关系任一(n,k)分组码，若三、编码效率（码率）用差错控制编码提高通信系统的可靠性，是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:R=k/n其中,k是信息元的个数，n为码长。

三、编码效率（码率）用差错控制编码提高通信系统的可靠性，是四、对纠错码的基本要求1、纠错和检错能力尽量强2、编码效率尽量高3、码长尽量短4、编码规律尽量简单实际中要根据具体指标要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。四、对纠错码的基本要求1、纠错和检错能力尽量强7、3纠错编码的性能增加监督码，降低误码率——代价是：系统带宽增大见图11-6若随机信道中，发送“0”和发送“1”时的错误概率相等，均为P，且P<<1，则码长为n

的码组恰好发生r个错码的概率为:7、3纠错编码的性能增加监督码，降低误码率——代价是：系当n=7P=10-3时

可见，采用差错控制编码，即使仅能纠正这种码组中的1~2个错误，也可以使误码率下降几个数量级。当n=7P=10-3时7、4几种简单的纠检错码1、奇偶监督码2、方阵码3、恒比码4、正反码7、4几种简单的纠检错码1、奇偶监督码1、奇偶监督码

一维奇偶监督码奇偶监督码－分为奇数监督码和偶数监督码两类。在奇偶监督码中，监督位只有1位，故码率R=k/(k+1)。偶数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为偶数： 式中，a0为监督位，其他位为信息位。奇数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为奇数：检错能力－能够检测奇数个错码。1、奇偶监督码2、方阵码——行列监督码编码效率R等于有可能检测偶数个错码适合检测突发错码能够纠正部分错码2、方阵码——行列监督码编码效率R等于3、恒比码码字中1的数目与0的数目保持恒定比例的码称为恒比码。由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的1和0，因此恒比码又称等重码，定1码。这种码在检测时，只要计算接收码元中1的数目是否正确，就知道有无错误。

目前我国电传通信中普遍采用3∶2码，又称“5中取3”的恒比码，即每个码组的长度为5，其中3个“1”。这时可能编成的不同码组数目等于从5中取3的组合数10，这10个许用码组恰好可表示10个阿拉伯数字，如表9-1所示。而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这种码后，我国汉字电报的差错率大为降低。3、恒比码码字中1的数目与0的数目保持恒定比例的码称通信原理第七章课件4、正反码信息位数=监督位数编码效率R为：R=50%P335:表11-24、正反码信息位数=监督位数基本概念代数码－利用代数关系式产生监督位的编码线性分组码－代数码的一种，其监督位和信息位的关系由线性代数方程决定汉明码－一种能够纠正一个错码的线性分组码校正子： 在偶数监督码中，计算 实际上就是计算 并检验S是否等于0。

S称为校正子。监督关系式：7.5线性分组码基本概念7.5线性分组码纠错基本原理中，S只有两种取值，故只能表示有错和无错，而不能进一步指明错码的位置。若此码组长度增加一位，则能增加一个监督关系式。这样，就能得到两个校正子。两个校正子的可能取值有4种组合，即00，01，10，11，故能表示4种不同的信息。若用其中一种组合表示无错码，则还有其他3种组合可以用于指明一个错码的3种不同位置。从而可以有纠错能力。一般而言，若有r个监督关系式，则r个校正子可以指明一个错码的()个不同位置。当校正子可以指明的错码位置数目等于或大于码组长度n时，才能够纠正码组中任何一个位置上的错码，即要求纠错基本原理汉明码例：要求设计一个能够纠正1个错码的分组码(n,k)，给定的码组中有4个信息位，即k=4。由 这时要求监督位数r

3。若取r=3，则n=k+r=7。现在用a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0表示这7个码元，用S1S2

