(完整版)高中数学必修五综合测试题含答案

绝密★启用前高中数学必修五综合考试卷第I卷（选择题）一、单选题246的一个通项公式是（）1.数列°'3'5'7…的一个通项公式是（）A.n-1/_ *.帶两(neN)B.n-1/一*.an=i^I(nGN)C.帶岩（n€N*）D.an=2^iSEN*)2.X-1不等式尸2°的解集是（A.[1,2]B.U[2,+8)C.[1,2)D.(・8,1]U(2,+河A.-5B.1A.-5B.1D.4'x+y>0x-y+l>03.若变量x，Y满足°SXW1，则x-3y的最小值是（ ）3.4.在实数等比数列0｝中，⑰％是方程》2_34x+64=0的两根，则％等于（）4.A.8A.8B.-8C.±8D.以上都不对5.己知数列何J为正项等比数列，且aia3+2a3a5+a5a7=4,则32+36A.1B.A.1B.2C.3D.6-数歹峠2試唱，…前E的和为（B.1 +n,~F+—+1B.1 +n,~F+—+1C.D.1 /72-H+—-—2”+i• 27.若AABC的三边长a,b,c成公差为2的等差数列，最大角的正弦值为2,则这个三角形的面积为（）35\3D.35\3D.4\、A.4B.4c.48.在AABC中，己知a=2,b=\2,A=45°,则B等于( )A.30°B.60°C.30°A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°下列命题中正确的是（）A.a〉b"ac2>be?B.a^>b=^a2>b2C.a>/?=>tz3>/)3D.a2>b2^a^>b 满足条件a=4,b=3\2A=45°,的，&幽己的个数是（）A.1个B.2个C.无数个D.不存在已知函数f（x）*x2.c满足：・4《f（l）《-l,・Xf⑵《5.则f（3）应满足（）TOC\o"1-5"\h\z28 35a.・7《f⑶与26B.・4Sf（3）《15c.・1《f⑶与20 D.-T- -T已知数列｛如是公差为2的等差数列，且气'划合5成等比数列，则鬼为 （）A.-2B.-3C.2D.3等差数列｛胡的前10项和Sio=15，则a4+a7等于（ ）A.3B.6C.9D.10S”2naa等差数列&｝，"｝的前n项和分别为，兀，若厂和，则頌的值为（ ）3 4 5 12A.5B.7C.8D.19第II卷（非选择题）二、 填空题已知｛%｝为等差数列，且a7-2a4=-i,a3=o.则公差史 在△ABC中，A=60°,b=l,面积为\3,则边长c= .已知MBC中，c\3,a=l?acosB=bcosA,则AABC面积为 .若数列爲｝的前n项和Sn=3an+s,则&｝的通项公式 直线x・4y+9=0下方的平面区域用不等式表示为 .函数V=X+^X>1）的最小值是 .11已知x,URL且4x+y=l,则；+,的最小值是 .三、 解答题解一元二次不等式（1）-x2-2x+3>0 （2）x2-3x+5>0好的角A、B、C的对边分别是a=5、b=6、c=7。求BC边上的中线AD的长；求^ABC的面积。在MBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且b2+c2=bc+a2求A的大小.若a\3,求b+c的最大值.数列｛电的前〃项和&=33〃一〃2.(1)求数列仇,｝的通项公式； (2)求证：0｝是等差数列.己知公差不为零的等差数列｛%｝中，S2=16,且昨斗丹成等比数列.⑴求数列0｝的通项公式；(2)求数列｛|如｝的前〃项和Tn.己知数列K｝是公差不为0的等差数列，斗=3,a’a%成等比数列.求％;a设、=n・2”，数列｛bj的前n项和为Tn,求L.某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐8吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨.现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料.问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？己知正项数列｛a*的前n项和为Sn，且ai=l,an+i=Sn+i+Sn.⑴求｛歸的通项公式;a⑵设^=320-1-2\求数列｛稣｝的前n项和Tn.参考答案1.c【解析】【分析】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，故可得数列的通项公式.【详解】观察数列分子为以0为首项，2为公差的等差数列，分母是以1为首项，2为公差的等差数列，2(n-1)故可得数列的通项公式喝二和"(KZ)故选：C.【点睛】本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了数列的通项公式的求法，是基础题.C【解析】【分析】根据分式不等式的意义可转化为整式不等式*-1)(2・x)Z0旦2.x。0,即可求解.【详解】原不等式等价于(x・l)(2・x)20且2-XH0,解得l<x<2,所以原不等式的解集是［1,2).【点睛】本题主要考查了分式不等式的解法，属于中档题.A【解析】【分析】111画出可行域，令目标函数Z二X.3y,艮|Jy=3X-3\做出直线V=3X,平移该直线当直线过可行域且在y轴上截距最大时，即过点A(L2)时，z有最小值.【详解】11可行域为如图所示的四边形OBAC及其内部，令目标函数z=x-3y ，即V=3X_3Z,过A(l,2)点时，所在直线在y轴上的截距=2取最大值，此时二取得最小值，且【点睛】【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，数形结合的思想方法，属于中档题.A【解析】【分析】利用根与系数的关系、等比数列的性质即可得出.【详解】等比数列｛an｝中，a2/a6是方程x234x+64二0的两根，2•••a2+a6=34>,a2*a6=64=%,又偶数项的符号相同，.・0>0・则=8・故选：A.【点睛】本题考查了等比数列的性质、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.B【解析】..•数列齢为等比数列，fiaia3+2a3a5+a5a7=4Aa2+2a2a6+a6=4,g|j(a2+a6)2=4^又a/。，Aa2+a6=2.选8.

