考研数学押题讲义高数

高数

xsinxf

f(x)A).D).

𝟏−【例2】当𝒙→𝟎时，下列无穷小中阶最高的𝟏−𝟏𝟏+

𝑒𝒔𝒊𝒏𝒙−𝑒𝑥2−

𝟏−𝒄𝒐𝒔𝒙𝒔𝒊𝒏𝒕𝟐

𝒏+𝟏=lim +𝟏,则 𝒏→∞

𝒇𝒇

=𝟐，且当𝒙→𝟎 =

𝒍𝒏[𝒇𝒍𝒏[𝒇𝒙+𝟐]

=𝟒则𝒙=𝟐是𝒇(𝒙)的

【例6】设f(x)在xa处可导，则

f(x)a3f(a)x33a2f'(a)2f

a2x2 f'(a) f 3a3f'(a)2f3 f'(a) f 【例7】f(x)的f"(x)在x0处连续lim f 1,则x0(ex1)sinf(0)是f(x)极大值，但(0,f(0))f(0)是f(x)极小值，但(0,f(0))f(0)不是f(x)极值，但(0,f(0))f(0)不是f(x)极值，但(0,f(0))下图，令函数𝐲=𝒇(𝒙)的驻点的个数为𝒍,极值点的个数为曲线𝐲=𝒇(𝒙)的拐点个数为n，则（ 𝒍=𝒎=𝒏=C)𝒍=

𝒍=𝒎=𝒏𝒍= ,x

f(x)(x x

, 1C.0

x【例10】设函数𝒇(𝒙𝒚)在点(0,0) 𝒇𝒙,𝒚−(𝑥+𝒚)=𝟏则𝒇𝒙,𝒚在点(0,0) （连

Ii

x2y2dxdy(i1,23)其中Dx2y21Dx1)2y21Dx2y1)21}，则III1 I1I2I2I3I2I3I3I2I1=

1 d0rdr I2

2 2

r2dr3

2cos3d (𝒙−𝒂)𝒏在𝒙=−𝟐处条件收敛， ∞

𝒏2(𝒙−𝒂)𝒏在𝒙=𝒍𝒏𝟏处 C)

】【例若 𝒂收敛，则

(−𝟏)𝒏𝒂若正项级数 𝒂满足𝒂𝒏+𝟏<𝟏(n=12,…), 𝒂𝒏

若

=𝒍≠𝟎

𝒖𝒏与

𝒗同敛散𝒏→∞

若𝒂𝒏≤𝒃𝒏≤𝒄𝒏(n=1,2,…)且 𝒂𝒏与 𝒄𝒏都 敛，则 𝒃𝒏收敛 A) B) D)

n2n2n2n2nn2n2

)n2n2n2n2

(x1)2(x

ff(x)

x3(x

,则11f2

dx

f(x)为非负连续函数，且f(x)xf(xt)dtsin4x求f(x)在[0,]上的平均 1cosx,x

f(x)

x

连续，则f"(01【例5】yy(x)由x2y'yx2ex0及y(10确定，则yy(x)1y'

yexy(x)ex(1klimy1,blim(ykx)0，yx 3x22x3,x y

1,1),(0,

y''2y'yex通解为(CCx)ex1

F

xysin 2，y)

1t2dt,

|x0F(x,2)(2xsintdt)'2sin 2sin2xlim1

1t 1 x【例9 则R(p)pdR1pplnp,dlnR1plnp11ln lnR(p)lnR(1)p(11lnt)dtlnpplnplnp1 【例10u x2y2z2的div(gradu) x2y2x2y2z2是xyz

求其关于z轴的转动惯量为3 I (x2y2)ds (x2y2z2)ds4 3 均匀半球面：z R2x2y2的质心为(0,0,z),则z12只要计算zdS,dS 1z'2z'2dxdy

zdS

x2y2

dxdyR3,z

R2x2yR2x2y

(axby)2dV4(a2b2)x2

z2 曲面zez2xy3在(120)处的切平面方程为2xy4Fzez2xy3在(1,20)处F4F2F 故4(x1)2y20.即2xy4y2uy2

)在点,0,1）处沿点

指向B(3,2,

的方向导数为2 |AB12

0,

uucosucosucos 6u2xyz2,则u在点(2,-1,1)处的方向导数的最大值是6最大值是梯度的模(2)242(2)2426已知(xay)dxydy是全微分表达式:a2(xy)2(xay) y(x x(x

