福建省永泰县第一中学2020-2021学年高一下学期期中考试 数学

2020－2021学年度第二学期永泰县第一中学期中考高中一年数学科试卷完卷时间：120分钟

满分：150分第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数，则其共轭复数

A．

B．

C．

D．2.下列各式正确的是

A．

B．

C．

D．3.下列命题中正确的是

A．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体

B．三棱锥的三个侧面不可能都是直角三角形

C．圆台的任意两条母线延长后一定交于一点

D．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台4.一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知成角，且的大小分别为2和4，则的大小为

A．2

B．

C．

D．65.已知向量，若，则的面积等于

A．3

B．

C．

D．6.

斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，右图给出了它的画法：以斐波那契数为边的正方形依序拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如果用图中接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，那么该圆锥的表面积为

A．

B．

C．

D．7.

第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G＋光网”双千兆城市建设．如图，某县区域地面有四个5G基站．已知两个基站建在江的南岸，距离为；基站在江的北岸，测得，则两个基站的距离为

A．

B．

C．

D．8.正方形的边长为，中心为．过的直线与边分别交于点，点满足条件：，则的最小值为

A．0

B．

C．

D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是

A．若复数满足，则是纯虚数

B．若互为共轭复数，则

C．是复数的三角形式

D．“复数（）为纯虚数”的充要条件为“”10.已知平面向量向量

A．若，则

B．若，则在方向上的投影向量是

C．与的夹角为锐角，则的取值范围为

D．若的夹角为，则11.已知为的重心，，则的可能取值为

A．

B．1

C．

D．12.在中，内角所对的边分别为，已知，若，点在边上，且，是的外心．则下列判断正确的是

A．

B．的外接圆半径为

C．

D．的最大值为2第Ⅱ卷

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13.已知复数在复平面内对应的点为，复数满足，则与对应的点间的距离的最大值为

．14.如图，是平面四边形的直观图，若是边长为2的正方形，则四边形的周长为

．15.已知的内角所对的边分别为，，若，则的取值范围为

．16.已知是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，取值范围为

．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知复数（）．（1）若是实数，求的值；（2）若复数在复平面内对应的点在第三象限，且，求实数的取值范围．18.（本小题满分12分）已知．（1）若三点共线，求满足的等量关系．（2）在（1）条件下，求的最小值．19.（本小题满分12分）问题：在中，内角所对的边分别为，．（1）求；（2）若的面积为，___________，求．请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．注：如选多个条件作答，按排列最前的解法评分．20.（本小题满分12分）某网红景区拟开辟一个平面示意图如图的五边形观光步行道，为景点电瓶车专用道，．（1）求的长；（2）请设计一个方案，使得折线步行道最长（即最大）．21.（本小题满分12分）

如图所示，在中，，与相交于点，的延长线与边交于点．（