2020年江苏卷(含答案)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题~第20题，共20题）。本卷满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5•如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．TOC\o"1-5"\h\z1.已知集合A二｛T,0,l,2｝,B二｛0,2,3｝，则AB=.2•已知i是虚数单位，则复数z=（1+D（2-D的实部是.3•已知一组数据4,2a,3―a,5,6的平均数为4,则a的值是•4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是5•如图是一个算法流程图，若输出y的值为-2，则输入x的值是•TOC\o"1-5"\h\zX2y2y/56.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线一-匚=l(a〉0)的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心a252率是.7•已知yfx)是奇函数，当x>0寸，f(x)二x；，则f(-8)的值是—.兀2已知sm2(丁+a)=£，则sin2a的值是.43如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，46设｛an｝是公差为d的等差数列，｛bn｝是公比为q的等比数列.已知数列｛an+bn｝的前n项和nnnnS二n2-n+2n-1(neN+)，贝卩d+q的值是.n已知5x2y2+y4二1(x,yeR)，则x2+y2的最小值是.在AABC中，AB二4,AC二3，ZBAC=90。,。在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若则ARAB面积的最大值是.二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答寸应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB丄AC，BC丄平面ABC，E，F分别是AC，BC的中点.(1)求证：EF〃平面AB1C1；

(2)求证：平面AB1C丄平面ABB].16.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,c=、込,B=45。.求sinC的值；4在边BC上取一点D,使得cosZADC=-5，求tanADAC的值.17•某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上、桥AB与MN平行，OO'为铅垂线(O'在AB上)•经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离件咪)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h=丄a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h咪)与F到OO'的距离b(米)140求桥AB求桥AB的长度；计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE为80米，其中C,E在AB上(不包括端点).之间满足关系式h=--1-b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.2800桥墩EF每米造价k(万元)、桥墩CD每米造价2k(万元)(k>0).问01为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低?x2y218.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:--+才=1的左、右焦点分别为F],F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2丄F]F2，直线AF]与椭圆E相交于另一点B.求aafxf2的周长；在x轴上任取一点P,直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q,求0P-QP的最小值；设点M在椭圆E上，记AOAB与AMAB的面积分别为S],S2，若S2=3S1，求点M的坐标.已知关于x的函数y=f(x),y=g(x)与h(x)=kx+b(k,bgR)在区间D上亘有f(x)>h(x)>g(x).若f(x)=x2+2x，g(x)=-x2+2x，D=(—a,+a)，求h(x)的表达式；若f(x)=x2一x+1,g(x)=klnx,h(x)=kx一k,D=(0,+a),求k的取值范围；若f(x)=x4一2x2,g(x)=4x2一8,h(x)=4(t2—t)x一3t4+2t2(0<|t|wT2),D=[m,n]匸[一逅[求证：n-m^■-'7.已知数列｛a｝(ngN*)的首项a1=1，前n项和为Sn.设九与k是常数，若对一切正整数n,均有TOC\o"1-5"\h\zn1ns:-S：=血:成立，则称此数列为“「k”数列.n+1nn+1若等差数列｛a｝是“入-1”数列，求九的值；n若数列｛a｝是“竺一2”数列，且an〉0,求数列｛a｝的通项公式；n3nn对于给定的入，是否存在三个不同的数列｛a｝为“入-3”数列，且an>0?若存在，求入的取值范围；若不nn存在，说明理由.数学11(附加题)【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.［选修4-2：矩阵与变换］1平面上点A(2,-l)在矩阵M=J对应的变换作用下得到点B(3,-4)._一1b_求实数a,b的值；求矩阵M的逆矩阵M-1.B・［选修4-4：坐标系与参数方程］在极坐标系中，已知点A(P’,£)在直线l:Pcos0=2上，点B(p夕)在圆C:p=4sin0上(其中p>°,1326°<0<2兀).求P］，P2的值求出直线/与圆C的公共点的极坐标.C・［选修4-5：不等式选讲］设xeR，解不等式21x+11+1x1<4.【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在三棱锥A—BCD中，已知CB=CD=^'5,BD=2,O为BD的中点，AO丄平面BCD,AO=2,E为AC的中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；1(2)若点F在BC上，满足BF=4BC,设二面角F—DE—C的大小为0,求sinO的值.25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X“，恰有2个黑球的概率为#“，恰有1个黑球的概率为qn．求Pfq1和p2・q2；求2p+qn与2pn1+qn1的递推关系式和X“的数学期望E(X“)(用n表示).

