第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动-《矩阵与变换》第一讲说课(福建)

一、教材解析选修4-2是一本特别新的教材，内容为《矩阵与变换》，是新课标新提出来的一个模块，旧教材是没有的。新课改将矩阵这一高等代数中据有重视要地位的看法在高中阶段提出来，无疑将高中的代数知识学习又上升到一个新的高度。关于这一模块的办理，各个版本教材有很多差异。福建省采用的是人教A版教材，关于代数中据有重要地位的矩阵，人教A版教材选择从变换的角度去切入，降低了高中生学习矩阵的门槛，同时又增强了矩阵的“直观性”和“兴趣性”。本节课在本教材中的地位和作用解析以下：从内容角度解析：自从矩阵与向量的乘法让我们实现了矩阵对点即向量的变换，从点到线，从线再到平面，从平面几何的看法来讲，乃一脉相承，几种线性变换与矩阵的联系获取了更形象的增强，平面图形的丰富性必然会让矩阵的“直观性”更具冲击力。该节课看似不是重点，倒是一个知识的交汇点，起着承上启下的重要作用。从思想角度解析：数形结合思想是高中阶段特别重要的思想，在新课改从前，这种思想可能更多地表现在诸如解析几何等内容。而利用矩阵这个代数工具来实现线性变换对平面地域的作用，可以说是将数形结合的思想推向了一个新的高度，让孩子们可以发自内心地去惋惜“数学真的是适用的”。从成长角度解析：该节课中所举的例子，有着浓厚的应用味道，充分吻合课改中数学是“好玩”的精神，贴近生活的应用，可以让孩子们可以充分感觉数学的无处不在，也可以让孩子们对接下去致使大学高等代数的学习兴趣倍增，让他们的高数学习更加如虎生翼。二、授课目的：知识目标：让学生研究出平行四边形地域的向量形式，认识如何利用矩阵对单位正方形地域进行常有线性变换，并经过平面图形帮学生更直观地牢固几种常有线性变换及其对应矩阵。能力目标：可以运用所学的方法，利用矩阵对单位正方形地域进行常有的线性变换，更直观地领悟矩阵与变换之间的对应关系，提高运用数形结合思想解决问题的能力。感情目标：用最贴近生活的例子切入课题并渐渐深入解决问题，充分激发学生学习数学的热情，让学生近距离地体验数学的“奇异”与“适用”。三、重难点解析重点：让学生认识如何利用矩阵对单位正方形地域进行常有线性变换难点：经历研究平行四边形地域向量形式的过程四、教法学法解析教法：问题驱动式授课，搜寻学生思想的“近来发展区”经过联系旧知识，层层递进探望新知，帮助学生找到解决新问题的方法。学法：研究式学习方法，学生经过思虑，归纳，合作研究进行学习，并激励学生课后进行Excel实践操作加深对矩阵与变换的对应关系的理解。五、授课识题诊断第一，本节课设计知识点特别多，甚至有些知识点是2年前学习的，比方平面向量基本定理，因此有必要让学生提前对这些知识点进行复习。第二，本节课只有一课时，却长达十页之多，全部纳入课堂是不可以能的，为了不让学生感觉整块内容被拆得乌七八糟，必然要精挑细选。其中，几种常有的线性变换，旋转变换是比较形象的一种，我选择用它做例题，而切变变换是比较难理解的一种，我选择它来供学生进行研究。第三，我班学生思想不错，但学习主动性较差，结合上述第一二点，我打算设计一个教学设计(附后)，包含了需要用到的知识点、课堂练习及课后作业。教学设计课前热身是要课前部署给学生去完成的，包含了：1）平面向量基本定理、五种常有线性变换对应矩阵、线性变换的基本性质2)点A(1，0)在矩阵P=21的作用下变成了什么？113）过点M(1,0),N(0,2)的直线的向量形式可写成_________；在矩阵11A的作用下变成了什么图形？01六、预期收效解析本节课的整体思路是，课上经过精心设计的问题引导学生思虑，经过师生的互动调动学生的积极性并观察学生的反响，此后再利用合作研究以及改编题目进行变式训练来及时反响学生的掌握情况。本节课的引入是比较简单吸引学生眼球的一个生活例子，但是紧接着有一段推搭理显得比较无聊，需要的思想活动量较大，学生很简单在这里就昏昏欲睡了。这时采用精心设计的问题串来推波助浪，问题串的难度层次性较强，我们可以依照不同样问题的难易程度，提问不同样程度的学生，一方面调动整个班学生思虑的积极性，一方面可以观察学生的反响来调整速度和难度。其中，课件的辅助作用是推理过程中的一个小亮点，希望经过动向的演示更直观地来帮助学生更快地找到答案。进入例题此后，记得跟引入响应，学生会感觉本节课的可操作性还是比较强的，特别是进入合作研究，学生终于尝到认识决问题的甜头，而我们的目标也算比较好地获取了实现。授课方案引入环节研究思路隐蔽结论（即研究平行四边形向量形式）

