重庆市北碚区江北中学2019中考九年级数学一次函数和反比例函数综合题强化训练含

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重庆市北碚区江北中学2021-2021学年中考九年级数学一次函数和反比率函数综合题加强训练

1、如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是〔1，0〕、〔3，1〕、〔3，3〕，双曲线y=〔k≠0，x＞0〕过点D．

1〕求双曲线的分析式；

2〕作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．

【解答】解：〔1〕∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是〔1，0〕、〔3，1〕、〔3，3〕，

∴点D的坐标是〔1，2〕，

∵双曲线y=〔k≠0，x＞0〕过点D，

2=，得k=2，

即双曲线的分析式是：y=；

〔2〕∵直线AC交y轴于点E，

∴S△CDE=S△EDA+S△ADC=，

即△CDE的面积是3．

2、如图，A〔﹣4，n〕，B〔2，﹣4〕是一次函数y=kx+b和反比率函数y=的图象的两个交点．

〔1〕求一次函数和反比率函数的分析式；

〔2〕察看图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；

〔3〕求△AOB的面积；

〔4〕察看图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

解：〔1〕∵B〔2，﹣4〕在y=上，

∴m=﹣8．

∴反比率函数的分析式为y=﹣．

∵点A〔﹣4，n〕在y=﹣上，

∴n=2．

∴A〔﹣4，2〕．

y=kx+b经过A〔﹣4，2〕，B〔2，﹣4〕，

∴．解得：．

∴一次函数的分析式为y=﹣x﹣2．

〔2〕：∵A〔﹣4，n〕，B〔2，﹣4〕是一次函数y=kx+b的图象和反比率函数y=的图象的两个交点，

∴方程kx+b﹣=0的解是x1=﹣4，x2=2．

〔3〕∵当x=0时，y=﹣2．

∴点C〔0，﹣2〕．

∴OC=2．

∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6；

〔4〕不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣4＜x＜0或x＞2．

3、如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比率函数的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与Y轴交于点D，点B的坐标为〔m，

3-4〕，连结AO，AO=5，sin∠AOC=。5

1〕求反比率函数的分析式；

2〕连结OB，求△AOB的面积。

解：〔1〕先求得点

A〔-4,3

〕，所以

y=

12

.

x

〔2〕点B〔3，-4〕，那么直线AB的分析式为y=-x-1，所以点C〔-1,0〕，所以S△AOB=3.5.

4、如图，一次函数y1=kx+b的图象与反比率函数y2=的图象交于点A〔﹣4，

m〕，且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比率函数y2=的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B

1〕求m的值；

2〕求一次函数的表达式；

3〕依据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围．

【解答】解：〔1〕把点A〔﹣4，m〕的坐标代入y2=，

那么m==﹣1，[根源:学。科。网Z。X。X。K]

得m=﹣1；

2〕连结CB，CD，

∵⊙C与x轴，y轴相切于点D，B，

∴∠CBO=∠CDO=90°=∠BOD，BC=CD，

∴四边形BODC是正方形，

BO=OD=DC=CB，

∴设C〔a，a〕代入y2=得：a2=4，

a＞0，∴a=2，

∴C〔2，2〕，B〔0，2〕，

把A〔﹣4，﹣1〕和〔0，2〕的坐标代入y1=kx+b中，

得：，

解得：，

∴一次函数的表达式为：y1=x+2；

[根源:Zxxk.Com]

〔3〕∵A〔﹣4，﹣1〕，

∴当y1＜y2＜0时，x的取值范围是：x＜﹣4．

5、如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴上，反比率函数y=

x＞0〕的图象经过菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F，点A的坐标为

4，2〕．

1〕求反比率函数的表达式；

2〕求点F的坐标．

【解答】解：〔1〕∵反比率函数y=的图象经过点A，A点的坐标为〔4，2〕，

k=2×4=8，

∴反比率函数的分析式为y=；

2〕过点A作AM⊥x轴于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，

由题意可知，CN=2AM=4，ON=2OM=8，

∴点C的坐标为C〔8，4〕，

设OB=x，那么BC=x，BN=8﹣x，

在Rt△CNB中，x2﹣〔8﹣x〕2=42，

解得：x=5，

∴点B的坐标为B〔5，0〕，

设直线BC的函数表达式为y=ax+b，直线BC过点B〔5，0〕，C〔8，4〕，

∴，

解得：，

∴直线BC的分析式为y=x+，

依据题意得方程组，

解此方程组得：或

∵点F在第一象限，

∴点F的坐标为F〔6，〕．

6、【操作发现】在计算器上输入一个正数，不停地按“〞键求算术

平方根，运算结果愈来愈靠近1或都等于1．

【提出问题】输入一个实数，不停地进行“乘以常数k，再加上常数b〞的运算，有什么规律？

【剖析问题】我们可用框图表示这类运算过程〔如图a〕．

也可用图象描绘：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确立点〔x1，y1〕，再在直线y=x上确立纵坐标为y1的点〔x2，y1〕，而后再x轴上确立对应的数x2，，以此类推．

【解决问题】研究输入实数x1时，跟着运算次数n的不停增添，运算结果x，如何变化．

〔1〕假定k=2，b=﹣4，获得什么结论？能够输入特别的数如3，4，5进行察看研究；

2〕假定k＞1，又获得什么结论？请说明原因；

3〕①假定k=﹣，b=2，已在x轴上表示出x1〔如图2所示〕，请在x轴上表示

x2，x3，x4，并写出研究结论；

②假定输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且愈来愈靠近常数m，直接写出k的取值范围及m的值〔用含k，b的代数式表示〕

【解答】解：〔1〕假定k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，

取x1=3，那么x2=2，x3=0，x4=﹣4，取x1=4，那么x2x3=x4=4，

取x1=5，那么x2=6，x3=8，x4=12，由此发现：

当x1＜4时，跟着运算次数n的增添，运算结果xn愈来愈小．

当x1=4时，跟着运算次数n的增添，运算结果xn的值保持不变，都等于4．当x1＞4时，跟着运算次数n的增添，运算结果xn愈来愈大．

2〕当x1＞时，跟着运算次数n的增添，xn愈来愈大．

当x1＜时，跟着运算次数n的增添，xn愈来愈小．

当x1=时，跟着运算次数n的增添，xn保持不变．

原因：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为〔，〕，

当x1＞时，对于同一个x的值，kx+b＞x，

y1＞x1

y1=x2，

∴x1＜x2，同理x2＜x3＜＜xn，

∴当x1＞时，跟着运算次数n的增添，xn愈来愈大．

同理，当x1＜时，跟着运算次数n的增添，xn愈来愈小．

当x1=时，跟着运算次数n的增添，xn保持不变．〔3〕①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示．

跟着运算次数的增添，运算结果愈来愈靠近．②由〔2〕可知：﹣1＜k＜1且k≠0，

由消去y获得x=

∴由①研究可知：m=．

7、如图，反比率函数

y

k〔x＞0〕的图像与直线

y＝x交于点

M，∠AMB＝90°，

x其两边分别与两坐标轴的正半轴交于点A，B，四边形OAMB的面积为6.

〔1〕求k的值；

〔〕假定点P在反比率函数yk〔x＞0〕的图像上，假定点P的横坐标为3，∠EPF2x90°，其两边分别与x轴的正半轴，直线y＝x交于点E，F.问能否存在点E，使得PE＝PF？假定存在，求出点E的坐标；假定不存在，请说明原因.

解：〔1〕如图1，过M作MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D.那么

MCA＝∠MDB＝90°，∠AMC＝∠BMD，MC＝MD.

∴△AMC≌△BMD.

S四边形AMBO＝S四边形CMDO＝6.

k＝6.〔2〕依题意得P〔3，2〕.状况1：如图2，过P作PG⊥x轴于G，过F

作FH⊥PG于H，交y轴于K.