S3表示校正子，则这3个校正子恰好能够指明23–1=7个错码的位置。若规定校正子和错码位置的关系如下表，则仅当在a6

a5

a4

a2位置上有错码时，校正子S1的值才等于1；否则S1的值为零。这就意味着a6

a5

a4

a2四个码元构成偶数监督关系：同理，有S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码汉明码S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001在编码时，信息位a6

a5

a4

a3的值决定于输入信号，它们是随机的。监督位a2

a1

a0是按监督关系确定的，应该保证上列3式中的校正子等于0，即有 给定信息位后，为了 计算监督位，上式可 以改写为

按照上式计算结果为信息位a6a5a4a3监督位a2a1a0信息位a6a5a4a3监督位a2a1a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111在编码时，信息位a6a5a4a3的值决定于输入信号，它在接收端解码时，对于每个接收码组，先按式

计算出校正子S1，S2和S3，然后按照表

判断错码的位置。 例：若接收码组为0000011，则按上三式计算得到：S1=0，S2=1，S3=1。这样，由上表可知，错码位置在a3。S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码在接收端解码时，对于每个接收码组，先按式S1S2S3错码上例中的汉明码是(7,4)码，其最小码距d0=3。由式可知，此码能够检测2个错码，或纠正1个错码。汉明码的码率：

当r(或n)很大时，上式趋近于1。所以汉明码是一种高效编码。上例中的汉明码是(7,4)码，其最小码距d0=3。分组码的一般原理现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码字为A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］，其中前4位是信息元，后3位是监督元，可用下列线性方程组来描述该分组码，产生监督元则线性分组码的监督位和信息位的关系:分组码的一般原理现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特(7,4)码的码字表(7,4)码的码字表监督矩阵H和生成矩阵G

上式中，已经将“”简写成“+”。

将上式简写为

HAT=0T

或AHT=0监督矩阵H和生成矩阵G

上式中，已经将“”简写成“+”。

HAT=0T

式中， －称为监督矩阵监督矩阵的性质H的行数就是监督关系式的数目，即监督位数r

。监督矩阵H确定码组中的信息位和监督位的关系。H的每行中“1”的位置表示相应的码元参与监督关系。

H可以分成两部分，例如 －典型监督矩阵

A=[a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0]

0=[000] HAT=0TA=[a6a5a4a3其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵。可以写成H=［PIr］形式的矩阵称为典型监督矩阵。

HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接收码字A是否出错的依据。H矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性无关的监督关系式。若一个矩阵能写成典型阵形式[PIr]，则其各行一定是线性无关的。其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵。生成矩阵：在Q的左边加上一个k×k阶单位方阵，就构成一个生成矩阵：

，通过生成矩阵可以产生整个码组：如果输入码组为0011生成矩阵：在Q的左边加上一个k×k阶单位方阵，就构成一个生成生成矩阵的性质由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行本身都是一个生成码组。因此，如果找到了码的生成矩阵，则编码的方法就完全确定了。典型监督矩阵H和典型生成矩阵G之间由式相联系。矩阵G的各行也必须是线性无关的。如果已有k个线性无关的码组，则可以将其用来作为生成矩阵G，并由它生成其余码组。生成矩阵的性质由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它线性码的封闭性线性码的封闭性：若A1和A2是一种线性码中的两个码组，则(A1+A2)仍是其中一个码组。『证』若A1和A2是两个码组，则有：A1HT=0,A2HT=0

将上两式相加，得出

A1HT+A2HT=(A1+A2)HT=0

所以(A1+A2)也是一个码组。 由于线性码具有封闭性，所以两个码组(A1和A2)之间的距离（即对应位不同的数目）必定是另一个码组(A1+A2)的重量（即“1”的数目）。因此，码的最小距离就是码的最小重量（除全“0”码组外）。线性码的封闭性线性码的封闭性：若A1和A2是一种线性码中的两7、6循环码1957年发现，是在严密的代数学理论上建立起来的一、循环码的原理1、循环码的特性（1）循环码是一种重要的线性分组码，易于实现，性能较好。（2）循环码除具有线性码的一般性质外，还具有循环性，即循环码中任一码组循环一位以后，仍为该码中的一个码组。（3）循环码还具有封闭性，即循环码中任一码组与另一码组相加以后，所得新码组仍为该码中的一个码组。7、6循环码1957年发现，是在严密的代数学理论上建立例：一种(7,3)循环码的全部码组如下

