北师大版八年级数学上册 第一章 勾股定理 单元练习题 含答案

第1章勾股定理一．选择题（共12小题）1．下列为勾股数的是（）A．2，3，4B．，，C．6，7，8D．5，12，132．已知a，b，c是△ABC的三边，且满足（ab）（a2b2c2）＝0，则△ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形3．在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于（）A．10B．8C．6或10D．8或104．已知x、y为正数，且|x24|+（y232＝0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（）A．5B．25C．7D．155．△ABC中，A，B，C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（）A．A+B＝CB．A：B：C＝1：2：3C．a2＝c2b2D．a：b：c＝3：4：66．下列各组线段中的三个长度：9，12，15；7，24，25；32，42，52；3a，4a，5a（a＞0）；m2n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组B．4组C．3组D．2组7．△ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25．在△ABC内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（）A．1B．2C．3D．48．如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（）A．4B．6C．8D．109．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4B．8C．16D．6410．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2B．36cm2C．72cm2D．108cm211．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为（）A．13cmB．12cmC．10cmD．8cm12．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤b≤13B．12≤b≤15C．13≤b≤16D．15≤b≤16二．填空题（共6小题）13．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是．14．直角三角形两条边的长度分别为3cm，4cm，那么第三条边的长度是cm．15．如图，点A、B、C分别是正方体展开图的小正方形的顶点，则BAC的大小为．16．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．17．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为三角形．三．解答题（共10小题）18．如图为一个广告牌支架的示意图，其中AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AC＝15m，求图中△ABC的周长和面积．19．如图，一根竹子高10米，折断后竹子顶端C落在竹子底端A的4米处，折断处B离地面的高度AB是多少？20．如图，在△ABD中，D＝90°，C是BD上一点，已知BC＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的长．21．已知：如图，四边形ABCD，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且ABBC．求四边形ABCD的面积．22．长方形纸片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．23．如图，在RtABC中，C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）求AD的长；（2）求AE的长．24．如图，一个放置在地面上的长方体，长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B与点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？25．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？26．（1）如图1，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．求该长方体中能放入木棒的最大长度；（2）如图2，长方体的长为4cm，宽为3cm，高为12cm．现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程．（3）若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿3cm的点A处．求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少？参考答案一．选择题（共12小题）1．【解答】解：A、22+32≠42，不能构成勾股数，故错误；B、（）2+（）2≠（）2，不能构成勾股数，故错误；C、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误；D、52+122＝132，能构成勾股数，故正确．故选：D．2．【解答】解：（ab）（a2b2c2）＝0，ab＝0，或a2b2c2＝0，即a＝b或a2＝b2+c2，ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：D．3．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，如图1所示，AB＝10，AC＝2在RtABD和RtACD中，根据勾股定理得：BD＝，AD＝6，＝8，CD＝＝2，此时BC＝BD+CD＝8+2＝10；如图2所示，AB＝10，AC＝2在RtABD和RtACD中，根据勾股定理得：BD＝则BC的长为6或10．，AD＝6，＝8，CD＝＝2，此时BC＝BDCD＝8﹣2＝6，故选：C．4．【解答】解：依题意得：x240y230x＝2，y＝，＝斜边长＝，所以正方形的面积＝（）2＝7．故选：C．5．