∵∠PGE＝∠PHF＝90°，∠EPG＝∠PFH，PE＝PF，

∴△PEG≌△FPH.

PG＝FH＝2，FK＝OK＝3－2＝1，PH＝GE＝1.

E〔4，0〕.状况2：如图3，同理可得E〔6，0〕.

8、如图，在平面直角坐标系中，直线

y=2x

与反比率函数

y=kx在第一象限内的

图像交于点

A〔m，2〕，将直线

y=2x

向下平移后与反比率函数

y=kx

在第一象限

内的图像交于点

P，且△POA的面积为

2.

〔1〕求

k的值；〔2〕求平移后的直线的函数分析式

.

【解答】解：(1)∵点A(m，2)在直线y=2x上，

∴2=2m，

∴m=1，

∴点A〔1，2〕

又∵点A〔1，2〕在反比率函数y=kx的图像上，

k=2.

2〕设平移后的直线与y轴交于点B，连结AB，那么

S△AOB=S△POA=2

过点A作y轴的垂线AC，垂足为点C，那么AC=1.

12OB·AC=2，

OB=4.

∴平移后的直线的分析式为y=2x-4.

．

9、一次函数y=2x+4

1〕在以下列图的平面直角坐标系中，画出函数的图象；

2〕求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标；

3〕在〔2〕的条件下，求出△AOB的面积；

4〕利用图象直接写出：当y＜0时，x的取值范围．

【解答】解：〔1〕当x=0时y=4，当y=0时，x=﹣2，那么图象以下列图

2〕由上题可知A〔﹣2，0〕B〔0，4〕，

3〕S△AOB=×2×4=4，

4〕x＜﹣2．

10、直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线y=交

于点C〔1，a〕．

1〕试确立双曲线的函数表达式；

2〕将l1沿y轴翻折后，获得l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；

3〕在〔2〕的条件下，点P是线段AC上点〔不包含端点〕，过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．

【解答】解：〔1〕令x=1代入y=x+3，

y=1+3=4，

C〔1，4〕，

把C〔1，4〕代入y=中，∴k=4，

∴双曲线的分析式为：y=；

〔2〕以下列图，

设直线l2与x轴交于点D，

由题意知：A与D对于y轴对称，

D的坐标为〔3，0〕，

设直线l2的分析式为：y=ax+b，把D与B的坐标代入上式，

得：，

∴解得：，

∴直线l2的分析式为：y=﹣x+3；

〔3〕设M〔3﹣t，t〕，

∵点P在线段AC上挪动〔不包含端点〕，

0＜t＜4，

PN∥x轴，[根源:ZXXK]

N的纵坐标为t，

把y=t代入y=，

∴x=，

∴N的坐标为〔，t〕，

∴MN=﹣〔3﹣t〕=+t﹣3，

过点A作AE⊥PN于点E，

AE=t，

S△AMN=AE?MN，

t〔+t﹣3〕

t2﹣t+2

〔t﹣〕2+，

由二次函数性质可知，当0≤t≤时，S△AMN随t的增大而减小，当＜t≤4时，

S△AMN随t的增大而增大，

∴当t=时，S△AMN可获得最小值为，

当t=4时，S△AMN可获得最大值为4，∵0＜t＜4

∴≤S△AMN＜4．

11、如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比率函数y=〔x＞0〕的图象经过AO的中点C，且与AB订交于

