陈天富材料力学第五章-扭转修订版课件

第5章扭转轴：以扭转变形为主的杆件。mm§5.1扭转的概念受力特点：作用于杆件两端的外力是一对大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的力偶矩。变形特点：杆件的任意两个横截发生相对转动。扭转角：杆件扭转时任意两个横截面发生相对转动而产生的相对角位移。第5章扭转轴：以扭转变形为主的杆件。mm§5.1扭转的概§5.2外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图1外力偶矩的计算功率N为马力功率N为千瓦外力偶矩主力矩阻力矩（与主力矩平衡){§5.2外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图功率N为马力功率N为千mmmxTmxT´右:Σmx=0,m–T´=0

T´=m

T、T´为扭矩扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩方向与截面外法线相同为正，反之为负。2扭矩和扭矩图(1)扭矩左:Σmx=0,

T–m=0

T=mmmmxTmxT´右:Σmx=0,扭矩的符号规定解：1求外力偶矩BCADmBmCmAmDmBmCmAmDmC(2)扭矩图已知：NA=50马力、NB=NC=15马力、ND=20马力，n=300r/min.求：作扭矩图mA=1170NmmB=mC=351NmmD=468Nm解：1求外力偶矩BCADmBmCmAmDmBmCm2求扭矩

Σmx=0,T1+mB=0

T1=-mB=-351Nm3作扭矩图

Tmax=702Nm如果A、D交换,Tmax=1170NmΣmx=0,T2+mB+

mc=0

T2=-mB-

mc=-702NmΣmx=0,-T3+mD=0

T3=mD=468Nm0xT468702351(+)(-)mBmCmAmDmCxmBT1xT3mDxmBmCT2x2求扭矩3作扭矩图Σmx=0,T2+mB+mc§5.3纯剪切一薄壁圆筒扭转时的应力

r>>t为薄壁圆筒现象：1圆周线的形状大小不变相邻两周线之间距离不变，但发生了相对转动。2各纵向线仍然平行，但倾斜了相同的角度γ（剪应变）mxTΣX=0T=m(数值上）T＝∫ArτdA(实质上)02π＝∫rτrtdαr>>t,τ均布T=2πr2τtLmφrRtmγyαdαx0τττ§5.3纯剪切mxTΣX=0T=m(数值上）0τdytdxτ´τxyzdxdyt二剪应力互等定理剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上剪应力必然成对存在且数值相等，垂直于两个平面的交线，方向共同指向或背离这一交线。=τ´dxtdyτ=τ´τdytdxτ´τxyzdxdyt二剪应力互等定理剪应力互τγτγ

τ＝

Gγ四E、G和μ之间的关系三剪应变、剪切胡克定律mmlφRγ剪应变在弹性范围内,剪切胡克定律G--剪切弹性模量τγτγτ＝Gγ四E、G和μ之间的关系三剪应变右侧面上剪力从0－γ1完成的功τdydz

–剪力dγdx－位移增量γγdxdzdyττ´τ

dτγ1γ0τγdγdU=dw=

∫τdydzdγdx=∫τdγdVdV=dydzdx(单元体体积）00γ1γ1五剪切变形能变形能比能0γ1dw=∫

τdydzdγdx弹性范围右侧面上剪力从0－γ1完成的功γγdxdzdyττ´τdτ内部剪应变lmφmdxxdxdΦRγργρ2物理关系当τ≦τp时τρ＝Gγρ1变形几何关系§5.4圆轴扭转时的应力平面假设：表面剪应变内部剪应变lmφmdxxdxdΦRγργρ2物理关系1变3静力学关系ρdρdρdAτρ3静力学关系ρdρdρdAτρxdxdφRγργρ抗扭截面模量ρdρdρdAτ当ρ=R时其中极惯性矩xdxdφRγργρ抗扭截面模量ρdρdρdAτ当ρ=R4极惯性矩和抗扭截面模量（1）圆（2）空心圆dρDdA0ρdρDdA0dρ4极惯性矩和抗扭截面模量（2）空心圆dρDdA0ρdρDd注：对变截面轴应综合考虑T和Wt确定τmax。5圆轴扭转强度条件注：对变截面轴应综合考虑T和Wt确定τmax。5圆轴扭l1l2l3T1Ip1T2Ip2T3Ip3T(x)Ip(x)x§5.5圆轴扭转时的变形1扭转角(1)等直圆轴(2)阶梯轴(3)变截面轴l1l2l3T1Ip1T2Ip2T3Ip3T(x)Ip(x)3扭转刚度条件[θ]—许用单位长度扭转角rad/m0/m2单位长度扭转角3扭转刚度条件[θ]—许用单位长度扭转角rad/m0/m2已知：n=300/min、NA=48kW、NB=18kW、NC=ND15kW,G=80GPa,[τ]=40MPa,[θ]=0.85º/m.求：轴的直径d。BCADmBmCmAmD112233mA=1527NmmB=573NmmC=mD=477Nm2作扭矩图－573(－)954477xT(＋)解：1计算外力偶矩Tmax=954Nm已知：n=300/min、NA=48kW、NB=18kW3设计轴的直径取d＝55mm由刚度条件：由强度条件：3设计轴的直径取d＝55mm由刚度条件：由强度条件已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同,α=0.5.求：比较空心轴和实心轴的强度和刚度解：1比较强度dd1D1已知：空心轴和实心轴材料相同，面积相同,α=0.5.解：12比较刚度dd1D12比较刚度dd1D1§5.6扭转静不定问题ABCmm已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外力偶矩m,AC抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭刚度为G2Ip2.求:轴的扭矩.解:1静力学关系2变形几何关系ACBmab扭转静不定问题mBACBmmAx§5.6扭转静不定问题ABCmm已知:AB阶梯轴两端固定,3物理关系解出:ACBmabmBACBmmA3物理关系解出:ACBmabmBACBmmA第5章扭转轴：以扭转变形为主的杆件。mm§5.1扭转的概念受力特点：作用于杆件两端的外力是一对大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的力偶矩。变形特点：杆件的任意两个横截发生相对转动。扭转角：杆件扭转时任意两个横截面发生相对转动而产生的相对角位移。第5章扭转轴：以扭转变形为主的杆件。mm§5.1扭转的概§5.2外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图1外力偶矩的计算功率N为马力功率N为千瓦外力偶矩主力矩阻力矩（与主力矩平衡){§5.2外力偶矩的计算、扭矩和扭矩图功率N为马力功率N为千mmmxTmxT´右:Σmx=0,m–T´=0

