江苏省南通市2016届高三全真模拟数学试题1含答案

学必求其心得，业必贵于专精2016年数学全真模拟试卷一试题Ⅰ一、填空题：本大题共14小题,每题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡相应地址上.．．．．．．．．1．已知会集【答案】

Axx≥0,Bxx1，则AB＝▲．R2．某公司生产三种型号A,B，C的轿车，产量分别为1200辆，6000辆,2000辆．为检验该公司的产质量量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A的轿车应抽取▲辆．【答案】63．在平面直角坐标系xOy中，抛物线x22py(p0)的焦点坐标为(0，1)，则实数p的值为▲．【答案】24．已知会集A0，，，，，，，，．现从会集A中随机采用一个元素，则该元素的余弦值为正数的概率为▲．【答案】4开始95．如图,是一个算法的程序框图，当输输入x出的y值为2时,若将输入的x的所有可能值≤Nxx3按从x0小到大的序次排列获取一个数列an，Y则该1xy2数列的通项公式为an▲．输出y结束（第5题）学必求其心得，业必贵于专精【答案】an3n46．豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的D，d的基因遗传是等可能的（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因所有是d时，才显示矮茎），则第二子代为高茎的概率为▲．【答案】34xOy中，已知向量a(1，2)，ab(2，1),则ab7．在平面直角坐标系51▲．【答案】25D1C18．已知x，y为正实数,满足2x+y6xy，则xy的最小值为▲．【答案】18A1B1F9．如图,已知正四棱柱的体积为点，ABCDA1B1C1D136,EFDEC分别为棱B1B，C1C上的点（异于端点），且AEF//BC，则四B(第9题）棱锥A1AEFD的体积为▲．【答案】1210．设定义在区间，的函数f(x)sin(x)(其中0）是偶函数，则函数f(x)的单调减区间为▲．【答案】(0，【剖析】依题意，，则f(x)cosx的减区间为(0，．11．在平面直角坐标系中，已知圆：(xa)(y2a1)2(1a1)，直xOyC22≤≤线l:yxb学必求其心得，业必贵于专精(bR)．若动圆C总在直线l的下方且它们至多有1个交点，则实数b的最小值是▲．【答案】2【剖析】依题意，圆心C(a，12a)(1a1)的轨迹为线段y12x(1x1)，≤≤≤≤当且仅当a1，且a(12a)b2时,实数b的最小，此时2b2．12．如图,三次函数yax3bx2cxd的零点为1,1,2则该函数的单调减区,间为▲．y【答案】【剖析】设令

27,2733f(x)a(x1)(x1)(x2)，其1O12中a0,x2727（第12题）f(x)0得x，所以该函33数的单调减区间为27,27；3313．如图，点O为△ABC的重心，且OAOB，AB6,则ACBC的值为▲．【答案】72C【剖析】以AB的中点M为坐标原点，AB为x轴建立O平面直角坐标系，则A3，0，AB（第13题）B3，0,设C(x，y),则Ox，y，33因为OAOB，所以Cy，AOBO0从而xxy2333330,化简得，x2y281,OAMBx学必求其心得，业必贵于专精所以ACBC(x3)(x3)y2x2y2972．14．设k，b均为非零常数，给出以下三个条件：{an}与{kanb}均为等比数列；{an}为等差数列,{kanb}为等比数列；③{an}为等比数列,{kanb}为等差数列，其中必然能推导出数列{an}为常数列的是▲．（填上所有满足要求的条件的序号）【答案】①②③【剖析】①易得kxn2kxn1bkxn1b，b222kbxn22xn1xn1kb(xn12即kxnbkxn1)b，因为xn2xn1xn1，且kb0，所以2xnxn1xn1，即证；②由①知k2xn22kbxnb2k2xn1xn1kb(xn1xn1)b2，因为2xnxn1xn1，所以xn2xn1xn1,即证；③易得2kxnbkxn1bkxn1b，且k0，故2xnxn1xn1,又xn2xn1xn1，即证．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定地域内作．．．．．．．答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）已知π，π1,sin7．0，22，π,cos391）求tan2的值;2）求sin的值．学必求其心得，业必贵于专精解：（1）因为coscos2sin2cos22sin221tan22，且cos31，222sin21tan2cos222所以1tan221，解得tan22,（4分）1tan2232因为π,所以ππ，从而tan0,2，π24，22所以tan22．（6分）(2）因为π1，2，π，cos3所以sin21222，(8分）1cos133又0，π，故π，3π，222从而cos27242，（10分）1sin199所以sinsin()sin()coscos()sin7142221．（14分)9393316．（本题满分14分）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知ADAA11，AB2，点E是AB的D1C中点．1（1）求三棱锥CDD1E的体积;A1B1（2)求证：D1EA1D．DC【解】(1)由长方体性质可得，DD1A平面DEC，B所以DD1是三棱锥D1（第16题）DCE的高,又点E是AB的中点，ADAA11，AB＝2，所以DECE2，DE2EC2CD2，DEC90，三棱锥D1DCE的体积V1DD11DECE1；(7分)323（2）连结AD1，学必求其心得，业必贵于专精因为A1ADD1是正方形，所以AD1A1D，又AE面ADD1A1，A1D面ADD1A1,所以AEA1D，又AD1AEA，AD1，AE平面AD1E,所以A1D平面AD1E，（12分)而D1E平面AD1E，所以D1EA1D．（14分）17．(本题满分14分）请你为某养路处设计一个用于积蓄食盐的库房（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱,且该仓库的总高度为5m．经过估量，制造该库房的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2，1百元/m2，设圆锥母线与底面所成角为，且4，问当为多少时，该库房的侧面总造价(单0，π位：百元）最少？并求出此时圆锥的高度．解：设该库房的侧面总造价为y,则y)1154（第17题）2π55(1tan2π52cos50π1+2sin，（6分）cos由y2sin10得sin1π，50πcos22，0，4所以6π，（10分）列表：学必求其心得，业必贵于专精ππππ0，6，446y-0+y↘极小值↗所以当6π时，侧面总造价y最小,此时圆锥的高度为53m．（14分）318．（本题满分16分）定义:若是一个菱形的四个极点均在一个椭圆上，那么该菱形叫做这个椭圆的内接菱形，且该菱形的对角线的交点为这个椭圆的中心．如图,在平面直角坐标系xOy中，设椭圆x42y21的所有内接菱形构成y的会集为F．BA(1）求F中菱形的最小的面积；Ox（2）可否存在定圆与F中的菱形都相切?若存在，CD求出定圆的方程；若不存在，说明原由;(第20题)3）当菱形的一边经过椭圆的右焦点时，求这条边所在的直线的方程．解：（1）如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1当菱形ABCD的对角线在坐标轴上时，其面积为41214；22当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时,设直线AC的方程为:ykx,①学必求其心得，业必贵于专精则直线BD的方程为：yk1x，又椭圆x2y21,4②由①②得，4k21,4k21，2424kx1y1从而2224(k21)，OAx1y14k214121同理可得，k4(k21),（3分）OB2x2y22224k1所以菱形ABCD的面积为2OAOB8k42k214k42k214k417k24k417k21492414k419≥41916k417k211514k21742k24k2k217（当且仅当k1时等号建立),综上得，菱形ABCD的最小面积为165；（6分）2）存在定圆x2y245与F中菱形的都相切，设原点到菱形任一边的距离为d，下证：d2,5证明:由(1)知,当菱形ABCD的对角线在坐标轴上时，d2，5当菱形ABCD的对角线不在坐标轴上时，21)21)OA2OB24(k4(kd24k21k24224(k21)4(k21)OAOB4k21k244(k21)24(k21)24，即得d2，(k21)(k24)(k21)(4k21)(k21)(5k25)55学必求其心得，业必贵于专精综上，存在定圆x2y254与F中的菱形都相切；（12分）(3）设直线AD的方程为ytx3，即txy3t0,3t则点O(0，0)到直线AD的距离为2，t215解得11，t211所以直线AD的方程为y211x3．（16分）1119．（本题满分16分）设a，b,c为实数，函数f(x)x3ax2bxc为R上的奇函数,且在区间1，上单调．（1）求a,b，c应满足的条件；(2）求函数f(x)的单调区间;（3）设x0≥1，f(x0)≥1,且ff(x0)x0,求证:f(x0)x0．解：（1)因为f(x)x3ax2bxc为R上的奇函数，所以f(x)f(x),即x3ax2bxcx3ax2bxc,变形得，ax2c0，((