【解答】解：A、A+B＝C，又A+B+C＝180°，则C＝90°，是直角三角形；B、A：B：C＝1：2：3，又A+B+C＝180°，则C＝90°，是直角三角形；C、由a2＝c2b2，得a2+b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选：D．6．【解答】解：中有92+122＝152；中有72+242＝252；（32）2+（42）2≠（52）2；中有（3a）2+（4a）2＝（5a）2；中有（m2n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，所以可以构成4组直角三角形．故选：B．7．【解答】解：ABC中，AB＝7，BC＝24，AC＝25，AB2+BC2＝72+242＝252＝AC2，ABC＝90°，连接AP，BP，CP．设PE＝PF＝PG＝xSSABC＝×AB×CB＝84，ABC＝AB×x+AC×x+BC×x＝（AB+BC+AC）•x＝×56x＝28x，则28x＝84，x＝3．故选：C．8．【解答】解：由题意得：大正方形的面积是9，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，即a2+b2＝9，ab＝1，解得a＝，b＝，则ab＝4．解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；每个三角形的面积为2；则ab＝2；所以ab＝4故选：A．9．【解答】解：正方形PQED的面积等于225，即PQ2＝225，正方形PRGF的面积为289，PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，QR2＝PR2PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．10．【解答】解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．G的面积是62＝36cm2，A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．11．【解答】解：如下图所示：长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．PA＝4+2+4+2＝12（cm），QA＝5cm，PQ＝＝13cm．故选：A．12．【解答】解：如图，连接BO，AO，当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，此时a就是圆柱形的高，即a＝12；当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，即线段AB的长，在RtABO中，AB＝＝＝13，故此时a＝13，所以12≤a≤13，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是：15≤b≤16．故选：D．二．填空题（共6小题）13．【解答】解：AB＝10，AD＝6，BD＝8，AB2＝AD2+BD2＝100，ABD是直角三角形且ADBD．又BD为△ABC的中线，AB＝BC＝10，AD＝CD＝6．，△ABC的周长＝AB+BC+AD＝2AB+2AD＝20+12＝32．故答案是：32．14．【解答】解：当这个直角三角形的两直角边分别为3cm，4cm时，则该三角形的斜边的长为：＝5（cm）．当这个直角三角形的一条直角边为3cm，斜边为4cm时，则该三角形的另一条直角边的长为：＝（cm）．故答案为：5或．15．【解答】解：连接BC．根据勾股定理可以得到：AB＝BC＝，AC＝2，（）2+（）2＝（2）2，即AB2+BC2＝AC2，ABC是等腰直角三角形．BAC＝45°．故答案为：45°．16．【解答】解：易证△AFD′D′F＝BF，CFB，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在RtAFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，AF＝ABFB＝8﹣3＝5，SAFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．17．【解答】解：a+b＝10，ab＝18，c＝8，（a+b）2＝100﹣36＝64，2abc2＝64，a2+b2＝c2，此三角形是直角三角形．故答案为：直角．三．解答题（共10小题）18．【解答】解：在△ABD中，AB＝13m，AD＝12m，BD＝5m，AB2＝AD2+BD2，ADBC，在RtADC中，AD＝12m，AC＝15m，DC＝＝9（m），ABC的周长为42m，ABC的面积为84m2．19．【解答】解：设竹子折断处离地面x米，则斜边为（10﹣x）米，根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2解得：x＝4.2．答：折断处离地面的高度是4.2米．20．【解答】解：设CD＝x，则BD＝BC+CD＝9+x．在△ACD中，D＝90°，AD2＝AC2CD2，在△ABD中，D＝90°，AD2＝AB2BD2，AC2CD2＝AB2BD2，即102x2＝172解得x＝6，9+x）2，AD2＝10262＝64，AD＝8．故AD的长为8．21．【解答】解：连接AC．ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，AC＝，在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，ACD是直角三角形，S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，＝×1×2+××2，＝1+．故四边形ABCD的面积为1+．22．【解答】解：设DE＝xcm，则BE＝DE＝x，AE＝ABBE＝10﹣x，ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．x＝（cm）．23．【解答】解：（1）如图所示：在RtABC中，C＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，DE垂直平分AB，AD＝BD＝5．（2）DE垂直平分AB，BE＝AE，设EC＝x，则AE＝BE＝8﹣x，故62+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝，AE＝8﹣＝．24．【解答】解：如图所示，根据勾股定理得，AB＝＝25cm．答：需要爬行的最短距离是25cm．25．【解答】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由