线性代数-第三章四、直线与位置关系

空间直三、一般式方五、直线与平面的位置关3.4空间直一、点向式方sz方向向量的sz.如果一非零向量s平 ..于一条已知直线L，向量 称为直线L的方向向量 M0(x0,y0,z0

M(

y, xM

M0M//s(m,

M0

(x

x0,y

y0,z

z0s(m,

M0

(x

x0,y

y0,z

z0xx0yy0z

直线的点向式 直线的一组方向方向向量的余弦称为直线的方向余弦例1求过空间两点A(x1y1,z1),B(x2y2,z2)的直线解s=AB(x2x1y2-y1z2-l:

yy1y2

z z2例说明

l:x32

y20

z

s

0,(2)

y2

即，l在平y=2上 所以交点

s

BA=所求直线

x22

y30

z44二、参数式方设直l的方xx0yy0zz0 则xyy

x0mty0zzzz 上式称为直线l的参数方程，t称为参数，不同t对应于直线l上不同的点4求过点M(2,1,3且与直线x13相交的直线方程

y12

z垂1解先作一过点M且与已知直线垂直的平面

2)

3)再求已知直线与该平面的交点x

y

x

3t

1

yy

t

代入平面方程

t37

N(27

,13,3) 取所求直线的方向向量为

(27

137

37

3)

(127

6,7

7所求直线方程

x2y1z3 三、一般式方z空间直线可看成两平面的交线z1

C1zD1 12

B2

C2zD22

C1zD1 AxByCzD x空间直线的一般式方例5用点向式方程及参数方程表示直xy

1.2x

y3z4解一在直线上任取一点

(x0

y0,z0x

2,y y 3z 3z

6

z0M0点的坐

因所求直线与两平面的法向量都垂 s

n1 2

点向式方

x1y0z2 参数方

x1y t y

2由解法一已得直线上点M0的坐标(10x1=0 y1z11

4

1,

5,得点

15)

4M0

(1,14

4

取直线的方向向量为

=(4,-1,-得直线方

x1y0z2 x

yz1

由直线

2x

y

4

(2)+(2):3x+4z+5

z

3x54(1)2-(2):3y-z-2=

z=3y-3x 3y

x y ,

3

z3

方程(3)的方向向量(-4,1,3)与(4,-1,-3)平行，且(53

2,3

在解法一、二所确定的直线上，故(3)与解法一、二所得的方程表示的为同一直线解四( 消元法——行初等变换 xyz12xy3z4A

1

1 1 4 2 2 x14z 23z参数式

xyy

1

2点向式

x1yz2 例6确定直线l外一点M0(x0y0z0)到l的距离设M1(x1y1z1)是直线l上任意一确定的M是l上另一点， M1M=s=(m,n,

. 则直线l的方程

xx1

y

zz1 如图所示平行四边形面S=||M1M0M1M||=||sM1M0||=d||sd

sM1M0

||s例7求点M0(1,2,1)到直的距离

l:

xy

yz2z=0x=1y=1M1(11,0) 1111s

1

j

2k356M1M0=(0,3,356d

sM1M0

||s四、直线与直线的位置关两直线的夹两直线L1与L2的方向向量与s1的夹角称（通常锐角）称为L1与L2的夹角，记为L1L2L

xx1

y

z

z1 L2

xx2m

yy2

zz2p

|m1m2|m1m2n1n2p1p2m2n2p2111m2n2p222由此公式可计算两条直线的夹角

L1

m1m2

n1n2

p1

L2mm

p1例如

s1

L2

s2

s1

L1L2例8求过点(32

且与两平面

32x

y

解设所求直线的方向向量

s(m,

根据题意

sn1

sn2 s

n1

所求直线的方

x34

y23

z51五、直线与平面的位置关1、直线与平面的夹02L

m

yy0

zz0p

s(m,

Ax

ByCz

D

n(A,B,C

s,n 2

s,n 2

cos2

cos2sin

|Am

Bn

CpA2B2A2B2C2m2n2p22.直线与平面的位置关系

L

AB

Cp

L//

Am

BnCp9设直线L

x1 y

z2:x

y

n

(1,1,

s(2,1,A2A2B2C2m2n2p2

|Am

Bn

Cp|12

(1)(1)22| 6

为所求夹角例10直线l过点M(2,5,-2)且与直l:xy2z4 3x4y MlN垂直相交，求lMlN解只需求出交点N的坐标即可.过M作平面与l1垂直，与l1的交点即il1的方向向量s13

5

7k过M(2,5,-2)且与l垂直的平:-9(x-2)+5(y-5)+7(z+2)=9x-5y-7z-7=将直线l1与的方程联立x

y2z4 3

4yzx

y7z7解得：x=1y=-1z这就是l1与的交点N的坐标(11直线l的方向向s=MN=(-1,-6,l的方

x2y5z2 3面设直线l的方程

C1zD1

AxByCzD

除方程(2)所表示的平面外，经过直线l的所有平

B1

C1z

(A2x

B2

C2z

经过直线l的平面全体称为过l的平面束.方程(3)称为过直线l的平面束方程.例11求直l:x4y5z在平

：2x+2y+z-上的投影直线解过直线l作一平面’与垂直，’与的交线l’就是l在上的投影将l的方程改写为一般x4y243yz17过l的平面束方程x+4y-24+(3y+z-17)=即x+(4+3)y+z-(24+17)=其法向量

n’=(1,4+3,由’可nn'

21

2(4

3)1

10’的方程

7x(4即

30)7

107

(24170)77x-2y-10z+2=直线l在上的投影l':

7x2

10z22

2yz11解2作过l且与垂直的'，则l上的点M(4,5,2)在'上 n'

sn

(7,

4)

2(y5)

2) 7x

2y10z2所以l在上的投影直线

l':

7x2y10z22x

2y

z11: