基于MALAB优化工具箱的优化计算

第9章

基于MATLAB优化工具箱

的优化计算9.1MATLAB优化工具箱一、常用的优化功能函数求解线性规划问题的主要函数是linprog。求解二次规划问题的主要函数是quadprog。求解无约束非线性规划问题的主要函数是fminbnd、fminunc和fminsearch。求解约束非线性规划问题的主要函数是fgoalattain和fminimax。1、线性规划数学模型数学模型形式：minfTXs.t.AX≤b（线性不等式约束条件）AeqX=beq（线性等式约束条件）lb≤X≤ub（边界约束条件）常用的简化模型：minfTXs.t.AX≤b（线性不等式约束条件）数学模型形式：

s.t.AX≤b（线性不等式约束条件）AeqX=beq（线性等式约束条件）lb≤X≤ub（边界约束条件）2、二次规划问题数学模型二次函数目标函数1.数学模型形式：minf（X）s.t.AX≤b（线性不等式约束）AeqX=beq（线性等式约束）C(X)≤0（非线性不等式约束条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）Lb≤X≤Ub（边界约束条件）约束条件3、无约束非线性规划

数学模型形式：

minf（X）

例1：求解二维无约束优化问题f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2+6)的极小值。例2：求解二维无约束优化问题min例13求在0<x<8中的最小值与最大值数学模型形式：minf（X）（函数为f(x)非线性函数）s.t.AX≤b（线性不等式约束）AeqX=beq（线性等式约束）C(X)≤0（非线性不等式约束条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）Lb≤X≤Ub（边界约束条件）约束条件4.约束线性规划3.1matlab优化函数二、一般步骤建立目标函数文件针对具体工程问题建立优化设计的数学模型不等式约束条件表示成g(X)≥0的形式建立调用优化工具函数的命令文件文件内容：必须的输入参数、描述标函数表达式等存储：以自定义的目标函数文件名存储在文件夹中建立约束函数文件文件内容：必须的输入参数、约束函数表达式等存储：以自定义的约束函数文件名存储在文件夹中将优化设计的命令文件复制到MATLAB命令窗口中进行运算求解。分析优化设计的数学模型，选择适用的优化工具函数文件内容：初始点，设计变量的边界约束条件，运算结果输出等内容存储：以自定义的命令文件名存储于文件夹中。小例：求求解二维维无约束束优化问问题min解：首先先编制目目标函数数functionf=li3mubiao_fminunc(x)a=64516;hd=pi/180;f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd);注意：保保存时，，要使保保存的文文件名与与函数名名一致再编制主主函数x0=[25;45];[x,fminunc]=fminunc(@li3mubiao_fminunc,x0)保存后运运行得到到优化结结果：x=192.995860.0005fminunc=668.56569.2线线性规规划问题题一、线性规划划数学模型1.主要应用用对象：（1）在有限限的资源条件件下完成最多多的任务；（2）如何统统筹任务以使使用最少资源源。2.数学模型型形式：minfTXs.t.AX≤b（（线性不等式约束条条件）AeqX=beq（（线性等式约束条件件）lb≤X≤≤ub（（边界约束条条件）约束条件决策变量目标函数非负数线性3.MATLAB中函数数调用格式[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)最优解最优值目标函数各维维变量系数向向量初始点可选项二、例题生产规划问题题：某厂利用用a,b,c三种原料生生产A,B,C三种产品品，已知生产产每种产品在在消耗原料方方面的各项指指标和单位产产品的利润，，以及可利用用的数量，试试制定适当的的生产规划使使得该工厂的的总利润最大大。→x1→x2→x32x14x23x33x14x22x32x1x1x23x22x32x3≤≤≤++++++++3.确定约束束条件：X=[x1,x2,x3]T4.编制线性性规划计算的的M文件f=[2,4,3]’A=[3,4,2;2,1,2;1,3,2];b=[600;400;800];Aeq=[];beq=[];lb=zeros(3,1);[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)二、例题解：1.确定决策策变量：max2x1+4x2+3x33x1+4x2+2x3≤6002x1+x2+2x3≤400x1+3x2+2x3≤800设生产A、B、C三种产产品的数量分分别是x1,x2,x3，决策变量：：根据三种单位位产品的利润润情况，按照照实现总的利利润最大化，，建立关于决决策变量的函函数：2.