2020年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷）参考答案数学I一、填空题（共计70分）15.-334•-6.—7.-4925兀4182411.412.—13.0或558-314.10斗51.8-314.10斗59.1衣3-才10.x-1.【解析】TA={一1,0,1,2},B={0,2,3}AB={),2}.故答案为：{°,2}.2.【解析】•・•复数z=(1+"(2—i)z=2-i+2i-i2=3+i・•・复数的实部为3•故答案为：3.【解析】•・•数据4,2a,3-a,5,6的平均数为4・•・4+2a+3-a+5+6=20，即a=2.故答案为：2.【解析】根据题意可得基本事件数总为6x6=36个.点数和为5的基本事件有（1,4），（4,1），（2,3），（3,2）共4个.・•・出现向上的点数和为5的概率为p=36=9•故答案为:3695.【解析】由于2x>0，所以y=x+1=-2，解得x=-3•故答案为：—36.【解析】双曲线乂-琴=1，故b»5•由于双曲线的一条渐近线方程为y=迈x，即-=亘na—52a2x，2，a2所以c=広莎=干5=3，双曲线的离心率为C=-故案为：—TOC\o"1-5"\h\za227.【解析】f⑻=8；=4，因为f（x）为奇函数，所以/（-8）=-/⑻=-4,故答案为：-48.【解析】J冗込庖1sin2(+a)=(sina+cosa)2=(1+sin2a)42221211二2(1+sin2^)=3二sin2a=3•故答案为：—只1兀9.【解析】正六棱柱体积为6&x22x2=12尽圆柱体积为兀（2）2-2=2

所求几何体体积为12J3-£.故答案为：1^3-弓TOC\o"1-5"\h\z兀兀兀【解析】y—3sin[2(x—)+]—3sin(2x—)6412兀兀7兀k兀2x—=—+k兀(kGZ)x—+——(kGZ)1222427,5兀5兀当k——1时x=—旁•故答案为：x=—可【解析】设等差数列｛a｝的公差为d，等比数列｛b｝的公比为q，根据题意q丰1.nnn，/)厂n(n-1n，等差数列仏了的前n项和公式为P—na+nn12等比数列｛"的前n项和公式为£-忖bb1—qn+1—1—q等比数列｛"的前n项和公式为£-忖bb1—qn+1—1—q1—q依题意S=P+Q，即n2一n+2n一1=—n2+a2vbbn—1qn+—1—q1—q通过对比系数可知1d二12d1a———112q—2b11—qa—012，故d+q—4.故答案为：4q=2b—1112.【解析】•5x2y2+y4—1,・y丰0且x2—5y21y414y2・・x2+y2—+y2—+>25y25y25节-f，当且仅当盍=如31，即x2二一,y2二-时取等1024号，・・x2+y2的最小值为§13.【解析】JA,D,P三点共线，.••可设PA二九PD(九〉0),PA二mPB+‘3、、2——mPC，•:九PD—mPB+1丄一mPC,丿(2mPD二〒PB+3若m丰0且初—,则B,D,C三点共线，二m2厂・.・AP—9，・AD—3.・.・AB—4,AC—3,ZBAC—90。，・BC—5.设CD—x，ZCDA=0，则BD—5—x，ZBDA—兀一0.・•.根据余弦定理可得cos0AD2+CD2-AC2-2AD-CDcosG-0)=AD2+BD2-AB22AD-BD(5-x匕-76(5-x)*.*cos0+cosG-0)=0,x(5-x)2-71818・6+6(5—X^=0，解得x=~5，•:CD的长度为-5.当m=0时，PA二3PC,C,D重合，此时CD的长度为0,233当m=三时，pa二3pb，B,D重合，此时PA=12，不合题意，舍去.2一2一、18故答案为：0或5-14.【解析】•/pa二pb,・•・pc丄AB-设圆心C到直线AB距离为d，则IABI=2\：36-d2,1PC1=+=144所以S<--2\：36-d2(d+1);'(36-d2)(d+1)2PAB2△令y=(36-d2)(d+1)2(0<d<6)/.y'=2(d+1)(-2d2-d+36)=0/.d=4(负值舍去)当0<d<4时，_/>0；当4<d<6时，y<0，因此当d=4时，y取最大值，即SPAB取最大值为10”5,故答案为：10^5A二、解答题（共计90分）15.【解析】（1）由于E,F分别是AC,B1C的中点，所以EF//AB1.由于EF広平面AB1C1,AB1u平面AB1C1，所以EF//平面AB1C1.⑵由于B1C丄平面ABC，AB平面ABC，所以Bf丄AB.由于AB丄AC,ACcBf=C，所以AB丄平面AB,由于AB平面ABB】，所以平面AB1C丄平面ABB1.=5，16.【解析】(1)由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=9+2-2x=5，所以b-壬由正弦定理得衆=岛-sinC=甞=音.2)由于cosZADC=—4ZADCe，所以sinAADC=需1一cos2ZADC由于ZADCefc,兀、V2丿z、兀，所以Ce°，3V2丿所以cosC=vi—sin2C=2薦~~5~所以sinZDAC=sin(兀—ZDAC)=sin(ZADC+ZC)x=——525=sinZADC-cosC+cosZADC-sinC=x=——525V2丿由于ZDACeg，所以cosZDAC=J1-sin2ZDACV2丿TOC\o"1-5"\h\zsinZDAC2所以tanZDAC=——-=订.cosZDAC1117.【解析】(1)由题意得厶\O'A\2=—吕x40i+6x40.•」O'A\=8040800IAB1=1O'AI+IOfB1=80+40=120米(2)设总造价为f(x)万元，IO'OI=x802=160，设1O'E\=x，40131f(x)=k(160+xi—6x)+k[160—(80—x)2],(0<x<40)8002401336f(x)=k(160+xi一x2),.・.f'(x)=k(x2一x)=0x=20(0舍去)8008080080k丿当0<x<20时，广(x)<0；当20<x<40时，广(x)>0，因此当x20时，f(x)取最小值，答：当O'E=20米时，桥墩CD与EF的总造价最低.18.【解析】(1)V椭圆E的方程为〒+罕=F(—1,0),F(1,0)4312由椭圆定义可得：AF1+AF2=4.A△AFF的周长为4+2=61212(2)设p(x。，0)，根据题意可得x0主1.(I\•・•点A在椭圆E上，且在第一象限，AF2丄fF2，AA1,2212V2丿・・•准线方程为x=4,aQ(4,yQ)AOP-QP=(x,0)・C一4,—y)=(x-4)x=(x一2)z一4>—4，当且仅当x=2时取等号00Q0000AOP-QP的最小值为—4.