表中第2码组向右移一位即得到第5码组；第5码组向右移一位即得到第7码组。码组编号信息位监督位码组编号信息位监督位A6a5a4a3a2a1a0a6a5a4A3a2a1a01000000051001011200101116101110030101110711001014011100181110010例：一种(7,3)循环码的全部码组如下码组编号信息位监督位2、循环码的码字：

(7,3)循环码的码字

2、循环码的码字：

(7,3)循环码的码字

3、循环码的码多项式在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式表示码字。(n,k)循环码的码字，其码多项式(以降幂顺序排列)为只关心其系数，而不关心x的取值，x仅是码元位置的标记。例如：码组

码多项式3、循环码的码多项式在代数理论中，为了便于计算，常用码多项式二、循环码的生成多项式和生成矩阵如果一种码的所有码多项式都是多项式g(x)的倍式，则称g(x)为该码的生成多项式。在(n,k)循环码中任意码多项式T(x)都是最低次码多项式的倍式。如上表的(7,3)循环码中，二、循环码的生成多项式和生成矩阵如果一种码的所有码多项式都是1、生成多项式和生成矩阵其它码多项式都是g(x)的倍式，即1、生成多项式和生成矩阵其它码多项式都是g(x)的倍式，即1、生成多项式和生成矩阵

G(x)=xk-1g(x)其中g(x)=xr+gr-1xr-1+…+g1x+1 xk-2g(x) ……… g(x)有了生成矩阵G，就可以由

k个信息位得出整个码组；若能找到k个线性无关的已知码组，就能构成生成矩阵。1、生成多项式和生成矩阵

G(x)=xk-1g(x)例如(7,3)循环码，n=7,k=3,r=4,其生成多项式及生成矩阵分别为

例如(7,3)循环码，n=7,k=3,r=4,其生成多这样构成的循环码并非是系统码系统码的生成矩阵典型形式非系统码系统码（将矩阵作线性变换）生成矩阵

→例如：110→1101001这样构成的循环码并非是系统码寻找g(x)的方法：g(x)是xn+1的一个

n–k

次因式，此即寻找g(x)的方法。都可作为(7,3)循环码的生成多项式寻找g(x)的方法：g(x)是xn+1的一个n2、编码原理及电路（1）编码方法及步骤第一步：用Xn－k乘m(x):向左移n-k位第二步：用g(x)除Xn－km(x),得到商Q(x)和余式r(x)第三步：编出码组T(x)=Xn－km(x)+r(x)2、编码原理及电路（1）编码方法及步骤第三步：编出码组T(例：给定（7，3）循环码的某一信息位为110，试构造其码组T(x)。解：因为m=110，则m(x)=x2+x

g(x)=x4+x2+

x+1r(x)信息位监督位例：给定（7，3）循环码的某一信息位为110，试构造其码组T输入信息码组abcd输出(2)编码电路（除法电路）

g(x)=x4+x2+

x+1输入信息码组abcd输出(2)编码电路（除法电路）g(x另一种编码电路（除法电路），对应于：模2加法器移存器另一种编码电路（除法电路），对应于：模2加法器移存器通信原理第七章课件译码方法和电路