建立目标标函数：根据三种资料料数量限制，，建立三个线线性不等式约约束条件5.M文件运运行结果：Optimizationterminatedsuccessfully.xopt=0.000066.6667166.6667fopt=-766.6667x1,x2,x3≥0[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)---Linprog函数使用用的拓展求解线性规划划线性规划是一一种优化方法法，Matlab优化工具箱中中有现成函数数linprog对如下下式描述的LP问题求解解：解:编写M文文件小xxgh1.m如如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];b=[850;700;100;900];Aeq=[];beq=[];vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)解:编写写M文件xxgh2.m如下：c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)9.3二二次规划问题题1.研究意义义：（1）最简单单的非线性规规划问题；（2）求解方方法比较成熟熟。2.数学模型型形式：s.t.AX≤b（（线性性不等等式式约约束束条条件件））AeqX=beq（（线性性等式式约约束束条条件件））lb≤≤X≤≤ub（（边边界界约约束束条条件件））一、、二二次次规规划划问问题题数数学学模模型型约束束条条件件决策策变变量量目标标函函数数二次次函函数数3.MATLAB中中函函数数调调用用格格式式[xopt,fopt]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)最优优解解最优优值值目标标函函数数的的海海赛赛矩矩阵阵初始始点点可选选项项目标标函函数数的的一一次次项项系系数数向向量量结果果xopt=[2.571,1.143,0.000]fopt=-16.4898二、、例例题题求解解约约束束优优化化问问题题s.t.解：：(1)将将目目标标函函数数写写成成二二次次函函数数的的形形式式，其其中中：：[xopt,fopt]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)(2)编编写写求求解解二二次次规规划划的的M文文件件：：H=[4,-2,0;-2,4,0;0,0,2];C=[0,0,1];A=[1,3,2];b=[6];Aeq=[2,-1,1];beq=[4];lb=zeros(3,1);[xopt,fopt]=quadprig(H,C,A,b,Aeq,beq,lb)例2minf(x1,x2)=-2x1-6x2+x1^2-2x1*x2+2*x2^2s.t.x1+x2≤≤2-x1+2x2≤2x1≥≥0,x2≥≥01、写写成标标准形形式：：s.t2、输入命命令：H=[2-2;-24];c=[-2;-6];A=[11;-12];b=[2;2];Aeq=[];beq=[];VLB=[0;0];VUB=[];[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)3、运算结结果为：x=0.66671.3333z=-8.2222程序：：编写M文件件mainG.m如如下：：H=[1-1;-12];f=[-2;-6];A=[11;-12];b=[2;2];Aeq=[];beq=[];lb=[0;0];ub=[];[X,fval,exitflag]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)结果：：X=0.66671.3333fval=-8.2222exitflag=1程序：：编写M文件件mainG.m如如下：：H=[2-2;-24];f=[-4;-12];A=[11;-12;21];b=[2;2;3];lb=zeros(2,1);[x,fval,exitflag]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)结果：：x=0.66671.3333fval=-16.4444exitflag=19.4无无约束束非线线性规规划问问题无约束束非线线性规规划问问题的的MATLAB函数数有fminbnd要求目目标函函数为为连续续函数数只求解解单变变量问问题fminunc可求解解单变变量和和多变变量问问题适用于于简单单优化化问题题可求解解复杂杂优化化问题题fminsearch三个函函数：：fminbnd,fminunc,fminsearch.三三个个都是是解无无约束束非线线性规规划问问题三者有有相同同点与与不同同点：：（1））Fminbnd是是解解单变变量无无约束束非线线性规规划问问题Fminunc和fminsearch可可用于于求解解单变变量或或多变变量的的无约约束非非线性性规划划问题题（2））fminbnd和和fminunc要要求目目标函函数为为连续续函数数（3））fminbnd和和fminsearch的优优化算算法比比较简简单，，适用用于比比较简简单无无约束束非线线性规规划问问题，，函数数fminunc的的优化化算法法较复复杂，，适用用于求求解比比较复复杂的的优化化问题题（4））这三三个函函数只只能输输出局局部最最优解解1.使使用格格式：：[xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2,options)9.4.1函数数fminbnd设置优优化选选项参参数迭代搜搜索区区间目标函函数返回目目标函函数的的最优优值返回目目标函函数的的最优优解2.例例题：：求解一一维无无约束束优化化问题题f(x)=(x3+cosx+xlogx/ex)在区间间[0,1]中中的极极小值值。解：(1)编制制求解解优化化问题题的M文件件。%求解解一维维优化化问题题fun=inline(‘(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)’’,‘‘x’’);%目标函数数x1=0;x2=1;%搜索索区间[xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2)(2)编编制一维维函数图图形的M文件。。