af(x)x2,0x1,S(x)

bsinnxxR其中b

，求S(1)1n1

S(x)是对f(x)在(1,0)上作奇延拓后展开 级数，则S(1)(1)2

(𝟏+𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙

求和的值

=𝒂𝒂≠𝟎

(1sin2x2)x2

左端=e2limln(1sin2x

2

sin2

ln(1sin2x)2

sin2x o(sin2x)e2lim e2e2

ln(1sin2x2)

a

sin2 n2,ae2lim 2e24xcos e2lim1sin

2

(ncos2x21sin an2 n2,a【例2】设𝒇(𝒙)为连续函数且lim𝒙𝒇𝒙−𝒍𝒏(𝟏+𝒙)=𝟐,𝑭 𝒙𝒕𝒇𝒙−𝒕𝒅𝒕,又当𝒙→𝟎

𝟏𝒙𝟐与𝒃𝒙𝒌是等价无穷小量，其中常数𝒃≠𝟎,𝒌是正整数II证明𝒇(𝒙)在𝒙=𝟎可导，并求kb44f'(0)limf(x)f(0)limf 1 𝒙𝟐+𝒇𝟐 =𝟏, (𝒙𝒙𝟐+𝒇𝟐lim𝒇(𝒙)存在且不超过𝟏𝝅 f(x)f(1)

f'(x)dxx x1xx

1x2f21x2 dx x2 【例5】设𝒇(𝒙)在[𝟎𝟏]上连续，在开区间(0,1𝒇 =𝟎 𝝅

𝒇(𝒙𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙𝒅𝒙=𝟏则至少存在一点𝜺∈(𝟎𝟏),𝟏+𝜺𝟐𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝜺∙ =【解】结论可变为𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝜺

=

=𝝅

𝒇(𝒙𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙𝒅𝒙=𝟏𝑒𝒇(𝒂)𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒂∙𝟐= 𝟐,𝒂∈(𝟎,即𝑒𝒇(𝒂)𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒂=𝝅，又𝑭 =𝑒𝒇(𝟏)𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝟏= 从而𝑭 =𝑭𝟏,原命题成【例6】设函数𝒇(𝒙)在[𝟎上连续，且𝟏𝒇𝒙𝒅𝒙𝟏,

𝒇(𝒙)=𝟎证明至少存在一点𝝃∈(𝟎，使得

+

𝟐 证：做辅助函数F(x)f(xx,则1F(x)dx1[f(x)x]dx1f(x)dx1 1所以由积分中值定理，存在a[0,1],使0F(x)dx(10)F(a)0,即F(alimF(x)limf(xx01 所以由极限保号性，存在baF(b)0,即F(b)b【例7】设𝒇(𝒙)在[0,1]上连续,(0,1)内可导，且𝒇𝟎𝒇 >𝟎,𝒇证明：至少存在一点𝝃∈(𝟎,𝟏),使得𝒇′ =

, 𝒇𝒙𝒅𝒙=,令F(xe2f(x),由积分中值定理可知存在c(0,1存f(1)f(c) f(1)0,f(0)由连续函数的零点定理知存在a(0,c)b(c,1),f(a)f(b)即F(a)F(b),由罗尔定理可知存在ab使F'( e2f'()e2f() 【例8】设𝒇(𝒙)在[𝒂,𝒃]上连续，在(𝒂,𝒃)内可导(𝒂>𝟎),且𝒇 =𝒇 =𝟏(证明：存在𝝃𝜼∈(𝒂𝒃),使得𝜼𝒏−𝟏=𝒇(

+𝝃𝒇′ 日定理的可知，存在(a,b),bnf(b)anf(a)b

f

f由于f(a)f(b)1,bnanb

f

f 日定理的存在(a,b), f(x)g(x)在[a,b]上连续，且g(c)g(a)1，在(a,b)内f(x)g(x)可导且g(xg'(x)0,f'(x)0证：,(a,b

f'()f

【例10】f(x)在(aa)上连续，在x0处可导，且f'(0

f(t)dt f(t)dtx[f(x)f(f(x)在[0,1]②当f(x)在(0,1)内可导且满足(1xf'(x)2f(x)时，①中的

b（2）f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导且f(a)f(b)0,b证明：①i(ab)(i=1,2),使得f()=f(i②(ab)，使得f"(3f'(2f(

