北师大版初三数学上册《全册课件》(全册47套课件)

北师大版初三数学上册精编全册课件（979页）本文档包含课件目录第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定第1课时

菱形及其性质北师大版九年级数学上册1课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升菱形的定义菱形边的性质菱形对角线的性质菱形的对称性北师大版九年级数学上册

下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？北师大版九年级数学上册1知识点菱形的定义菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

要点精析：(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组

邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可．(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判

定方法．知1－讲北师大版九年级数学上册如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需

要添加的条件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝BCC．AB＝BC

D．AC＝BD知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，

DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，

要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BD知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2知识点菱形边的性质知2－导

菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?问

题菱形的四条边都相等.北师大版九年级数学上册知2－讲例1如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为()A．B．

C．D．3在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE＝

，所以△AEF的周长为

，故选B.B分析：北师大版九年级数学上册总

结知2－讲

在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.北师大版九年级数学上册1边长为3cm的菱形的周长是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册知2－练如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，

AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接

EF，则△AEF的面积是(

)A．4

B．3C．2

D.（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册3知识点菱形对角线的性质知3－导

因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?北师大版九年级数学上册知3－导已知：如图，在菱形ABCD中，AB＝AD，对角线AC与BD相交于点O.求证（1）AB＝BC＝CD＝AD，（2）AC⊥BD.证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AD＝BC(菱形的对边相等)．又∵AB＝AD，∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD，∴△ABD是等腰三角形．又∵四边形ABCD是菱形，∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分)．在等腰三角形ABD中，∵OB＝OD，∴AO⊥BD，即

AC⊥BD.北师大版九年级数学上册归纳知3－导定理菱形的对角线互相垂直．北师大版九年级数学上册知3－导问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.北师大版九年级数学上册由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算．知3－讲例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于

点O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周长．（来自《点拨》）导引：北师大版九年级数学上册∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝

AC，BO＝

BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，

得AB＝

∴菱形的周长＝4AB知3－讲（来自《点拨》）解：总

结知3－讲

菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算．（来自《点拨》）1如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，

垂足分别为E，F.(1)求证：BE＝BF；(2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，

求BE的长．知3－练（来自《点拨》）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，

DH⊥AB于H，则DH等于(

)A.B.C．5D．4知3－练（来自《典中点》）知4－导4知识点菱形的对称性

如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形.

菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.知4－导做一做用菱形纸片折一折，回答下列问题：(1)菱形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称

轴？对称轴之间有什么

位置关系？(2)菱形中有哪些相等的

线段？菱形是轴对称图形.1如图，O是菱形ABCD的对角线AC，BD的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：①S△ADE＝S△EOD；②四边形BFDE是轴对称图形；③△DEF是

轴对称图形；④∠ADE＝∠EDO.其中正确的有(

)A．1个

B．2个

C．3个

D．4个知4－练（来自《典中点》）定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形性质对称性菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线边定理1：菱形的四条边相等对角线定理2：菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角周长L=4a面积(1)S=ah(2)菱形的面积等于对角线乘积的一半1.必做:完成教材P4——P5，T1-T42.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第一章特殊平行四边形

1.1菱形的性质与判定第2课时

菱形的判定北师大版九年级数学上册1课堂讲解由对角线的位置关系判定菱形由边的关系判定菱形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升北师大版九年级数学上册1.菱形的定义?2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,

则只需补充

就可以判定它是一个菱形.3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD

相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,则菱形ABCD的周长为

cm.北师大版九年级数学上册

根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．（来自教材）北师大版九年级数学上册1知识点由对角线的位置关系判定菱形可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．下面我们证明这个结论．知1－导（来自教材）北师大版九年级数学上册已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：ABCD是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．知1－讲（来自教材）

证明：北师大版九年级数学上册知1－讲总结1.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱

形.2.规律导引：若用对角线进行判定：先证明四边

形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或

直接证明四边形的对角线互相垂直平分.（来自《点拨》）北师大版九年级数学上册如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

请你添加一个适当的条件____________使其成

为菱形(只填一个即可)．知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2下列命题中正确的是(

)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2知识点由边的数量关系判定菱形知2－导议一议已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形．你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流．定理：四边相等的四边形是菱形.请你完成这个定理的证明.（来自教材）北师大版九年级数学上册知2－讲例1已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交