ezplot(fun,[0,10])title('(x^3+cosx+xlogx)/e^x')gridon9.4.1函数数fminbnd运行结果果：xopt=0.5223fopt=0.39743.2简简单实例例例1、函数fminbnd实实例：求解一维维无约束束优化问问题f(x)=(x+1)(x-2)^2在区间间[0，，1]中中的极小小值。解：编制制求解的的M文件件fun=inline('(x+1)*(x-2)^2','x')x1=0;x2=1;[xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2)优化的结结果：xopt=0.9999fopt=2.00021.使用用格式：：[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0,options)9.4.2函数数fminsearch设置优化化选项参参数初始点目标函数数返回目标标函数的的最优值值返回目标标函数的的最优解解2.例题题：求解二维维无约束束优化问问题f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2+6)的的极小值值。解：(1)编编制求解解二维无无约束优优化问题题的M文文件。%求解二二维优化化问题fun='x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6';x0=[0,0];%初始点点[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0)(2)讨讨论。将目标函函数写成成函数文文件的形形式：%目标函函数文件件search.mfunctionf=search(x)f=x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6;则命令文文件变为为：%命令文文件名称称为eg9_4.mx0=[0,0];%初始点点[xopt,fopt]=fminsearch(@search,x0)9.4.2函数数fminsearch运行结果果：xopt=1.00002.0000fopt=4.0000fun='x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6'x0=[0,0];[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0)优化结果果xopt=1.00002.0000fopt=4.0000讨论：目目标文件件的表达达方式：：f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2+6)（1）字字符串表表示fun=‘x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6’调用:[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0);（2）内内联函数数表示fun=inline(‘x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6’’,’x’)调用:[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0);（3）函函数句柄柄@表示示fun=@(x)x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6调用:[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0);（4）M文件表表示（目目标函数数比较复复杂时需需要用M文件进进行表示示）functionf=fun(x)f=x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6调用:[xopt,fopt]=fminsearch(‘fun’’,x0);或或[xopt,fopt]=fminsearch(@fun,x0);1.使用用格式：：[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(@fun,x0,options,P1,P2…)9.4.3函数数fminunc设置优化化选项参参数初始点调用目标标函数的的函数文文件名目标函数数在最优优解的海海色矩阵阵返回目标标函数在在最优解解的梯度度优化算法法信息的的一个数数据结构构返回算法法的终止止标志返回目标标函数的的最优值值返回目标标函数的的最优解解附加参数数matlab解解多元函函数无约约束优化化问题fminsearch是用单单纯形法法寻优.fminunc的算法法见以下下几点说说明：使用fminunc和和fminsearch可可能会得得到局部部最优解解.[3]fminunc为中型型优化算算法的步步长一维维搜索提提供了两两种算法法，由options中参参数LineSearchType控制：：LineSearchType=’’quadcubic’(缺缺省值)，混合的二二次和三三次多项项式插值值；LineSearchType=’cubicpoly’’，三次次多项式式插值说明:[1]fminunc为无约约束优化化提供了了大型优优化和中中型优化化算法。。