矩阵的逆及其求法课件

1一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理第六节矩阵逆及其求法

第二章三、逆矩阵的基本性质四、用矩阵的初等变换求逆矩阵1一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理第六节矩阵逆及其求法2设

n

元线性方程组线性方程组的矩阵表示法（2）2设n元线性方程组线性方程组的矩阵表示法（2）3则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，而后者即求中未知矩阵X的问题。这需要用到逆矩阵的问题。代数方程的解问矩阵方程的解是否为?若可以，那么的含义是什么呢？3则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，而后者即求4定义1设A为n阶方阵，如有n阶方阵B，使AB=

BA=

E.则称A

为可逆阵，B

为A

的逆阵，记作又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵.例设因为

AB=BA=

E.所以B

是A

的一个逆矩阵。一、逆矩阵的概念4定义1设A为n阶方阵，如有n阶方阵B，使A5

若方阵

A

可逆，则其逆矩阵唯一

.证明设

B

和

C

都是

A

的逆矩阵，则由定义有

AB=BA=E，AC=CA=E，B=BE=B(AC)=(BA)C

=EC=C.

所以逆矩阵唯一.单位矩阵的逆为其本身。对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）5若方阵A可逆，则其逆矩阵唯一.证明设B和C6方阵的可逆满足性质：(3)A、B

均是同阶可逆阵，则

(3)(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E.(4)AT(A-1)T=(A-1A)T=(E)T=E,证明

只证(3)和(4).6方阵的可逆满足性质：(3)A、B均是同阶可逆阵，则7

矩阵可逆的条件：设

矩阵中元素

aij

的代数余子式

Aij

，定义称为

A

的伴随矩阵.7矩阵可逆的条件：设矩阵中元素aij的代数余子式A8例2.16求二阶方阵的伴随矩阵.解所以8例2.16求二阶方阵的伴随矩阵.解所以9定理2.1证明：由第一章行列式展开定理及其推论知类似有9定理2.1证明：由第一章行列式展开定理及其推论知类似有10定理2.2矩阵A可逆充分必要条件是且当时，

证明：必要性．设A可逆，于是有两边取行列式有，因此充分性．设由定理2.1知故有10定理2.2矩阵A可逆充分必要条件是且当时，证明11由逆矩阵定义知，A

可逆，且其逆为定理2.2不仅给出了判断矩阵可逆的方法，还给出了求解逆矩阵的一种方法.A可逆A是非奇异矩阵A是满秩矩阵11由逆矩阵定义知，A可逆，且其逆为定理2.2不仅给出12逆矩阵的求法一：伴随矩阵法例2.15设判断A

是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵.解因为故A

可逆，且12逆矩阵的求法一：伴随矩阵法例2.15设判断A是否可13推论若方阵A、B

有AB=E，则A、B

均可逆.证明因为故于是A、B

均可逆.13推论若方阵A、B有AB=E，则A、B14例2.17求解线性方程组解方法一(Cramer法则)由于于是有14例2.17求解线性方程组解方法一(Cramer法15方法二(逆阵法)因为方程可写成矩阵形式Ax=b，其中由于故A

可逆，因此其中15方法二(逆阵法)因为方程可写成矩阵形式Ax=16于是16于是17利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量个数等于方程个数的一种方法(第一章给出了行列式法)，但对于n

较大时，两种方法都不适用.我们将在余下的章节讨论第三种方法.17利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量个数等于方程个18例2.18设求A+B.解由于AB=A+B

，于是(A–E)B=A,又于是而18例2.18设求A+B.解由于AB=A+19所以故19所以故20例2.19设A

为3

阶矩阵，且求解由于于是20例2.19设A为3阶矩阵，且求解由于于是21解：例621解：例622二、逆矩阵求解方法二——初等变换法初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。

定理3

A可逆方法：

求

22二、逆矩阵求解方法二——初等变换法初等变换是矩阵的一种十23例7

求下列矩阵的逆矩阵解：23例7求下列矩阵的逆矩阵解：242425解

2不存在。25解2不存在。26设A、B为n阶方阵，且A可逆，则（A|B）(E|A-1B)定理326设A、B为n阶方阵，且A可逆，则（A|B）(E|A-127例8

求解下列矩阵方程解27例8求解下列矩阵方程解28

设

，

，

，例10

求X

。解

，

，

，

，

，28设，，，例10求X。解，，，29

，

，29，，30例12已知求解30例12已知求解31例1331例1332例14若，判别可逆，及并求其逆。解可逆且可逆，且(1)(2)32例14若，判别可逆，及并求其逆。解可逆且可逆，且(1)(33=，，则设A,B分别是m阶,n阶可逆矩阵，，求解，D可逆，设。例1533=，，则设A,B分别是m阶,n阶可逆矩阵，，求解，D可34，设关于分块对角矩阵有下列运算性质：