于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证：ABCD

是菱形．

在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝AO2＋OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．∴AC⊥BD.∴

ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．（来自教材）证明：北师大版九年级数学上册总结知2－讲（来自《点拨》）1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形.2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平

行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四

边形的四条边都相等．北师大版九年级数学上册1做一做你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，

将纸展开，就得到了一个菱形．

你能说说小颖这样做的道理吗？知2－练（来自教材）北师大版九年级数学上册如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，

则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是(

)A．BA＝BC

B．AC，BD互相平分

C．AC＝BD

D．AB∥CD知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，

若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给

出的条件不正确的是(

)A．AB＝AD

B．AC⊥BDC．AC＝BD

D．∠BAC＝∠DAC知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册1.菱形的判定方法：(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．

北师大版九年级数学上册平行四边形四边形菱形2、判定菱形的常见思路：

四条边都相等判定条件对角线互相垂直一组邻边相等1.必做:完成教材P7T1-T32.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第一章

特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第3课时菱形性质与判定

的综合应用北师大版九年级数学上册名师点金菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对

角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平

行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，

也可直接判定四边相等．北师大版九年级数学上册1训练角度利用菱形的性质与判定判断图形的形状如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E.(1)求证：四边形AECD是菱形；(2)若点E是AB的中点，试判断

△ABC的形状，并说明理由．北师大版九年级数学上册(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∠DAC＝∠ACE.∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE.∴四边形AECD是菱形．证明：北师大版九年级数学上册(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.∵AE＝CE，∴CE＝BE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，

∠EAC＝∠ACE，∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°.∴△ABC是直角三角形．解：北师大版九年级数学上册2训练角度利用菱形的性质与判定证明线段的关系2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，

BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是

AB，CD，AC，BD的

中点，求证：线段EF

与线段GH互相垂直平分．北师大版九年级数学上册(1)如图，过点B作BM∥AC交DC的延长线于点M，

则∠ACD＝∠M.

∵AB∥CD，∴四边形ABMC为平行四边形．∴AC＝BM.∵AC＝BD，∴BD＝BM.∴∠BDC＝∠M＝∠ACD.

又∵CD＝DC，

∴△ACD≌△BDC.∴AD＝BC.证明：北师大版九年级数学上册(2)如图，连接EH，HF，FG，GE，∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴HE∥AD，且HE＝

AD，FG∥AD，

且FG＝

AD，EG＝

BC.∴HE∥FG，HE＝FG.∴四边形HFGE为平行四边形．由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG.∴▱HFGE为菱形．∴线段EF与线段GH互相垂直平分．北师大版九年级数学上册3训练角度利用菱形的性质与判定求线段长3．如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°，点E

是AB的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的

对称点．(1)证明：四边形AECF为菱形；(2)设EF交AC于点O，若BC＝10，

求线段OF的长．北师大版九年级数学上册(1)因为点F恰是点E关于AC所在直线的对称点，所以AC应是EF的中垂线．所以CE＝CF，AE＝AF.又点E是直角三角形ABC斜边上的中点，所以AE＝CE.所以AE＝AF＝CE＝CF.所以四边形AECF是菱形．证明：北师大版九年级数学上册(2)因为四边形AECF是菱形，所以OA＝OC，OE＝OF.因为点E是AB的中点，所以EO是△ACB的中位线．所以EO＝

BC＝5.所以OF＝5.解：北师大版九年级数学上册4训练角度利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分

∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，

过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，

交AB于点M，连接ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．(2)当点P在何处时，菱形AEPM

的面积为四边形EFBM面积的

一半？请说明理由．北师大版九年级数学上册(1)∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP.∴四边形AEPM为菱形．证明：北师大版九年级数学上册解：(2)当点P为EF的中点时，S菱形AEPM＝

S四边形EFBM.