检错：将接收码组R(x)用g(x)去除，若未发生错误，R(x)能被g(x)整除，发生错误则有余项。译码方法和电路

检错：将接收码组R(x)用g(x)去除，若纠错译码比检错译码复杂得多纠错译码三步骤：伴随式S的计算由S得到错误图样纠正捕错解码法纠错译码比检错译码复杂得多通信原理第七章课件7.7纠错码的误码特性任何纠错码的能力都是有限的，超出纠错码能力的错误不可能纠正，甚至会出现乱纠的现象。采用纠错后，误码性能的改善？由于纠错码种类很多，纠错能力各不相同，译码方法也不同，因此其性能必须根据具体分析和计算。7.7纠错码的误码特性任何纠错码的能力都是有限的，超出纠本章小结1、常用的4种差错控制技术2、4种简单的纠检错编码3、循环码的编码方法本章小结1、常用的4种差错控制技术本章作业思考题：P370:11-1习题：P371:11-1，11-2，11-4，11-8，11-14本章作业思考题：现代通信原理第七章差错控制编码暨南大学电子工程系现代通信原理教研室授课教师：刘敏现代通信原理第七章差错控制编码主要内容1、纠检错编码的基本概念、最小码距与纠检错能力的关系2、常用简单编码3、线性分组码的基本概念4、循环码的基本概念、生成多项式、编码器原理主要内容1、纠检错编码的基本概念、最小码距与纠检错能力的关系本章重点与难点纠检错编码的基本概念、最小码距与纠检错能力的关系循环码的基本概念、生成多项式、编码器原理本章重点与难点纠检错编码的基本概念、最小码距与纠检错能力的关第七章差错控制编码7、1引言一、引起传输差错的根本原因及控制方法引起传输差错的根本原因： 信道的乘性干扰引起的码间串扰 信道的加性干扰引起的误码提高抗噪声性能： 提高信噪比：增大发射功率、降低接收设备本身 的噪声 选择抗噪声性能好的调制制度、解调方式第七章差错控制编码7、1引言二、信道分类按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类：随机信道、突发信道和混合信道。恒参高斯白噪声信道是典型的随机信道，其中差错的出现是随机的，而且错误之间是统计独立的。具有脉冲干扰的信道是典型的突发信道，错误是成串成群出现的，即在短时间内出现大量错误。短波信道和对流层散射信道是混合信道的典型例子，随机错误和成串错误都占有相当比例。对于不同类型的信道，应采用不同的差错控制方式。二、信道分类按照噪声或干扰的变化规律，可把信道分为三类：随机三、差错控制的方式1、前向纠错法：2、检错重发法：发端收端纠错码发端收端检错码判决信号发端收端纠错码发端收端检错码判决信号3、反馈检验法4、混合纠错法：发端收端信息信号信息信号发端收端检错和纠错码判决信号3、反馈检验法发端收端信息信号信息信号发端收端检错和纠错码判1.检错重发方式检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(AutomaticRepeatRequest)。由发端送出能够发现错误的码，由收端判决传输中无错误产生，如果发现错误，则通过反向信道把这一判决结果反馈给发端，然后，发端把收端认为错误的信息再次重发，从而达到正确传输的目的。其特点是需要反馈信道，译码设备简单，对突发错误和信道干扰较严重时有效，但实时性差，主要在计算机数据通信中得到应用。海上通信NBDP1.检错重发方式检错重发又称自动请求重传方式，记作ARQ(1）停止等待ARQ系统停止等待ARQ系统接收数据ACKACKNAKACKACKNAKACK1233455t发送数据12334556t有错码组有错码组1）停止等待ARQ系统停止等待ARQ系统接收数据ACKAC拉后ARQ系统214365798接收数据有错码组有错码组91011101112576ACK1NAK5NAK9ACK55769521436798发送数据1011101112重发码组重发码组2)拉后ARQ系统

拉后ARQ系统214365798接收数据91011101113）选择重发ARQ系统

选择重发ARQ系统9接收数据有错码组有错码组21436575981011131412发送数据995852143671011131412重发码组重发码组NAK9ACK1NAK5ACK5ACK93）选择重发ARQ系统

选择重发ARQ系统9接收数据2142.前向纠错方式前向纠错方式记作FEC(ForwordErrorCorrection)。发端发送能够纠正错误的码，收端收到信码后自动地纠正传输中的错误。其特点是单向传输，实时性好，但译码设备较复杂。 海上卫星通信Inmarsat-A2.前向纠错方式前向纠错方式记作FEC(ForwordEARQ和前向纠错比较：优点监督码元较少，即码率较高检错的计算复杂度较低能适应不同特性的信道缺点需要双向信道。不适用于一点到多点的通信系统或广播系统。传输效率降低，可能因反复重发而造成事实上的通信中断。ARQ和前向纠错比较：优点3.混合纠错方式混合纠错方式记作HEC(HybridErrorCorrection)是FEC和ARQ方式的结合。发端发送具有自动纠错同时又具有检错能力的码。收端收到码后，检查差错情况，如果错误在码的纠错能力范围以内，则自动纠错，如果超过了码的纠错能力，但能检测出来，则经过反馈信道请求发端重发。这种方式具有自动纠错和检错重发的优点，可达到较低的误码率，因此，近年来得到广泛应用。 海上卫星通信Inmarsat-C3.混合纠错方式混合纠错方式记作HEC(HybridEr四、纠错码的分类1、根据纠错码各码组的码元与信息元之间函数关系： 线性码 非线性码2、根据纠错码各码组的码元与信息元之间关系涉及的 范围： 分组码 卷积码3、根据纠错码组中信息元是否隐藏来分： 系统码 非系统码四、纠错码的分类1、根据纠错码各码组的码元与信息元之间函数关7、2纠错编码的基本原理分组码举例设：有一种由3个二进制码元构成的编码，它共有23=8种 不同的可能码组：