由options中的的参数LargeScale控制：：LargeScale=’on’(默认值值),使使用大型型算法LargeScale=’off’’(默认认值),使用中中型算法法[2]fminunc为中型型优化算算法的搜搜索方向向提供了了3种算算法，由options中中的参数数HessUpdate控制制：HessUpdate=’bfgs’（默默认值）），拟牛牛顿法的的BFGS公式式；HessUpdate=’dfp’’，拟牛牛顿法的的DFP公式；；HessUpdate=’steepdesc’，最速下下降法例1minf(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*ex11、编写M-文件fun.m:functionf=fun(x)f=exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);2、输入M文文件wliti.m如下下:x0=[-1,1];x=fminunc(‘‘fun’,x0);y=fun(x)3、运行结果果:x=0.5000-1.0000y=1.3029e-10用fminsearch函数求解输入命令:f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.22])运行结果:x=1.00001.0000fval=1.9151e-010exitflag=1output=iterations:108funcCount:202algorithm:'Nelder-Meadsimplexdirectsearch'4.用fminunc函数数(1)建立M-文件fun2.mfunctionf=fun2(x)f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2(2)简单计计算[x,fval,exitflag,output]=fminunc('fun2',[-1.22])(3)比较各各种算法主程程序compare.m基本假设1．价格与销销量成线性关关系2．成本与产产量成负指数数关系模型建立若根据大量的的统计数据,求出系数b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20,r2=100,λλ2=0.02,c2=30,则问题转化为无无约束优化问问题：求甲,乙两个牌号号的产量x1，x2，使总利润z最大大.为简化模型,先忽略成本本,并令a12=0,a21=0,问题转转化为求:z1=(b1-a11x1)x1+(b2-a22x2)x2的极值.显显然其解为x1=b1/2a11=50,x2=b2/2a22=70,我们把它作为为原问题的初初始值.总利润为：z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2模型求解1.建立M-文件fun.m:functionf=fun(x)y1=((100-x(1)-0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);y2=((280-0.2*x(1)-2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);f=-y1-y2;2.输入命令令:x0=[50,70];x=fminunc(‘‘fun’,x0),z=fun(x)3.计算结果果:x=23.9025,62.4977,z=6.4135e+003即甲的产量为为23.9025,乙的的产量为62.4977,最大利润润为6413.5.9.5约束束非线性规划划问题1.数学模模型形式：minf（X）s.t.AX≤b（（线性不等式约束））AeqX=beq（（线性等式约束）C(X)≤0（非线性不等式约束条条件）Ceq(X)=0（非线性等式约束）Lb≤X≤≤Ub（（边界约束条条件）约束条件2.使用格式式：[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)设置优化选项项参数初始点调用目标函数数的函数文件件名目标函数在最最优解的海色色矩阵返回目标函数数在最优解的的梯度优化算法信息息的一个数据据结构返回算法的终终止标志返回目标函数数的最优值返回目标函数数的最优解附加参数非线性约束条条件的函数名名设计变量的下下界和上界线性等式约束束的常数向量量线性等式约束束的系数矩阵阵线性不等式约约束的常数向向量线性不等式约约束的系数矩矩阵无定义时以空空矩阵符号“[]”代替说明：fmincon求多变变量有约束非非线性函数的的最小值。该该函数常用于于有约束非线线性优化问题题。x=fmincon(fun,x0,A,b)给定定初值x0，，求解fun函数的最小小值点x。fun函数的的约束条件为为A*x<=b，x0可可以是标量、、向量或矩阵阵。x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)最小化fun函数，，约束条件为为A*x<=b和Aeq*x=beq。若若没有不等式式存在，则设设置A=[]，b=[]。x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)定义设设计变量x的的下界lb和和上界ub，，使得lb<=x<=ub。若无无等式存在，，则令Aeq=[]，beq=[]。x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)在在上面的基基础上，在nonlcon参数中提提供非线性不不等式c(x)或等式式ceq(x)。