简要步骤显现PPT，给出一个背景问题，这是同学在生活中经常会做的事情，由于某些原因，经常需要在电脑上对图片进行一些办理，比方放大，减小，翻转，这些其实都是一些简单的线性变换，那我们能像对点和直线那样经过矩阵来对平面图形实行线性变换吗？从这样一个贴近生活的例子，自然引入今天要研究的数学问题。为了帮学生搜寻解决这个问题的思路，我们提出3个思考题，这3个问题的提出，是为了引导学生去进行归纳推理，搜寻利用矩阵对“面”的变换所需要的方法。思虑、在利用矩阵实现对点、直线的线性变换过程中，我们都用到了矩阵的哪一种运算？、你能归纳一下矩阵是如何实现对点、直线的线性变1、类比直线的向量形式结合平面向量基本定理找到平行四边形地域内任一点对应的向量形式cxayb；2、思虑1，C点在平行四边形地域内运动时，x，y的范围是多少？利用几何画板课件研究出xayb中x，y的范围为(0x,y1)；3、思虑2：反过来，向量c满足cxayb(0x,y1)对应终点会落在平行四边形地域内吗?4、引出平行四边形地域对应的向量形式这个隐蔽结论1、以下哪个矩阵能将图甲变换成图乙（）5、活学活用（小练习）（1）1你能0写出单位正1方形0地域如何0表示1成向量形1式吗0？A.B.01C.0D.101110（2）你能画出x1y(0x,y1)对应的平面区01域吗？学生对隐蔽结论有了更深刻的认识后，我们就可以进入本节课的重点：矩阵如何实现对单位正方形地域的线性变换。1、已经找到单位正方形地域的向量形式;222、矩阵Ａ＝对应的变换把矩形地域xiyj2、矩阵与向量式相乘结合基本性质获取新的向量形式；