000–晴001–云010–阴011–雨

100–雪101–霜110–雾111–雹 这时，若一个码组中发生错码，则将收到错误信息。若在此8种码组中仅允许使用4种来传送天气，例如：令

000–晴011–云101–阴110–雨 为许用码组，其他4种不允许使用，称为禁用码组。 这时，接收端有可能发现（检测到）码组中的一个错码。这种编码只能检测错码，不能纠正错码。若规定只许用两个码组：例如

000–晴111–雨 就能检测两个以下错码，或纠正一个错码。 7、2纠错编码的基本原理码组全用用4种用2种码组全用用4种用2种000晴晴晴100雪禁用禁用001云禁用禁用101霜阴禁用010阴禁用禁用110雾雨禁用011雨云禁用111雹禁用雨码组全用用4种用2种码组全用用4种用2种000晴晴晴100雪7、2纠错编码的基本原理一、码长、码重、码距的概念分组码＝信息位＋监督位分组码符号：(n,k)

其中，n－码组总长度，

k－信息码元数目。

r=n–k

－监督码元数目。 分组码的一般结构：k个信息位r个监督位an-1an-2...arar-1an-2...a0t码长n=k+r分组码的结构信息位监督位晴000云011阴101雨1107、2纠错编码的基本原理一、码长、码重、码距的概念k个信息一、分组码的参数：码长、码重、码距的概念在分组码中，非零码元的数目称为码字的汉明(Hamming)重量，简称码重。例如，码字10110，码重w=3。两个等长码组之间相应位取值不同的数目称为这两个码组的汉明(Hamming)距离，简称码距。例如11000与10011之间的距离d=3。码组集中任意两个码字之间距离的最小值称为码的最小距离，用d０表示。最小码距是码的一个重要参数，它是衡量码检错、纠错能力的依据。一、分组码的参数：码长、码重、码距的概念在分组码中，非零码元二、分组码的纠错能力与最小码距的关系任一(n,k)分组码，若在码字内：1、检测e个随机错误，则要求最小码距d0≥e＋12、纠正t个随机错误，则要求最小码距d0≥2t＋13、纠正t个同时检测e(e>t)个随机错误，则要求

d0≥t+e+1纠检错结合工作方式：当错码数量少时，系统按前向纠错方式工作，以节省重发时间，提高传输效率；当错码数量多时，系统按反馈重发的纠错方式工作，以降低系统的总误码率。

二、分组码的纠错能力与最小码距的关系任一(n,k)分组码，若三、编码效率（码率）用差错控制编码提高通信系统的可靠性，是以降低有效性为代价换来的。我们定义编码效率R来衡量有效性:R=k/n其中,k是信息元的个数，n为码长。

三、编码效率（码率）用差错控制编码提高通信系统的可靠性，是四、对纠错码的基本要求1、纠错和检错能力尽量强2、编码效率尽量高3、码长尽量短4、编码规律尽量简单实际中要根据具体指标要求，保证有一定纠、检错能力和编码效率，并且易于实现。四、对纠错码的基本要求1、纠错和检错能力尽量强7、3纠错编码的性能增加监督码，降低误码率——代价是：系统带宽增大见图11-6若随机信道中，发送“0”和发送“1”时的错误概率相等，均为P，且P<<1，则码长为n