点D，OB=4，AD=3，

〔1〕求反比率函数y=的分析式；

2〕求cos∠OAB的值；

〔3〕求经过C、D两点的一次函数分析式．

【解答】解：〔1〕设点D的坐标为〔4，m〕〔m＞0〕，那么点A的坐标为〔4，3+m〕，

∵点C为线段AO的中点，

∴点C的坐标为〔2，〕．

∵点C、点D均在反比率函数y=的函数图象上，

∴，解得：．

∴反比率函数的分析式为y=．

2〕∵m=1，

∴点A的坐标为〔4，4〕，

OB=4，AB=4．

在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，

∴OA==4，cos∠OAB===．

3〕〕∵m=1，

∴点C的坐标为〔2，2〕，点D的坐标为〔4，1〕．

设经过点C、D的一次函数的分析式为y=ax+b，

那么有，解得：．

∴经过C、D两点的一次函数分析式为y=﹣x+3．

12、如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点〔F不与A，B

重合〕，过点F的反比率函数y=〔k＞0〕的图象与BC边交于点E．

1〕当F为AB的中点时，求该函数的分析式；

2〕当k为什么值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？

【解答】解：〔1〕∵在矩形OABC中，OA=3，OC=2，

∴B〔3，2〕，

F为AB的中点，∴F〔3，1〕，

∵点F在反比率函数y=〔k＞0〕的图象上，∴k=3，

∴该函数的分析式为y=〔x＞0〕；

〔2〕由题意知E，F两点坐标分别为E〔，2〕，F〔3，〕，

S△EFA=AF?BE=×k〔3﹣k〕，

=k﹣k2

=﹣〔k2﹣6k+9﹣9〕

=﹣〔k﹣3〕2+

当k=3时，S有最大值．

S最大值=．

13、如图1，□OABC的边OC在x轴的正半轴上，OC＝5，反比率函数y＝m(xx

＞0)的图象经过点A〔1，4〕．

〔1〕求反比率函数的关系式和点B的坐标；

〔2〕如图

2，过

BC的中点

D作

DP∥x轴交反比率函数图象于点

P，连结

AP、

OP．

①求△AOP的面积；

②在□OABC的边上能否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形？假定存在，恳求出全部切合条件的点M的坐标；假定不存在，请说明原因．