6.B【解析】S〃=（1+2+3+・・・+〃）+—+6.B【解析】S〃=（1+2+3+・・・+〃）+—+<111<24+82〃丿\（〃（为+1） 22+_1_」、2、2〃（,2+1） 1 12 +1,故选B.7.B【解析】试题分析：根据题意设二角形的二边•菖一気％菖卷,最大角为W,•点'•餓”,则由三角形两边之和大于第三边知為'+其」盆即寫事项，由余弦定理得§卄笏2_鱼:斗討 ：/-蠢X_蠢1気兩-節方T杀，即迎M-蹦二-甄**计算得出:為•二土二三角形的三边分别为乳先気•该三角形的面积为:丄芸祝机血京=丄心*号次匝=吃3..Z; 2茧«所以成,选项是正确的.考点：等差数列，余弦定理，三角形面积.【思路点晴】本题给出二角形中二条边成公差为恁的等差数列，利用等差中项巧设二边-ME比'这样只引入了一个变量K,根据三角形屮大边对大角，则最大角洞为边网用_旦些*仁二枣；；+题F 赢菖君-瑜1z垩所对的角，根据 ：W-譲Il u-A恠指毎w：礬=-/为源攵整値云=土米勺飯fk—=二^到至二幻从而得到三边分别为寬黑儿垩 色 2； 4A【解析】【分析】a_b. _1由正弦定理s"礼沁知smB=2,所以得B=30°或150°,根据三角形边角关系可得B=30°o【详解】ab由正弦定理sinA_sinB得，2_2血「靴所以sinB=：B=30°或150°,又因为在三角形中，a>b,所以有A>B,故B=30°,答案选A。【点睛】本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，较简单基础CC【解析】试题分析：对于选项A,根据不等式的性质，只有。0时，能成立，故错误选项B中，当a二0,b二.1,时，此时a>b,但是不满足平方后的X>b2,成立，故错误。选项D中，因为当a2>b2时，比如a=.2,b=0,的不满足a>b,故错误，排除法只有选C.考点：本试题主要考查了不等式的性质的运用。点评：解决该试题的关键是注意可乘性的运用。只有同时乘以正数不等号方向不变。TOC\o"1-5"\h\zB【解析】解：因为满足条件a=4,b=3\2,A=45°,利用余弦定理可知得到关于c的一元二次方程,b2+c2-a22 即cosA=f^・・・c+2.6c=0,可知有两个不等的正根，因此有两解，选bC【解析】【分析】列出不等式组，作出其可行域，利用线性规划求出f(3)的最值即可.【详解】:v.4<f(1)<-1,-i<f(2)<5,'-4<a-c<-1.-1<4a-c<5作出可行域如图所示:令z=f(3)=9a-c,则c=9a-z,由可行域可知当直线c=9a-z经过点A时，截距最大，z取得最小值,当直线c=9a-z经过点B时，截距最小，z取得最大值.a-c=-1联立方程组4a・c=・1可得A(0,1),(4a-c=5联立方程组%・c=-4,得b(3,7),.・・z的最大值为9x37=20.(3)《2。故选：C.【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想•需要注意的是：・，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.D【解析】【分析】由等差数列知，ai=a2-d^5=a2+3d,又三数成等比数列，所以a22=(a2-d)<a2+3d\求解即可.【详解】因为a1=a2-d,a5=a2+3d＞又ara2/a5成等比数列，所以a?=岛-⑴岛+3d),解得a2=3?故选P.【点睛】本题主要考查了等差数列通项公式及等比中项，属于中档题.A【解析】【分析】由题意结合等差数列前〃项和公式和等差数列的性质整理计算即可求得最终结果.【详解】ai+aio ( \由题意可得：'io二二一xlO二5(气+吃)=15,则ai+aio=3,由等差数列的性质可得：a4+a7=ai+aio=3本题选择A选项.【点睛】本题主要考查等差数列的性质，等差数列前〃项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.C【解析】【分析】n5根据等差数列的求和公式进行变形可得结合条件代入n=5后可得所求的值.【详解】a32aS31+35 2<31+35^S52x5 _5由等差数列的求和公式可得…他-E)一L一3'小-8故选C.【点睛】本题考查等差数列的求和公式和项的下标和的性质，解题时要注意等差数列的项与和之间的联系，关键是等差数列中项的下标和性质的灵活运用，考查变化和应用能力.