fmincon函数要求c(x)<=0且ceq(x)=0。。当无边界存存在时，令lb=[]和（或或）ub=[]。。·nonlcon参数该参数计算非非线性不等式式约束c(x)<=0和非线性等等式约束ceq(x)=0。。nonlcon参数是是一个包含函函数名的字符符串。该函数数可以是M文文件、内部文文件或MEX文件。它要要求输入一个个向量x，返返回两个变量量——解x处处的非线性不不等式向量c和非线性等等式向量ceq。例如，，若nonlcon=‘mycon’，则则M文件mycon.m具有下面的的形式：function[c,ceq]=mycon(x)c=…%计计算x处的非非线性不等式式ceq=……%计计算x处的非非线性等式两个约束条件件都是线性的的，在Matlab中实实现：>>x0=[10;10;10];>>A=[-1-2-2;122];>>b=[0;72];>>[x,fval]=fmincon('-x(1)*x(2)*x(3)',x0,A,b)x=24.000012.000012.0000fval=-3456线性不等式约约束条件的值值<=0>>A*x-bans=-720x=5.00005.00005.0000fval=-125.0000exitflag=1output=iterations:7funcCount:38stepsize:1algorithm:'medium-scale:SQP,Quasi-Newton,line-search'firstorderopt:[]cgiterations:[]问题的解解为x(1)=x(2)=x(3)=5.0000m，，最大体体积为125.0000m3。exitflag=1，表表示过程程成功收收敛于解解x处。。output输出变变量显示示了收敛敛过程中中的迭代代次数、、目标函函数计算算次数、、步长、、算法等等信息。。x=0.65890.8682fval=-6.6131问题的解解为x(1)=0.6589，x(2)=0.8682，最小小值为-6.6131。解：约束条件件是线性性约束。。在Matlab中实实现：>>x0=0;>>A=-1;>>b=-2;>>[x,fval]=fmincon('1/3*(x-1)^3',x0,A,b)x=2fval=0.33339.6多多目标标优化问问题9.6.1函函数fgoalattainminvs.t.fi(X)-wiv≤goalii=1,2,…,tAX≤b（（线性不不等式约约束）AeqX=beq（（线线性等式式约束））C(X)≤0（（非线线性不等等式约束束条件））Ceq(X)=0（（非线线性等式式约束））Lb≤≤X≤≤Ub（（边边界约束束条件））一、多目目标优化化问题数数学模型型标量变量量各分目标标函数分目标函函数的权权重各分目标标函数的的目标值值二、优化化函数使使用格式式[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)设置优化化选项参参数各分目标标权重各分目标标期望值值目标函数数在最优优解的海海色矩阵阵返回目标标函数在在最优解解的梯度度优化算法法信息的的一个数数据结构构返回算法法的终止止标志返回目标标函数的的最优值值返回目标标函数的的最优解解附加参数数非线性约约束条件件的函数数名设计变量量的下界界和上界界线性等式式约束的的常数向向量线性等式式约束的的系数矩矩阵线性不等等式约束束的常数数向量线性不等等式约束束的系数数矩阵无定义时时以空矩矩阵符号“[]””代替9.6.1函函数fgoalattain初始点目标函数数文件名名格式：x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,...)x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)说明：fgoalattain求求解多目目标达到到问题。。x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight)试试图通过过变化x来使目目标函数数fun达到goal指定的的目标。。初值为为x0，，weight参数指指定权重重。x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b)求求解目目标达到到问题，，约束条条件为线线性不等等式A*x<=b。x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq)求求解目标标达到问问题，除除提供上上面的线线性不等等式外，，还提供供线性等等式Aeq*x=beq。当没没有不等等式存在在时，设设置A=[]和b=[]。x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub)为为设计变变量x定定义下界界lb和和上界ub集合合，这样样始终有有lb<=x<=ub。x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)将目目标达到到问题归归结为nonlcon参数定定义的非非线性不不等式c(x)或非非线性等等式ceq(x)。。fgoalattain优优化的约约束条件件为c(x)<=0和和ceq(x)=0。若若不存在在边界，，设置lb=[]和和（或或）ub=[]。x=fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)用options中设置置的优化参参数进行最最小化。x=fgoala