yy

ABAB

P

D

OCxOCx第26题图1第26题图2

解〔〕把A〔，〕代入y＝mm:11444x14y＝x．

xB＝AB＋1＝5＋1＝6，yB＝4，∴点B的坐标为〔6，4〕．

2〕①∵D是BC的中点，且B〔6，4〕，C〔5，0〕，∴D〔，2〕．作DP的延伸线，交OA于点E．

DP∥OA，D是BC的中点，∴点E是OA的中点．∴E〔，2〕．

过点A作AF⊥OC于点F，交PE于点G，那么AG⊥PE于点G，且AF＝4．∵点P的纵坐标与点D的纵坐标同样，

∴点P的纵坐标为2．

44把y＝2代入y＝x，得2＝x．∴x＝2．∴点P的坐标为〔2，2〕．

∴PE＝xP－xE＝2－＝．

∴△AOP的面积＝△AEP的面积＋△EOP的面积

111PEAG＋FG＝11×＝．2??()?243222

y

y

ABABEPM2PDGDOFCxx第26题答案图1OM1C第26题答案图2

②在□OABC的边上能否存在点M，使得△POM是以PO为斜边的直角三角形．

以OP为直径作圆，该圆交OC于点M1，交OA于点M2，那么M1，M2就是切合题意的点．

PM1⊥OC，且点P的坐标为〔2，2〕，∴点M1的坐标为〔2，0〕．

可求得直线OA的分析式为y＝4x．

1∵PM2⊥OA，∴可设直线PM2的分析式为y＝－4x＋b．

1把点P〔2，2〕代入，得2＝－4×2＋b．解得b＝．

1∴直线PM2的分析式为y＝－x＋．4

y＝4xx＝101171040由y＝－2x＋解得y＝40．∴点M的坐标为〔17，17〕．417

1040综合以上可得，切合题意的点M的坐标为〔2，0〕或〔17，17〕．

14、某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，初次用于临床人体试

验，测得成人服药后血液中药物浓度y〔微克/毫升〕与服药时间x小时之间函

数关系以下列图〔当4≤x≤10时，y与x成反比率〕．

〔1〕依据图象分别求出血液中药物浓度上涨和降落阶段y与x之间的函数关系

式．

〔2〕问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的连续时间多少小时？

【考点】反比率函数的应用；一次函数的应用．

【剖析】〔1〕分别利用正比率函数以及反比率函数分析式求法得出即可；

2〕利用y=4分别得出x的值，从而得出答案．

【解答】解：〔1〕当0≤x≤4时，设直线分析式为：y=kx，

将〔4，8〕代入得：8=4k，

解得：k=2，

故直线分析式为：y=2x，

当4≤x≤10时，设直反比率函数分析式为：y=，

将〔4，8〕代入得：8=，

解得：a=32，

故反比率函数分析式为：y=；

所以血液中药物浓度上涨阶段的函数关系式为y=2x〔0≤x≤4〕，

降落阶段的函数关系式为y=〔4≤x≤10〕．

2〕当y=4，那么4=2x，解得：x=2，

当y=4，那么4=，解得：x=8，

∵8﹣2=6〔小时〕，

∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的连续时间6小时．

15、反比率函数y=的图象在二四象限，一次函数为y=kx+b〔b＞0〕，直

线x=1与x轴交于点B，与直线y=kx+b交于点A，直线x=3与x轴交于点C，与直线y=kx+b交于点D．

1〕假定点A，D都在第一象限，求证：b＞﹣3k；

2〕在〔1〕的条件下，设直线y=kx+b与x轴交于点E与y轴交于点F，当

且△OFE的面积等于时，求这个一次函数的分析式，并直接写出不等式＞kx+b的解集．

【解答】解：〔1〕证明：∵反比率函数y=的图象在二四象限，

k＜0，

∴一次函数为y=kx+b随x的增大而减小，

A，D都在第一象限，∴3k+b＞0，

∴b＞﹣3k；

〔2〕由题意知：，

∴①，

E〔﹣，0〕，F〔0，b〕，

∴S△OEF=×〔﹣〕×b=②，

由①②联立方程组解得：k=﹣，b=3，

∴这个一次函数的分析式为y=﹣x+3，

解﹣=﹣x+3得x1=，x2=，

∴直线y=kx+b与反比率函数y=的交点坐标的横坐标是或，

∴不等式＞kx+b的解集为＜x＜0或x＞．

16、如图，一次函数y=ax+b的图象与反比率函数y=〔x＞0〕的图象交于点P〔m，4〕，与x轴交于点A〔﹣3，0〕，与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．

1〕求反比率函数与一次函数的分析式；

2〕反比率函数图象上能否存在点D，使四边形BCPD为菱形？假如存在，求出点D的坐标；假如不存在，说明原因．

【解答】解：〔1〕∵AC=BC，CO⊥AB，A〔﹣3，0〕，

∴O为AB的中点，即OA=OB=3，

∴P〔3，4〕，B〔3，0〕，

将P〔3，4〕代入反比率分析式得：k=12，即反比率分析式为y=．

将A〔﹣3，0〕与P〔3，4〕代入y=ax+b得：，

解得：，

∴一次函数分析式为y=x+2；

〔2〕以下列图，

把y=2代入y=中，得x=6，得D〔6，2〕，

PB垂直且均分CD，

那么四边形BCPD为菱形．

那么点D〔6，2〕．

17、如图，反比率函数y=的图象与直线y=﹣x+b都经过点A〔1，4〕，且该直线与x轴的交点为B．

〔1〕求反比率函数和直线的分析式；〔2〕求△AOB的面积．

【解答】解：〔1〕把A〔1，4〕代入y=得k=1×4=4，

所以反比率函数的分析式为y=；

把A〔1，4〕代入y=﹣x+b得﹣1+b=4，解得b=5，

所以直线分析式为y=﹣x+5；

〔2〕当y=0时，﹣x+5=0，解得x=5，那么B〔5，0〕，所以△