T´=m

T、T´为扭矩扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩方向与截面外法线相同为正，反之为负。2扭矩和扭矩图(1)扭矩左:Σmx=0,

T–m=0

T=mmmmxTmxT´右:Σmx=0,扭矩的符号规定解：1求外力偶矩BCADmBmCmAmDmBmCmAmDmC(2)扭矩图已知：NA=50马力、NB=NC=15马力、ND=20马力，n=300r/min.求：作扭矩图mA=1170NmmB=mC=351NmmD=468Nm解：1求外力偶矩BCADmBmCmAmDmBmCm2求扭矩

Σmx=0,T1+mB=0

T1=-mB=-351Nm3作扭矩图

Tmax=702Nm如果A、D交换,Tmax=1170NmΣmx=0,T2+mB+

mc=0

T2=-mB-

mc=-702NmΣmx=0,-T3+mD=0

T3=mD=468Nm0xT468702351(+)(-)mBmCmAmDmCxmBT1xT3mDxmBmCT2x2求扭矩3作扭矩图Σmx=0,T2+mB+mc§5.3纯剪切一薄壁圆筒扭转时的应力

r>>t为薄壁圆筒现象：1圆周线的形状大小不变相邻两周线之间距离不变，但发生了相对转动。2各纵向线仍然平行，但倾斜了相同的角度γ（剪应变）mxTΣX=0T=m(数值上）T＝∫ArτdA(实质上)02π＝∫rτrtdαr>>t,τ均布T=2πr2τtLmφrRtmγyαdαx0τττ§5.3纯剪切mxTΣX=0T=m(数值上）0τdytdxτ´τxyzdxdyt二剪应力互等定理剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上剪应力必然成对存在且数值相等，垂直于两个平面的交线，方向共同指向或背离这一交线。=τ´dxtdyτ=τ´τdytdxτ´τxyzdxdyt二剪应力互等定理剪应力互τγτγ

τ＝

Gγ四E、G和μ之间的关系三剪应变、剪切胡克定律mmlφRγ剪应变在弹性范围内,剪切胡克定律G--剪切弹性模量τγτγτ＝Gγ四E、G和μ之间的关系三剪应变右侧面上剪力从0－γ1完成的功τdydz

–剪力dγdx－位移增量γγdxdzdyττ´τ

dτγ1γ0τγdγdU=dw=

∫τdydzdγdx=∫τdγdVdV=dydzdx(单元体体积）00γ1γ1五剪切变形能变形能比能0γ1dw=∫

τdydzdγdx弹性范围右侧面上剪力从0－γ1完成的功γγdxdzdyττ´τdτ内部剪应变lmφmdxxdxdΦRγργρ2物理关系当τ≦τp时τρ＝Gγρ1变形几何关系§5.4圆轴扭转时的应力平面假设：表面剪应变内部剪应变lmφmdxxdxdΦRγργρ2物理关系1变3静力学关系ρdρdρdAτρ3静力学关系ρdρdρdAτρxdxdφRγργρ抗扭截面模量ρdρdρdAτ当ρ=R时其中极惯性矩xdxdφRγργρ抗扭截面模量ρdρdρdAτ当ρ=R4极惯性矩和抗扭截面模量（1）圆（2）空心圆dρDdA0ρdρDdA0dρ4极惯性矩和抗扭截面模量（2）空心圆dρDdA0ρdρDd注：对变截面轴应综合考虑T和Wt确定τmax。5圆轴扭转强度条件注：对变截面轴应综合考虑T和Wt确定τmax。5圆轴扭l1l2l3T1Ip1T2Ip2T3Ip3T(x)Ip(x)x§5.5圆轴扭转时的变形1扭转角(1)等直圆轴(2)阶梯轴(3)变截面轴l1l2l3T1Ip1T2Ip2T3Ip3T(x)Ip(x)3扭转刚度条件[θ]—许用单位长度扭转角rad/m0/m2单位长度扭转角3扭转刚度条件[θ]—许用单位长度扭转角rad/m0/m2已知：n=300/min、NA=48kW、NB=18kW、NC=ND15kW,G=80GPa,[τ