f(x)dxx21tanx21tan2x02 dx,f(x)x0xu,y

,z

将x2z'y2zz2代换成w(uv)1 1 uww(u, 1 z v

1 (1xw)x[wx(wuwv

1x2wz u v (1 (1z(1xv)2 (1xw)2 u4w 𝟐𝒙+𝟏𝟐𝒚𝒅𝒙 𝟏𝟐𝒙+𝟒𝒚𝒅𝒚,且𝒛𝟎, =𝟎，求函数𝒛=𝒛(𝒙,𝒚)在𝟒𝒙𝟐+𝒚𝟐≤𝟐𝟓上的最大值令 12x4y(F4x2+y225 则

=0,解=2，=-

34),3

4

1 【例14】𝜕𝒇=𝟏,𝜕𝒇=𝟏,𝜕𝒇=−𝟏,𝒇𝟏,𝟏, =𝟏,𝒇(𝒙,𝒚,𝒛)的定义域 D:𝑥2+𝒚𝟐+𝒛𝟐≤𝟑则𝟕≤𝒇(𝒙𝒚𝒛)≤f1,f(x,y,z)x(y, f(x,y,z)xyfg'(z)g(z)z从而f(xyzxyzf(x,y,z)xyz

因为z10所以f(xyz)在x2y2z2内没有极f(x,yz)最大最小值一定在D的边界x2y2z23上取得作函数F(x,yz,xyz10(x2y2z23)

x1 x2

,y11y2 z 'x2y2z230 设f(xyz)xyz10xyz10k与x2y2z23相切时，k于是球心（0,0,0）到xyz10k的距离为k7k13,于是7f13

3 ，3 3设𝒇(𝒙,𝒚)有二阶连续导数，𝒈𝒙, =𝒇(𝒆𝒙𝒚,𝒙𝟐+𝒚𝟐),𝒇𝒙,𝒚𝒇𝒙,𝒚

=𝟎证明𝒈𝒙𝒚在(0,0)取得极值，判断此极值是极大值还是极小值，并求出此极值(x1)2由limf(xyx(x1)2(x1)2f(xy(x1y(x1)2gx'f1'exyyf2'g'f'exyxf'2 gx'(0,0)gy'(0,0) "f"exyy "2xexyyf"exyy2( "exyy "2x)2 "f"exyxf"2yexyyf"(exyxyexy)( "exyx gy2"f11"exyxf12"2yexyyf1"exyx2(f21"exyxf22"2y)2y2f2Ag2"(0,0)2f'(1,0) Bgxy"(0,0)f1'(1,0)Cgy2"(0,0)2f2'(1,0)ACB230且A故gx,y在(0,0)取得极值，且g(0,0)f(10)0是极大2xxy①x2yb)2a20ab)绕x轴一周所2xxy②D{0x2Vxa2

y 4x2}分别求D绕x轴与y轴旋转一周而成的体积 和①定理：面积S其体积等于S与这面积的重心所划 ②Vx0 4x) 2xx)]dx2 2yV2[2 4x2dx2 2xx2dx]16y 当|X|充分小时，有0tan2xx2nXtan

12...)，求nk

n

(1n(1n

n2

n2

证：由于

tan2xx2

2所以在点x=0的充分小去心邻域内有3

tan2xx2所以x2tan2xx2 𝒇𝒙,𝒚𝒅𝝈,其中𝑫:𝒙𝟐+𝒚𝟐𝒙+𝟐𝒙𝟐𝒚,𝟎≤𝒙+𝟐𝒙𝟐𝒚,𝟎≤𝒙≤𝒂,|𝒚|≤ a030cos4a 8I242求𝑰(𝒂);

𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟏−𝒄𝒐𝒔DI(a)

dy

1 aln(11 aln(1a2x y(x)1x2x0y(t)y'(t)dt20ty(t)yxy'(x)120y(t)yy"(x2y(ty'(t且y(0)1y'(0)令pypdp2 py2C,即yy2CC0.从而y y

x

故y(x)

1某厂制造某种电器，固定成本为 万元，每生产一件产品成本增加 万元30x1x2,0x总收益万元）是月产量x(件)的函数R(x)

x并且总纳税金T(万元)是的函数T(x)

0x9001%

1

x求该厂月产量x为多大时总利润最大，并求最大总利润总成本函数C(x0.8x

29x