4、秩（A）=秩5、可逆时，则A可逆，且34，设关于分块对角矩阵有下列运算性质：4、秩（A）=秩535定理4：

方阵A可逆的充分必要条件是它能表示

成一些初等矩阵的乘积：

定理5设A，B是矩阵，则以下三个条件等价（1）A与B等价；(3)存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。35定理4：方阵A可逆的充分必要条件是它能表示成一些初36作业P129121，2，

31，3436作业P129121，2，31，3437一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理第六节矩阵逆及其求法

第二章三、逆矩阵的基本性质四、用矩阵的初等变换求逆矩阵1一、逆矩阵的概念二、方阵可逆的判别定理第六节矩阵逆及其求法38设

n

元线性方程组线性方程组的矩阵表示法（2）2设n元线性方程组线性方程组的矩阵表示法（2）39则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，而后者即求中未知矩阵X的问题。这需要用到逆矩阵的问题。代数方程的解问矩阵方程的解是否为?若可以，那么的含义是什么呢？3则求（1）的解的问题归结为求(2)的解矢量问题，而后者即求40定义1设A为n阶方阵，如有n阶方阵B，使AB=

BA=

E.则称A

为可逆阵，B

为A

的逆阵，记作又称可逆阵为非奇异阵，不可逆阵为奇异阵.例设因为

AB=BA=

E.所以B

是A

的一个逆矩阵。一、逆矩阵的概念4定义1设A为n阶方阵，如有n阶方阵B，使A41

若方阵

A

可逆，则其逆矩阵唯一

.证明设

B

和

C

都是

A

的逆矩阵，则由定义有

AB=BA=E，AC=CA=E，B=BE=B(AC)=(BA)C

=EC=C.

所以逆矩阵唯一.单位矩阵的逆为其本身。对角矩阵的逆为（如果它可逆的话）5若方阵A可逆，则其逆矩阵唯一.证明设B和C42方阵的可逆满足性质：(3)A、B

均是同阶可逆阵，则

(3)(AB)(B-1A-1)=A(BB-1)A-1=AEA-1=AA-1=E.(4)AT(A-1)T=(A-1A)T=(E)T=E,证明

只证(3)和(4).6方阵的可逆满足性质：(3)A、B均是同阶可逆阵，则43

矩阵可逆的条件：设

矩阵中元素

aij

的代数余子式

Aij

，定义称为

A

的伴随矩阵.7矩阵可逆的条件：设矩阵中元素aij的代数余子式A44例2.16求二阶方阵的伴随矩阵.解所以8例2.16求二阶方阵的伴随矩阵.解所以45定理2.1证明：由第一章行列式展开定理及其推论知类似有9定理2.1证明：由第一章行列式展开定理及其推论知类似有46定理2.2矩阵A可逆充分必要条件是且当时，

证明：必要性．设A可逆，于是有两边取行列式有，因此充分性．设由定理2.1知故有10定理2.2矩阵A可逆充分必要条件是且当时，证明47由逆矩阵定义知，A

可逆，且其逆为定理2.2不仅给出了判断矩阵可逆的方法，还给出了求解逆矩阵的一种方法.A可逆A是非奇异矩阵A是满秩矩阵11由逆矩阵定义知，A可逆，且其逆为定理2.2不仅给出48逆矩阵的求法一：伴随矩阵法例2.15设判断A

是否可逆，如果可逆，求出其逆矩阵.解因为故A

可逆，且12逆矩阵的求法一：伴随矩阵法例2.15设判断A是否可49推论若方阵A、B

有AB=E，则A、B

均可逆.证明因为故于是A、B

均可逆.13推论若方阵A、B有AB=E，则A、B50例2.17求解线性方程组解方法一(Cramer法则)由于于是有14例2.17求解线性方程组解方法一(Cramer法51方法二(逆阵法)因为方程可写成矩阵形式Ax=b，其中由于故A

可逆，因此其中15方法二(逆阵法)因为方程可写成矩阵形式Ax=52于是16于是53利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量个数等于方程个数的一种方法(第一章给出了行列式法)，但对于n

较大时，两种方法都不适用.我们将在余下的章节讨论第三种方法.17利用方阵的逆矩阵及矩阵的乘法给出了求解变量个数等于方程个54例2.18设求A+B.解由于AB=A+B

，于是(A–E)B=A,又于是而18例2.18设求A+B.解由于AB=A+55所以故19所以故56例2.19设A

为3

阶矩阵，且求解由于于是20例2.19设A为3阶矩阵，且求解由于于是57解：例621解：例658二、逆矩阵求解方法二——初等变换法初等变换是矩阵的一种十分重要的运算，为了充分发挥其作用，有必要对它进一步探讨。

定理3

A可逆方法：

求

22二、逆矩阵求解方法二——初等变换法初等变换是矩阵的一种十59例7

求下列矩阵的逆矩阵解：23例7求下列矩阵的逆矩阵解：602461解

2不存在。25解2不存在。62设A、B为n阶方阵，且A可逆，则（A|B）(E|A-1B)定理326设A、B为n阶方阵，且A可逆，则（A|B）(E|A-163例8

求解下列矩阵方程解27例8求解下列矩阵方程解64

设

，

，

，例10