理由如下：∵四边形AEPM为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．

过点E作EN⊥AB于点N，如图，∵EP＝

EF，∴S菱形AEPM＝AM·EN＝EP·EN＝

EF·EN

＝

S四边形EFBM.北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形

1.2矩形的性质与判定第1课时

矩形及其性质北师大版九年级数学上册1课堂讲解2课时流程矩形的定义矩形的边角性质矩形的对角线性质直角三角形斜边上中线的性质逐点导讲练课堂小结作业提升北师大版九年级数学上册下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？（来自教材）北师大版九年级数学上册1知识点矩形的定义矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行

四边形不一定是矩形．(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可．知1－讲（来自《点拨》）北师大版九年级数学上册例1如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分

别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四

边形ABCD是矩形吗?简述你的理由．知1－讲很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．

四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，∴AD∥BC．∵l1∥l2，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．分析：解：北师大版九年级数学上册总

结知1－讲

利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.北师大版九年级数学上册1下列说法正确的是(

)A．平行四边形是矩形

B．矩形不一定是平行四边形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．平行四边形具有的性质矩形都具有

知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝BCC．∠AOB＝45°D．∠ABC＝90°知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2知识点矩形的边角性质知2－导想一想(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性

质．你能列举一些这样的性质吗？(2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？(3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流．（来自教材）矩形是轴对称图形.北师大版九年级数学上册知2－导已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.

求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的

对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)．∴∠ABC＋∠BCD＝180°.又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.北师大版九年级数学上册归纳知2－导（来自《点拨》）矩形的性质：(1)矩形的四个角都是直角．(2)矩形具有平行四边形的所有性质．(3)矩形是轴对称图形，如图所示，

邻边不相等的矩形有两条对称轴．北师大版九年级数学上册如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是(

)A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOC知2－练（来自《典中点》）1北师大版九年级数学上册如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是(

)A．△AFD≌△DCEB．AF＝

ADC．AB＝AFD．BE＝AD－DF知2－练（来自《典中点》）2北师大版九年级数学上册3知识点矩形的对角线性质知3－导

任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?

已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．

求证：AC=DB．

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．

∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．

∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．

于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.证明：北师大版九年级数学上册矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(

)A．对角相等B．对角线相等C．对边相等D．对角线互相平分知3－练（来自《典中点》）1北师大版九年级数学上册如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(

)

A．4.8B．5C．6D．7.2知3－练（来自《典中点》）2北师大版九年级数学上册知4－导4知识点直角三角形斜边上中线的性质议一议如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？1、结论：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2、请你完成这个定理的证明.3、总结：(1)此性质与“含30°角的直角三角形性质”及“三角形中位线性质”

是解决线段倍分问题的重要依据；(2)“三角形中位线性质”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上

的中线性质”适用于任何直角三角形；“含30°角的直角三角形

性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形；(3)直角三角形还具有以下性质：①两锐角互余；②两直角边的平

方和等于斜边平方．知4－讲例2如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长．

解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD(矩形的对角线互相平分)．∴OA＝OD.∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝(180°－120°)＝30°.又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.知4－讲（来自教材）你还有其他解法吗？1如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为(

)A．14B．16C．17D．18知4－练（来自《典中点》）2如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为(

)A．4B．8C．2D．4知4－练（来自《典中点》）1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩

形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行

四边形所有性质．2．性质归纳：(1)边的性质：对边平行且相等．(2)对角线性质：对角线互相平分且相

等．

(3)对称性：矩形是轴对称图形．1.必做:完成教材P13——P14，T1-T42.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第一章特殊平行四边形

1.2矩形的性质与判定第2课时

矩形的判定北师大版九年级数学上册1课堂讲解由对角线关系判定矩形由直角的个数判定矩形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升北师大版九年级数学上册做一做如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？北师大版九年级数学上册1知识点由对角线关系判定矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.请完成该定理的证明：

知1－讲北师大版九年级数学上册知识点知1－讲例1如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求ABCD是矩形.（来自教材）北师大版九年级数学上册知识点知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．（来自教材）解：北师大版九年级数学上册1如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2下列关于矩形的说法中正确的是(

)

A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册3已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是(

)A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2知识点由直角的个数判定矩形知2－导想一想我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．（来自教材）北师大版九年级数学上册（来自教材）知2－讲例2已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC

的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=∠BAC，∠CAN＝∠CAM.∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)＝×180°＝90°在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．北师大版九年级数学上册1数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是(

)A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否都为直角知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2下列说法：①三角形的三条高一定都在三角形内；②有一个角是直角的四边形是矩形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形；④两边及一角对应相等的两个三角形全等；⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册3议一议你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．知2－练（来自教材）北师大版九年级数学上册1.矩形的判定方法：（1）矩形的判定与性质是互逆定理；（2）判定矩形的常见思路如下：平行四边形四边形矩形对角线互相平分有三个角是直角有一个角是直角对角线相等北师大版九年级数学上册1.必做:完成教材P16T1-T32.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第一章

特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定

的综合应用北师大版九年级数学上册1题型利用矩形的判定和性质解和差问题如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线

上时，其他条件不变．

如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立

吗？若不成立，请说明理由．北师大版九年级数学上册(1)如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，

∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.证明：北师大版九年级数学上册又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.则PE＝PH.∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.即BD＝PE＋PF.北师大版九年级数学上册(2)不成立，PE＝BD＋PF.理由：作BH⊥PF交PF的延长线于点H.