所以ac0，(2分）此时f(x)x3bx在区间1，上单调,则f(x)3x2b≥0在区间1，上恒建立，得b≤3；（5分）2b，且b≤3，（2)f(x)3x当b≤0时，f(x)3x2b≥0，所以函数f(x)的单调增区间为，)；（7分）当b0时，f(x)3x2b0得，函数f(x)的单调减区间为b，b)，单调增区33学必求其心得，业必贵于专精间为3，3；(10分)(，b)(b，)（3）设f(x0)t则t≥1，f(t)x0≥1，,即有x03bx0t，且t3btx0,两式相减得，x03bx0t3bttx0，即x0tx02x0tt21b0，因为t≥1，x0≥1，b≤3,所以x02x0tt2b1≥1，故x0t，即f(x0)x0．（16分)20．（本题满分16分)若存在非零常数p，对任意的正整数n，an12anan2p，则称数列an是“T数列"．(1）若数列an的前n项和Snn2nN，求证：an是“T数列”；2）设an是各项均不为0的“T数列”．①若p0,求证：an不是等差数列；②若p0，求证:当a1，a2，a3成等差时，an是等差数列．解:（1）当n1时,a1S11;当n≥2时，anSnSn1n(n1)2n1，22所以an2n1,nN，(3分）则an是“T数列”存在非零常数p，(2n1)2(2n1)(2n3)p显然p4满足题意，所以an是“T数列”；（5分)（2）①假设an是等差数列,设ana1(n1)d，则由an12nd2(n1)da1(n1)dp，anan2p得，a1a1解得pd2≥0,这与p0矛盾，故假设不行立，从而an不是等差数列;(10分）学必求其心得，业必贵于专精②因为所以

an12pp0,①anan2an2an1an1pn≥2，②①②得，an12an2anan2因为an的各项均不为所以an1an1anan2(n≥2)anan1

an1an1(n≥2)，0，，从而an1anan1n≥2是常数列，因为a1，a2，a3成等差,所以a3a2a12，从而an1an12n≥2,即an1an12ann≥2，即证．（16分）an试题Ⅱ(附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，．．．．．．．并在相应的答题地域内作答．若．．．．．．．．．．．．多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．（几何证明选讲）D如图,已知凸四边形ABCD的极点在一个圆周上，C另一个圆的圆心O在AB上，且与四边形ABCD的其余三边相切．点AOBE在边AB上，且AEAD．E求证：O，E，C，D四点共圆．（第21—A题）证明：因为ADAE,1180A，所以AED2因为四边形ABCD的极点在一个圆周上，学必求其心得，业必贵于专精所以180ABCD，从而AEDDCO,所以O，E，C，D四点共圆．（10分）B．（矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy中，设点P（x，5)在矩阵M12对应的变34换下获取点Q（y2,y)，求M1yx．解：依题意，12xy2，即x10y，，（4分）2解得x4345y3x20，y，y8由逆矩阵公式知，矩阵M12的逆矩阵M121313422所以M1x21416．（10分）31y22810

，（8分）C．(极坐标与参数方程）在极坐标系中，设直线l过点A3，，B3，，且直线l与曲线C：acos(a0)有且只有一个公共点，求实数a的值．解：依题意,A3，，B3，的直角坐标方程为A3，,B3，，2从而直线l的一般方程为x3y30,（4分）xa2曲线C:acos(a0)的一般方程为y2a2(a0)（分）24,8因为直线l与曲线C有且只有一个公共点，a3a(a0),解得a2(负值已舍)．(10分）所以222学必求其心得，业必贵于专精D．(不等式选讲）1113．设正数a,b，c满足abc≤3，求证：a1b1c1≥2证明：由柯西不等式得，(a1)(b1)(c1)111a1b1c1≥1112，（6分)a1b1c132a1b1c1所以a1b1c1abc3332．（10分）111≥9≥93【必做题】第22、23题，每题10分,共计20分．请在答题卡指定．．．．．地域内作答,解答时应写出文．．字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ABCBAD90，且PAABBC1AD1，PA平面ABCD．2P(1）求PB与平面PCD所成角的正弦值；E（2)棱PD上可否存在一点E满足AD？AEC若存在，求AE的长；若不存在，BC说明原由．（第22题）解:（1）依题意,以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则P(0，0，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，从而PB(1，0，1)，PC(1，1，1)，PD(0，2，1)，（2分）设平面PCD的法向量为n(a，b，c)，则nPC0,且nPD0，即abc0，且2bc0，不如取c2，则b1,a1