B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于A”d的方程组，求解即可.【详解】设等差数列｛喝｝的首项为如，公差为d,由等差数列的通项公式以及己知条件得ai

，即V2d=O,a1+6d-2（a】ai

，即V2d=O,1解得d-2,故选：B.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，熟紀公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用.4【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c【详解】;1 £ 、3,"=60。力=1,面积为x3=2&csinJ=2xIxcx2,•••解得：c=4,【点睛】1在解三角形面积时有三个公式可选择，但是题上己知角A,所以我们需抓取S=2bcsinA\34【解析】【分析】由己知及正弦定理可得sin(A-B)=0,结合A,B的范围，可求-jiCA-B〈兀，进而求得A-B二0,可得竺b二1,利用余弦定理可求cosA,同角三角函数基本关系式可■求sinA,根据三角形面积公式即可计算得解.

【详解】•.scosB"cosA,•,・由正弦定理可得：sinAcosB二sinBcosA,可得：sin(A-B)=0*•••QVAVn,O<8<,可得：-n<A-B<rt,・・・A-B=0,可得：a=b=1,b2+c2-a21+3-1J 1•••COSA=2bc=2xiX\3=2,可得：sinA；,•••Saabc=%cs泌A=/1X\'x；=4.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题.帶（技所【解析】【分析】 丄2把n=l的式子代入已知中得到数列的首项，再由H2时，an=Sn-Sn-l,推得姦一一，得到数列｛謂表示首项为ai=1,公比为q=-2的等比数列，即可求解.【详解】3,解得有=1当n22当n22时，anSn-Sn-l=3an+3即寫=・2an-l,所以福--23，n.l-3一3寫-3即寫=・2an-l,所以福--2所以数列kn｝表示首项为a广1,公比为q=-2的等比数列,所以数列｛曲的通项公式为L=（・2）E【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，及数列电与Sn的关系的应用，其中熟记数列的為与舄的关系式，合理推理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.x-4y+9>0t解析】【分析】作出直线x・4y+9=0,判断0所在的平面区域，即可得到结论.【详解】点。。）在直线x・4y+9=0的下方，应使不等式成立，所以直线x・4y+9=0下方的平面区域用不等式表示为x・4y+9>0.故答案为：x-4y+9>0【点睛】本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，先判断原点对应的不等式是解决本题的关键,比较基础.5【解析】【分析】先对函数的解析式变形，再利用基本不等式求最小值.1详解】x>14 4 4由题得v=x・1+ '2、：（x•1）k+1一5（当且仅当x・1==即x=2时取等）故答案为：s【点睛】（1）本题主要考査基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力・（2）使用基本不等式求最值时，要注意观察收集题目中的数学信息（正数、定值4等），然后变形，配凑出基本不等式的条件.木题解题的关键是变形V=X_1+^4-l.9【解析】【分析】1111直接将代数式4x+g与；*聊目乘，利用基本不等式可求出尸亍的最小值.【详解】

11zx/11\4xy 4xy由基本不等式可得x+广4x+Vlx+y)"y+x+5-"；+5-9.，当且仅当4xy—Yx4xy—Yx4x+y=1=>X=6111故答案为:q.Y弓，等号成立，因此的最小值为％故答案为:q.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意"拆、拼、凑''等技巧，使其满足基本不等式中〃正''(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、"等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.(1)(-3,1)；(2)R.【解析】【分析】利用因式分解即可利用判别式即可得到答案【详解】由-x2-2x+3>0,得妒+2乂-3<0,解得・3<x<l。所以不等式的解集为(-3,1)。因为A=(-3)2-4x5=-11<0,所以不等式『・3x+5>0的解集为Ro【点睛】本题主要考査了一元二次不等式的解法，属于基础题。、145(1)2；(2)6\6【解析】【分析】