与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.解：北师大版九年级数学上册2．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接

AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：

四边形ABFC为矩形；(2)在(1)的条件下，若△AFD

是等边三角形，且边长为4，

求四边形ABFC的面积．2题型利用矩形的判定和性质解面积问题北师大版九年级数学上册(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.又∵点E为BC的中点，

∴BE＝CE.又∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.证明：北师大版九年级数学上册又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．北师大版九年级数学上册(2)∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.

又∵△AFD是等边三角形，且边长为4，∴CF＝CD＝

＝2.∴AC＝∴S矩形ABFC＝解：北师大版九年级数学上册3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.

求证：四边形AODE是矩形．3题型利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形北师大版九年级数学上册∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.∴四边形AODE是矩形．证明：北师大版九年级数学上册4．如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分别

是AB，CD的中点，判断MN与CD的位置关系，

并说明理由．4题型利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系北师大版九年级数学上册MN⊥CD.理由如下：如图，连接ND，NC.在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，N是AB的中点，∴ND＝

AB.同理可证NC＝

AB.∴ND＝NC.∴△NDC是等腰三角形．

在等腰三角形NDC中，∵M是CD的中点，∴MN⊥CD.解：北师大版九年级数学上册5．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，

我们把一个四边形ABCD

的四边中点E，F，G，

H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边

形吗？5题型利用矩形、菱形的判定探究条件北师大版九年级数学上册小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.点E，F分别是AB，BC的中点EF∥GHEF＝AC点G，H分别是CD，AD的中点GH∥ACGH＝ACEF∥GHEF＝GH四边形EFGH是平行四边形北师大版九年级数学上册参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则

四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱

形？写出结论并说明理由．②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩

形．直接写出结论．北师大版九年级数学上册(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：

连接AC.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝

AC.∵G，H分别是CD，AD的中点，∴GH∥AC,GH＝

AC.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．解：(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．

理由如下：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，当AC＝BD时，FG＝

BD，EF＝

AC，∴FG＝EF.∴四边形EFGH是菱形．②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．

点拨：(2)②中由(1)可知四边形EFGH是平行

四边形，∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.∵G，F分别是CD，BC的中点，∴FG∥BD.∵EF⊥BD，∴EF⊥FG.即∠EFG＝90°.∴四边形EFGH是矩形．6．已知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且

BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P是EC上的一动点，

且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.6题型利用矩形的性质探究动点问题(1)如图①，当点P为线段EC的中点时，求证：PR＋PQ＝(2)如图②，当点P为线段EC上任意一点(不与点E，点C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成

立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(3)如图③，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其

他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？

请直接写出你的猜想．(1)连接BP，作CH⊥BD于点H.∵BE＝BC，点P为CE的中点，∴BP是∠EBC的平分线．∵PR⊥BE，PQ⊥BC，

∴PR＝PQ.在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，

BC＝4，CD＝AB＝3，∴证明：由S△BCD＝

BC·CD＝

BD·CH，得CH＝∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，∴又∵BE＝BC，∴PR＋PQ＝(2)(1)中结论PR＋PQ＝

仍成立．

证明：连接BP，作CH⊥BD于H.∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，∴

又∵BE＝BC，∴PR＋PQ＝CH.而CH＝∴PR＋PQ＝∴(1)中结论成立．(3)猜想：PR－PQ＝解：解：第一章特殊平行四边形

1.3正方形的性质与判定第1课时

正方形及其性质北师大版九年级数学上册1课堂讲解正方形的定义正方形边的性质正方形角的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升北师大版九年级数学上册图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？北师大版九年级数学上册1知识点正方形的定义正方形的定义：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.知1－讲北师大版九年级数学上册1下面四个定义中不正确的是(