（3）设M（X],yi），点（3）设M（X],yi），点M到直线AB的距离为d.•/Aif,F(—1,0),.・.直线afi的方程为y=f(x+1)V2丿1143•・•点O到直线AB的距离为7,S二3S521・•・S二3S1212二3x-xABx3二-AB-d.52'・心-4叮3=9①；宁+于=1②x二2・•・联立①②解得]10y二01y17.12.刁・M(2,0)或［-y,1219.【解析】(1)由题设有-X2+2x<kx+b<x2+2x对任意的xeR恒成立.令x=0，贝y0<b<0，所以b=0.因此kx<x2+2x即x2+(2—k)x>0对任意的xeR恒成立，所以A=(2—k)2<0，因此k=2.故h(x)=2x.(2)令F(x)=h(x)—g(x)=k(x—1—Inx)(x>0)，F(1)=0.又Fr(x)=k-x-1.x若k<0，则F(x)在0,1上递增，在上递减，则F(x)<F(1)=0，即h(x)—g(x)<0，不符合题意.当k=0时，F(x)=h(x)—g(x)=0,h(x)=g(x)，符合题意.当k>0时，F(x)在0,1上递减，在d+x)上递增，则F(x)>F(1)=0，即h(x)—g(x)>0，符合题意.综上所述，k>0.—(k+1)x+(k+1)>0由f(x)—h(x)=x—(k+1)x+(k+1)>0k+1