a2a2+c2-b2(1)由余弦定理得2ac可以求出COSB的值，再通过AD2=BD2+AB2-2BD・AB・cosB求出AD的值。1・(2)通过cosB计算出sinB的值，再通过Saabc=产事泅计算出△ABC的面积。【详解】_a2+c2-b22ac(1)在△ABC中，由余弦定理得C°SB=2ac25+49-36 192x5x7 355由D是BC边上的中点知BD亏5 1914549-2xx5 1914549-2xx7x=2 35 4AD2=BD2+AB2・2BD・AB・cosB=(亍+,一.145所以A"‘219⑵由(1)知C°=35.三角形中sinB>0,sinB=cosB2=、1・郞=SAABC=^CSinB1 12、6厂亏x5x7x35=6<6,所以△ABC的面积是6、6c【点睛】本题考察的是解三角形，要对解三角形的正弦定义、余弦定理、三角形面积公式有着足够的了解。n(1)3；(2)2\3【解析】【分析】(1)将余弦定理与已知等式相结合求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；(2)将a代入可得(b+c)2-3=3bc,利用基本不等式即可得结果.【详解】7 2 2 2 7? b2+c2-a21s、b+c=be+a=>b+c・a=bc=>cosA=—-——=；2bc2•・・A€(0,ji).・.A=?•:a=x3b2+c2=be+3=>(b+c)2-3=3bc(b+c)2<12b+c<2v3【点睛】本题主要考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.(1)%=34-2”.(2)见解析【解析】【分析】当nN2时,an=Sn-Sn-r又当n=l时，ai=Si，即可得出.只要证明：an+l_an=常数即可.【详解】解(1)当松2时，心=£一£-2=34—2儿又当时，^1=51=32=34—2x1满足办=。4一2入.故｛〃帛的通项为〃团=34—2儿(2)证明：劣+1—劣=34—2(n+l)-(34-2M)=—2.故数列｛〃舟是以32为首项，一2为公差的等差数列.【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.(1)、=11一2〃，旳・(2)见解析.【解析】【分析】2a】+d=16(1令=2包叮斗私成等比数列，(ai+3d)2=ai(ai+4d)解得首项和公差进而得到通项；

（2）（2）当以《5■时，乙=久+〃2+・・・+〃孔直接按照等差数列求和公式求和即口L儿2<&,乙=，2+〃2+・・.+〃5—此>—〃7—…一久二/—1CM+57Z写成分段即可.【详解】，2vd=16:宀⑴由$2=16,%%，a5成等比数列，得（ai+3d）2=ai（ai+4d⑴由$2=16,%%，a所以等差数列囱｝的通项公式为。〃=11一2〃（住N*）.(2)当心5时,Tn=\a}\+\a2\+...+\an\=ai+a2+...+al=Sf=-n2+Wn.当花6时,T,=\a}+|白2|+・・・+|宣|=々1+。2+・・・+釦一。6一0•.•-q〃=2S5-S〃=2x(-52+10x5)-(-/?2+10〃)=〃2-]()〃+50,,'Tf臉心)，故Tn=,r:—ISte-b® .【点睛】数列通项的求法中有常见的己知S。和％的关系，求外表达式，一般是写出歸」做差得通项,但是这种方法需要检验八二2时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。27・（1）帶口；（2）T/（n・l）・25【解析】【分析】（I）设数列｛%｝的首项为君，公差为d,由知也归‘成等比数列，列出方程，求得d=l,即可得到数列的通项公式;■-1（2）由（1）得Dn=n，2,利用乘公比错位相减法，即可求解数列的和.【详解】（1）设数列倡」的首项为a”公差为d（d尹0）,则an=a,+（n—l）d.因为盼期，a.5成等比数列,所以(ai+2d)2=(ai+d)(ai+4d)，化简得，aid=0,乂因为d=0,所以a]=0,又因为a4=ai+3d=3,所以d=l.所以an=n—1.(2)bn=n•2"-1,Tn=l•2。+2•2'+3•22+-+n•2*1-1, ①则2Tn=l•2l+2•22+3•23+-+n•2n ②①一②得，—Tn=l+2】+22+・・・+2ni—n•2\IT=1T—n•2n=(1—n)•2n—1.所以，Tn=(n-1)5+1.【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的"错位相减法卩此类题目是数列问题中的常见题型，对考生计算能力要求较高，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在"错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.28.生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够产生最大利润，最大利润为3万元.【解析】【分析】设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料v车皮能够产生利润z万元，列出线性约束条件，再利用线性规划求解.【详解】设生产甲种肥料X车皮、乙种肥料V车皮能够产生利润Z万元.目标函数为z=x+0.5y,'4x+y<1018x+15y<66x>