)A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的

平行四边形叫做正方形D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(

)A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BC

D．BC＝CD知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2知识点正方形边的性质知2－导议一议(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流．正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形

的所有性质．（来自教材）北师大版九年级数学上册知识点知2－讲正方形的性质：

具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即四条边相等，邻边垂直，对边平行；北师大版九年级数学上册知识点知2－讲例1

如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延

长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？

请说明理由．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，

四个角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.北师大版九年级数学上册知识点知2－讲(2)延长BE交DF于点M(如图)．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.（来自教材）北师大版九年级数学上册知2－讲例2已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交

点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG

交AO于F，求证：EF∥AB.要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝45°，即要证明OE＝OF，而OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．（来自《点拨》）导引：北师大版九年级数学上册知2－讲∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.（来自《点拨》）证明：北师大版九年级数学上册总

结知2－讲通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．（来自《点拨》）北师大版九年级数学上册知识点知2－讲议一议平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．（来自教材）平行四边形矩形菱形正方形解：北师大版九年级数学上册1

正方形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A．四个角都相等

B．四条边相等C．对角线相等

D．对角线互相平分知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2正方形具有而菱形不一定具有的性质是(

)A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直

D．对角相等知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册3如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(

)A．3

B．4

C．5

D．6知2－练（来自《典中点》）3知识点正方形角的性质知3－讲例3

如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．导引：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.知3－讲（来自《点拨》）解：总

结知3－讲

解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．（来自《点拨》）1如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC

上一点，连接EB，ED.(1)求证：△BEC≌△DEC；(2)延长BE交AD于F，当∠BED＝120°时，求∠EFD的度数．知3－练（来自《点拨》）如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD

的中点，若M，N是AD上的两点，连接MO，

NO，并分别延长交边BC于M′，N′两点，则图

中的全等三角形共有(

)A．2对

B．3对

C．4对

D．5对知3－练（来自《典中点》）正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．

1.必做:完成教材P22，T1-T42.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第一章特殊平行四边形

1.3正方形的性质与判定第2课时

正方形的判定北师大版九年级数学上册1课堂讲解正方形的对称性正方形的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升北师大版九年级数学上册如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？北师大版九年级数学上册1知识点正方形的对称性正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.它的中心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条对角线和每组对边中点连线所在直线.知1－讲北师大版九年级数学上册知识点知1－讲（来自《点拨》）导引:北师大版九年级数学上册总

结知1－讲正方形是特殊的平行四边形，正方形关于它的对角线所在直线对称.求两线段和的最小值，往往要通过轴对称的方式将同侧两点转化为异侧两点，通过两点间线段最短求得两线段和的最小值.（来自《点拨》）北师大版九年级数学上册1小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(

)A．1次B．2次C．3次D．4次知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2将五个边长都为2cm的正方形按如图所示方式摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为(

)A．2cm2

B．4cm2C．6cm2

D．8cm2知1－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2知识点正方形的判定议一议满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．知2－导北师大版九年级数学上册知识点知2－讲1.正方形的判定定理：（1）定理1：对角线相等的菱形是正方形.（2）定理2：对角线垂直的矩形是正方形.（3）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.（4）定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形.请你证明以上定理.（来自教材）北师大版九年级数学上册知2－讲2.判定方法：(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是

正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的

平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形

是正方形．(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互

相垂直的矩形是正方形．(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相

等的菱形是正方形．（来自《点拨》）北师大版九年级数学上册知2－讲（来自教材）例2已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平

分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是

正方形．

∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.∴∠EBC＝∠ECB.∴EB＝EC.

证明：北师大版九年级数学上册知2－讲（来自教材）∴

BECF是菱形(菱形的定义)．在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是

正方形)．北师大版九年级数学上册1如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件________，使四边形ABCD是正方形．(填一个即可)知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2关于▱ABCD的叙述，正确的是(

)A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册2在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，则下列三种说法：①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形；②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有(

)A．3个B．2个C．1个D．0个知2－练（来自《典中点》）北师大版九年级数学上册正方形的判定：

平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等一个内角是直角一组邻边相等对角线垂直对角线相等一个内角为直角1.必做:完成教材P25，T1-T42.补充:请完成《典中点》剩余部分习题第一章

特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第3课时正方形的性质与判定

的综合应用北师