设计说明第1个问题学生会很简单从前面题目中获取提示，都用到矩阵与向量的乘法，这是本节课一个重要的计算工具。第2个问题学生可能一下子回答不上来，这时候我们希望能引导部分程度好一些的学生将矩阵如何实现对点、直线的线性变换来进行总结并以流程图的形式给出，这样一来不但解决了第2个问题，第3个问题也将瓜熟蒂落，学生很简单经过归纳推理找到下面第三行的思路，这思路将成为一条重要线索贯穿本节课，而且接下来学生自然会去关心要解决这个问题就必定先找到平面地域对应的向量形式！而本节课的难点也就出现了。矩阵点————>向量坐标————>向量坐标————>点直线————矩阵>向量形式————>直线与点>向量形式————向量化矩阵反“向量化”平面图形————>向量形式————>平面图形>向量形式————备注：这里为了方便，我们把平面地域转变成向量形式的过程简称为向量化，而把向量形式转变成平面地域的过程简称为反“向量化”。这是本节的一个难点，倒是本节重要的理论依照之一，拟经过类比、多媒体等手段研究出平行四边形向量形式；结合本节课的特点，我们选择比单位正方形地域更一般的平行四边形地域来进行研究。1、经过教学设计回顾直线的向量形式，结合平面向量的基本定理，引导学生先找到平行四边形地域内任一点C对应的向量c可由它的两邻边对应的基向量a,b表示为cxayb的形式；2、思虑1的设置是为了引导学生去思虑，只给出向量表达式是不够的，认真的学生很容易发现，若是这里的x，y很大，那C就会跑到平面地域外面去了；这里制作了几何画板课件，辅助研究C在平行四边形地域内运动时，对应的x，y的范围，该课件有2个作用，一方面是动向演示直观感知，另一方面要进一步引导学生找到向量数乘x，y的几何意义，由学生自己观察得出(0x,y1)解决第一个思虑题。3、思虑2的设置是为认识释结论的充要性，在这学生只需简单结合向量加法和数乘意义讲解即可得出必定的答案。4、平行四边形地域对应的向量形式终于浮出水面，即以a、b为邻边的平行四边形地域向量化可用xayb(0x,y1)来表示，反之，xayb(0x,y1)所表示的即是以a、b为若a，b不共线邻边的平行四边形地域,这是一个隐蔽结论，倒是yb(0bxiyjxax,y1)2大功能，A(xiyj)x(Ai)y(本A节j)课的理论依照，事实上该结论有(0x,y1)(0x,y1)(0x,y1)第4个提问旨在帮助学生找到实质解a，一个是从向反“向量化”一个是从图形到向量的“向量化”o决问题时的重点步骤，结合变换后量到图形的反“向量化”。5、01为了让学生熟悉这个隐蔽结论，活学活用的的图形解析，学生会很快找到其实j2个小练习让学生运用这个结论实现与体1验“向量化”与反“向量化”这两个过程。只需计算出变换后的Ai,Aj即可，Ajo1oAi突出了变换的实质可以看作是对基i1向量的变换。0机理解析cossin例题示典范1.旋转变换：30对应的矩阵sincos把单位正方形地域变成了什么图形？请画出图形。练习.以下切变变换对应的矩阵把A把单位正方形地域变成了什么图形？请画出图形。合作研究11/210（1）（2）1/2101变式训练1、完成课本中5种线性变换对单位正方形地域的变换2、请同学们登录培元我的主页下载Excel文档“线性变换作业部署对单位正方形地域的作用.xls”和“Excel操作说明”，设计几个矩阵进行变换，把你感觉最有意思的变换保存并上传到老师的主页上也许做成研究性学习课题。

例1由教师板书显现，给学生重点演示一下解决此类问题的方法步骤，第1步从原图中找基向量i,j，第2步计算Ai,Aj，，第3步以Ai,Aj为邻边作图，最后值得一提的是第4步要引导学生进行考据，刚刚我们用矩阵运算后获取的图形可否与30°旋转的几何直观一致，帮助学生更好地从平面图形的直观性来理解矩阵与变换的对应关系，表现数形结合的思想。练习选择了2个k在不同样地址的矩阵切变变换的题目，让学生同桌2人采用合作研究完成。1、选择切变变换是由于学生在本节课前关于这种变换素来不太理解，而利用平面图形可以让学生更直观地理解该变换。2、采用合作研究是为了让学生可以在学会变换的基础上，经过比较，更好地去领悟这2种切变变换不同样的作用结果。这两道变式训练是选做题，第1题难度较低，观察矩阵与变换的对应关系；第2题将本节课中的单位正方形地域变成一个矩形地域，可以用来观察学生关于本节课的机理可否理解到位。变式训练是对本节课重要的议论手段之一。在这里的第2个作业，是利用我们学校供应的网络平台，指导学生课后利用Excel实现矩阵对单位正方形地域进行几种常有的线性变换，激励他们设计矩阵实现不同样的变换，也许把单位正方形地域改换其他更复杂更幽默的图形来进行变换，不但可以激发学生的热情，而且还可以激发他们的创立力和想象力，在数学活动中领悟成功的欢乐。附：《矩阵与变换》——线性变换的基本性质（二）教学设计1、课前热身：（课前部署给学生去完成）1）平面向量基本定理：a与b不共线，则关于平面内任何向量c，有且只有一对实数x,y可由a、b唯一表示成：；其中不共线的向量a,b叫做表示这一平面内全部向量的一组__。2)复习五种常有线性变换所对应矩阵①恒等变换：②旋转变换Ra③切变变换：（平行于x轴，平行于y轴）④

反射变换：（关于

x轴，关于

y轴）

⑤投影变换：

（投影到

x轴，投影到

y轴）3）线性变换的基本性质：①数乘结合律：

；②分配律：___________________214)点A(1，0)在矩阵P=的作用下变成了什么？11115）过点M(1,0),N(0,2)的直线的向量形式可写成；在矩阵