的码组恰好发生r个错码的概率为:7、3纠错编码的性能增加监督码，降低误码率——代价是：系当n=7P=10-3时

可见，采用差错控制编码，即使仅能纠正这种码组中的1~2个错误，也可以使误码率下降几个数量级。当n=7P=10-3时7、4几种简单的纠检错码1、奇偶监督码2、方阵码3、恒比码4、正反码7、4几种简单的纠检错码1、奇偶监督码1、奇偶监督码

一维奇偶监督码奇偶监督码－分为奇数监督码和偶数监督码两类。在奇偶监督码中，监督位只有1位，故码率R=k/(k+1)。偶数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为偶数： 式中，a0为监督位，其他位为信息位。奇数监督码中，此监督位使码组中“1”的个数为奇数：检错能力－能够检测奇数个错码。1、奇偶监督码2、方阵码——行列监督码编码效率R等于有可能检测偶数个错码适合检测突发错码能够纠正部分错码2、方阵码——行列监督码编码效率R等于3、恒比码码字中1的数目与0的数目保持恒定比例的码称为恒比码。由于恒比码中，每个码组均含有相同数目的1和0，因此恒比码又称等重码，定1码。这种码在检测时，只要计算接收码元中1的数目是否正确，就知道有无错误。

目前我国电传通信中普遍采用3∶2码，又称“5中取3”的恒比码，即每个码组的长度为5，其中3个“1”。这时可能编成的不同码组数目等于从5中取3的组合数10，这10个许用码组恰好可表示10个阿拉伯数字，如表9-1所示。而每个汉字又是以四位十进制数来代表的。实践证明，采用这种码后，我国汉字电报的差错率大为降低。3、恒比码码字中1的数目与0的数目保持恒定比例的码称通信原理第七章课件4、正反码信息位数=监督位数编码效率R为：R=50%P335:表11-24、正反码信息位数=监督位数基本概念代数码－利用代数关系式产生监督位的编码线性分组码－代数码的一种，其监督位和信息位的关系由线性代数方程决定汉明码－一种能够纠正一个错码的线性分组码校正子： 在偶数监督码中，计算 实际上就是计算 并检验S是否等于0。

S称为校正子。监督关系式：7.5线性分组码基本概念7.5线性分组码纠错基本原理中，S只有两种取值，故只能表示有错和无错，而不能进一步指明错码的位置。若此码组长度增加一位，则能增加一个监督关系式。这样，就能得到两个校正子。两个校正子的可能取值有4种组合，即00，01，10，11，故能表示4种不同的信息。若用其中一种组合表示无错码，则还有其他3种组合可以用于指明一个错码的3种不同位置。从而可以有纠错能力。一般而言，若有r个监督关系式，则r个校正子可以指明一个错码的()个不同位置。当校正子可以指明的错码位置数目等于或大于码组长度n时，才能够纠正码组中任何一个位置上的错码，即要求纠错基本原理汉明码例：要求设计一个能够纠正1个错码的分组码(n,k)，给定的码组中有4个信息位，即k=4。由 这时要求监督位数r

3。若取r=3，则n=k+r=7。现在用a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0表示这7个码元，用S1S2

S3表示校正子，则这3个校正子恰好能够指明23–1=7个错码的位置。若规定校正子和错码位置的关系如下表，则仅当在a6

a5

a4

a2位置上有错码时，校正子S1的值才等于1；否则S1的值为零。这就意味着a6

a5

a4

a2四个码元构成偶数监督关系：同理，有S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码汉明码S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001在编码时，信息位a6

a5

a4

a3的值决定于输入信号，它们是随机的。监督位a2

a1

a0是按监督关系确定的，应该保证上列3式中的校正子等于0，即有 给定信息位后，为了 计算监督位，上式可 以改写为

按照上式计算结果为信息位a6a5a4a3监督位a2a1a0信息位a6a5a4a3监督位a2a1a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111在编码时，信息位a6a5a4a3的值决定于输入信号，它在接收端解码时，对于每个接收码组，先按式