~T<0，即k<—1时，y=x2—(k+1)x+k+1在G,+x)为增函数,因为f(0)—h(0)=k+1<0，故存在x0e(0,+s),使f(x)—h(x)<0，不符合题意.当x=罕1=0，即k=—1时，f(x)—h(x)=x2>0，符合题意.k+1当x=>0，即k>—1时，则需A=(k+1匕—4(k+1)<0，解得—1<k<3.综上所述，k的取值范围是ke【0,3].(3)Vx4一2x2»4(t3一t)x-3t4+2t2»4x2一8对任意xe[m,n]u[—J2,J2]恒成立,x4一2x2>4C一t)x-3t4+2t2对任意xe[m,n]u[—J2,12]恒成立，等价于(x—t)2(x2+2tx+3t2—2)>0对任意xe[m,n]u[—€2,迈]恒成立.故x2+2tx+3t2—2>0对任意xe[m,n]u[一€2,p2]恒成立令M(x)=x2+2tx+3t2一2,当0<12<1,A=一8》2+8>0,—1<一》<1，此时n—mW空2+<\Q+1<、訂，当1<12<2,A=—8t2+8<0,但4x2-8>4(t3—t)x一3t4+2t2对任意的xe[m,n]u[—£2,€2]恒成立.等价于4x2—4(t3—t)x+(3t2+4)C—2)<0对任意的xe[m,n]u[r‘2,倆恒成立.4x2—4C3—t)x+(3t2+4)(t2—2)=0的两根为x,x,123t4—2t2—8则x+x=13—t,x-x=—m=|xm=|x—x|=\；'(x令12=X,Xe[1,2],所以n-:+x)2—4xx=\t6—5t4+3t2+所以n-1212贝yn一m=JX3—5九2+3九+8.构造函数P(九)=九3—5九2+3九+8(Xe11,2]),P，(X)=3九2—10九+3=(九—3)(3九-1),所以Xe11,2]时，P，(X)<0,P(x)递减，P(x)=P(1)=7.max所以(n一m)=P7，即n—m<\：7max20.【解析】（1）TS一S=Xaa=20.【解析】（1）TS一S=XaTOC\o"1-5"\h\zn+1nn+1n+1n+11n+1(2)丁a>0，•:S>S，•:S丄‘S丄・丄••丄<31-nn+1nSn+12»Sn2S—S2=(S，—S)2n+12n23n+1n

：（s1—s2）2=!（sn+1n3丄：（s1—s2）2=!（sn+1n3丄丄11'2—S2）（S2+S2）n+1nn+1n...s1—S2=1（Sn+1n3丄丄丄丄2+S2）：S2=2S2：S=4S：S=4n-1n+1nn+1nn+1nnS=a=1，S=4n-1..・.a=4n—1—4n—2=3-4n—2,n>211nn1,n=13-4n-2,n>2（3）假设存在三个不同的数列｛a｝为"九-3"数列.n11111S3—S3=xa3.（S3—S3）3=X3（S—S）n+1nn+1n+1nn+1n11亠112211•S3=S3或（S3—S3）2=X3（S3+S3+S3S3）n+1nn+1nn+1nn+1n:S=S或（九3—1）S3+（九3—1）S3+（九3+2）S1S1=0n+1nn+1n•.•对于给定的九，存在三个不同的数列｛a｝为"九-3"数列，且a>0nnn+1n：an1,n=10n2或（九3—1）S3+（九3—1）S3+（九3+2）S1S3=0（九H1）有两个不等的正根.0,n2n+1nn+1n（九3—1）S2+（九3—1）S:+（九3+2）S1S1=0（九H1）可转化为n+1nn+1nc2C丄（九3—1）S3n（九3+2）S3n（.八、、n+1+（九3—1）+n+1=0（九H1），不妨设21S3S3nn—n+1ISn、丄3=x（x>0），则（九3—1）x2+（九3+2）x+（九3—1）=0（九H1）有两个不等正根,即0V九V1，此时f（0）=九3—1V0,设f（x）=（九3—1）x2+（九3即0V九V1，此时f（0）=九3—1V0,①当九V1时，A=（九3+2）2—4（九3—1）2>0n0<九3<4,（九3+2）爲=—2（17^1）>0，满足题意.②当九〉1时，A=（九3+2）2—4（九3—1）2>0n0<九3v4，即1v九v34，此时f（°）=九3—1>0,x对=—2；二）<0，此情况有两个不等负根，不满足题意舍去.综上，0V九V1

数学11（附加题）【选做题】A.［选修4-2：矩阵与变换］21.【解析】（1）・・・平面上点A（2,—1）在矩阵M=::对应的变换作用下得到点B（3,-4）-1ba1_一2]_3__—a1_一2]_3__—1b__-1__-4_mn(2)设M-1=cd2m+c=12n+d=0-m+2c=0—n+2d=1解得12a—1=3-2—b=—4则MM-1=1n=——51c=一5M-1=2n+dj0_—n+2d__01_2m+c-m+2cB・［选修4-4：坐标系与参数方程］22.【解析】（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系,兀

p兀

pcos—13=2,p1=4，因为点B为直线°冷上’故其直角坐标方程为y又p=4sin0对应的圆的直角坐标方程为：x2+y2—4y=0,由1y=——由13解得ix2+y2—4y=0对应的点为(0,0对应的点为(0,0),(3,1),故对应的极径为P2=0或P2=2・(2)pcos0=2,p=4sin04sin0cos0=2,「.sin20