配套版第七章第十三章-第十章

排列与组排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫nm个元素的一个排列．排列数的定义n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从nnmAm表示．nnn(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列n1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为Am＝n！

组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)n个不同元素m个元素的一个组合．nnmCmn nn－1n－2…n－m＋1

Am Amnn组合数的性质：①Cm＝Cn－m；②Cm＝Cm＋Cm－1 所有元素完全相同的两个排列为相同排列 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同 1本，则不同的方法共 A．4 B．10 C．18 D．20答 解 方法 不同的方法

A5＝10(种A2方法二2本同样的画册，34244中选出1人画册，其余的集邮册，有C1＝4(种)方法；第二种取法中只需从4位朋友中选取2人画册，其余的集邮册，有C2＝6(种)方法．因此共有443．(2012·大纲)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每 A．12 B．18 C．24 D．36答 3解 先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A3种不同的排法32再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12132324．用数字1、2、3、4、5组成的无重复数字的四位偶数的个数 答 解 分两步2先排个位有A1种排法2424424 答 解 ①有1名224②有2名24∴8＋6＝14(种题型 排列问例 有4名男生、5名，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法思维启迪88 先排甲有6种，其余有A8种， 88A36A6A3·A8＝241920(种)方法

99个人的全排列数有A99及两端的排法总数是 6＝241920(种方法 98898827(2)先排甲、乙，再排其余7人，共有A2·A7＝10080(种)排法．27(3)(插空法先排4名男生有A4种方法，再将5名插空，有A5种方法，故共有A4·A5＝2880(种 思维升华本题集排列多种类型于一题，充分体现了元素分析法(优先考虑特殊元素)、位

0,1,3,5,75解4第一类：0在十位位置上，这时，543331,3,7之一，这一步有A1＝30不能排在万位位置上，所以万位位置上只能排5或1,3,7A1＝3(种A3＝6(种)333 题型 组合问例 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中3(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种恰有2种假货在内，不同的取法有多少种至少有2种假货在内，不同的取法有多少种至多有2种假货在内，不同的取法有多少种思维启 可以从特殊元素出发，考虑直接选取或使用间接法 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C2＝561(种∴56134种可选商品中，选取3C3C3－C2＝C3＝5984(种 ∴598420种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C1C2＝2100(种∴22100

20选取2件假货有C1C23C3C1C2＋C3＝2＋455＝2555(种

20

20 ∴22555选取3件的总数有C3C3－C3＝6545－455＝6090(种∴26090思维升 组合问题常有以下两类题型变化42求：(1)1(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不相同的选法有多少种 (1)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选422C2C1C1＝24(种42244(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C2C2，又甲乙两人所选的两门44C2C2C2－C2＝30(种4题型 排列与组合的综合应用问例 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内恰有1个盒不放球，共有几种放法恰有1个盒内有2个球，共有几种放法恰有2个盒不放球，共有几种放法

4 思维启 把不放球的盒子先拿走，再放球到余下的盒子中并且不空 443231222原理，共有C1C2C1×A2＝144(种)．4432“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放13“12个球”与“1球”1444确定2个空盒有C24

41

42·A2

A A2

41 A2A思维升华排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出(组合)或进行分组，再对将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有 A．12 B．18 C．36 D．54(2)(2013·重庆)3名骨4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 答案(1)B(解

CCA A234343454545分三类：①选1名骨科医生，则有C1(C1C3＋C2C2＋C3C1)＝360(种345454534545②2C2(C1C2＋C2C1)＝210(种34545345③3C3C1C1＝20(种345∴1典例：(5分)2016个一等品，4203那么至少有1个一等品的不同取法 种 易犯错误如下：先从一等品中取1个，有C1种取法；再从余下的19个零件中任取2个，有C2种不同取法，共有C1×C2＝2736种不同取法．上述做法使两次 “”“有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类加法计数原理有C1C2＋C2C1＋C3

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16 方法 考虑其对立事件“3个都是二等品”，用间接法：C3－C3＝1136(种答 1

，温馨提醒(1)排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验，原则、先分组后分配原难则反原则等我们才能有明确的解题方向．同时，(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置

A 专项基础训践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A．12 B．10 C．9 D．8答 解 利用分步乘法计数原理和组合数公式求解24C1＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C2＝6(种)选派方法．242×6＝12(种2．10名同学合影，站成了前排3人，后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，

7 7 7 7答 解 7575：，某台小型由6个组成，演出顺序有如下要求甲必须排两位乙 ：，A．36 B．42 C．48 D．54答 解 分两类，第一类：甲排在第一位时，丙排在最后一位，中间4个条件4有A4种排法；第二类：甲排在第二位时，从甲、乙、丙之外的3个中选1个排4 3433理，知共有433 A．11 B．20 C．21 D．12答 2333解 当第一组开关有一个接通时，电路接通有C1(C1＋C2＋C3)＝14(种)方式2333当第一组开关有两个接通时，电路接通有C2(C1＋C2＋C3)＝7(种)方式14＋7＝21(种)

5．(2012·山东)1643张要求这3张卡片不能是同一种颜色且红色卡片至多1张不同取法的种数为 答 解 利用分类加法计数原理和组合的概念求解41C1C2＝264(种44C3－3C3＝220－12＝208(种4264＋208＝472(种 答 55 可先排C、D、E三人，共A3种排法，剩余A、B两人只有一种排法，由分步乘法计数原理知满足条件的排法共有A3＝60(种)．55同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数 答 4解 将5张参观券分成4堆有2个连号有4种分法每种分法再分给4人各有A444分法，∴4用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的 答 2222解 2222 答 23解 23某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加医疗队，其中(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法 (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C3＝816(种(2)只需从其他18人中选5人即可C5＝8568(种)；2C1C4＋C3＝6936(种2(4)方法 (直接法8888C1C4＋C2C3＋C3C2＋C4C1＝14656(种8888方法 C5－(C5

B

1．(2012)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其 答 3232 当选0时，先从1,3,5中选2个数字有C2种方法，然后从选中的2个数字中选1个排在末位有C1种方法，剩余1个数字排在首位，共有C2C1＝6(种)方法；32323232221,3,52C221个排在末位有C1种方法，其余2个数字全排列，共有C2C1A2＝12(种)方法．323226＋12＝18(个)34 A．2680B．4320C．4920D．5140答 解 先将7盆花全排列共有A7种排法其中3盆兰花排在一条直线上的排法有 3734(种)，故所求摆放方法有A7－5A3A4＝4320(种734 4 34 34 24答 2 放在中间，又油画与国画有A2种放法，再考虑国画与油画本身又可以全排列，故排列22452454．(2013·浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同 答 母这4类计算，再考虑右侧情况．23332345所以共有2(A2·A3＋C1A3·A2＋C2A4＋A5)＝480(种23332345将6位分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴省运会的四个不同 答 1解 先分组再分配，共有654·A4＝1080(种)分配方案2 2某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火 答 44 甲传第一棒，乙传最后一棒，共有A4种方法．乙传第一棒，甲传最后一