计算出校正子S1，S2和S3，然后按照表

判断错码的位置。 例：若接收码组为0000011，则按上三式计算得到：S1=0，S2=1，S3=1。这样，由上表可知，错码位置在a3。S1S2S3错码位置S1S2S3错码位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000无错码在接收端解码时，对于每个接收码组，先按式S1S2S3错码上例中的汉明码是(7,4)码，其最小码距d0=3。由式可知，此码能够检测2个错码，或纠正1个错码。汉明码的码率：

当r(或n)很大时，上式趋近于1。所以汉明码是一种高效编码。上例中的汉明码是(7,4)码，其最小码距d0=3。分组码的一般原理现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特点。设其码字为A=［a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0］，其中前4位是信息元，后3位是监督元，可用下列线性方程组来描述该分组码，产生监督元则线性分组码的监督位和信息位的关系:分组码的一般原理现以(7,4)分组码为例来说明线性分组码的特(7,4)码的码字表(7,4)码的码字表监督矩阵H和生成矩阵G

上式中，已经将“”简写成“+”。

将上式简写为

HAT=0T

或AHT=0监督矩阵H和生成矩阵G

上式中，已经将“”简写成“+”。

HAT=0T

式中， －称为监督矩阵监督矩阵的性质H的行数就是监督关系式的数目，即监督位数r

。监督矩阵H确定码组中的信息位和监督位的关系。H的每行中“1”的位置表示相应的码元参与监督关系。

H可以分成两部分，例如 －典型监督矩阵

A=[a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0]

0=[000] HAT=0TA=[a6a5a4a3其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵。可以写成H=［PIr］形式的矩阵称为典型监督矩阵。

HAT=0T，说明H矩阵与码字的转置乘积必为零，可以用来作为判断接收码字A是否出错的依据。H矩阵的各行应该是线性无关的，否则将得不到r个线性无关的监督关系式。若一个矩阵能写成典型阵形式[PIr]，则其各行一定是线性无关的。其中,P为r×k阶矩阵，Ir为r×r阶单位矩阵。生成矩阵：在Q的左边加上一个k×k阶单位方阵，就构成一个生成矩阵：

，通过生成矩阵可以产生整个码组：如果输入码组为0011生成矩阵：在Q的左边加上一个k×k阶单位方阵，就构成一个生成生成矩阵的性质由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它产生的分组码必定为系统码，也就是信息码字保持不变，监督位附加其后，每行一定是线性无关的，每行本身都是一个生成码组。因此，如果找到了码的生成矩阵，则编码的方法就完全确定了。典型监督矩阵H和典型生成矩阵G之间由式相联系。矩阵G的各行也必须是线性无关的。如果已有k个线性无关的码组，则可以将其用来作为生成矩阵G，并由它生成其余码组。生成矩阵的性质由这种方式得到的生成矩阵称为典型生成矩阵，由它线性码的封闭性线性码的封闭性：若A1和A2是一种线性码中的两个码组，则(A1+A2)仍是其中一个码组。『证』若A1和A2是两个码组，则有：A1HT=0,A2HT=0

将上两式相加，得出

A1HT+A2HT=(A1+A2)HT=0

所以(A1+A2)也是一个码组。 由于线性码具有封闭性，所以两个码组(A1和A2)之间的距离（即对应位不同的数目）必定是另一个码组(A1+A2)的重量（即“1”的数目）。因此，码的最小距离就是码的最小重量（除全“0”码组外）。线性码的封闭性线性码的封闭性：若A1和A2是一种线性码中的两7、6循环码1957年发现，是在严密的代数学理论上建立起来的一、循环码的原理1、循环码的特性（1）循环码是一种重要的线性分组码，易于实现，性能较好。（2）循环码除具有线性码的一般性质外，还具有循环性，即循环码中任一码组循环一位以后，仍为该码中的一个码组。（3）循环码还具有封闭性，即循环码中任一码组与另一码组相加以后，所得新码组仍为该码中的一个码组。7、6循环码1957年发现，是在严密的代数学理论上建立例：一种(7,3)循环码的全部码组如下