向量组的秩剖析课件

第1页第三节向量组的秩第1页第三节向量组的秩第2页向量组线性表出具有传递性第2页向量组线性表出具有传递性第3页向量组的等价向量组等价意味着可以相互表示No.需要什么条件?第3页向量组的等价No.向量组的等价关系

反身性

对称性

传递性第4页向量组的等价关系

反身性

对称性

传递性第4页第5页向量组的极大线性无关组与向量组的秩第5页向量组的极大线性无关组与向量组的秩第6页向量组的极大线性无关组与向量组的秩没有多余的第6页向量组的极大线性无关组与向量组的秩没有多余的第7页向量组的极大线性无关组与向量组的秩和原向量组等价第7页向量组的极大线性无关组与向量组的秩和原向量组等价第8页向量组的极大线性无关组与向量组的秩两个条件缺一不可第8页向量组的极大线性无关组与向量组的秩两个条件缺一不可第9页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些向量出来,始终保持线性无关的性质,所需要向量的最大个数第9页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些向第10页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些向量出来,始终保持线性相关的性质,所需要向量的最少个数,然后减去1第10页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些第11页向量组的极大线性无关组与向量组的秩什么样的向量组没有极大线性无关组只含有0向量的向量组第11页向量组的极大线性无关组与向量组的秩什么样的向量组没有第12页向量组的极大线性无关组一定与向量组本身等价由向量组等价的传递性,向量组的两个不同的极大线性无关组之间是等价的.与原向量组等价的线性无关的向量组第12页向量组的极大线性无关组一定与向量组本身等价与原向量组第13页第13页第14页第14页第15页由已知条件s>t齐次方程组Ax=0中未知数比方程组多,必有非0解第15页由已知条件s>t齐次方程组Ax=0中未知数比方程组多第16页逆否命题反证法第16页逆否命题第17页推论1：两个线性无关的等价的向量组所含的向量的个数必定相等。推论2：一个向量组若有两个极大线性无关组，那么他们所含的向量的个数相等。没有极大线性无关组第17页推论1：两个线性无关的等价的向量组所含的向量的个数必第18页第18页第19页关于向量组的秩的有关结论(好记,常用)第19页关于向量组的秩的有关结论(好记,常用)第20页向量组的秩与矩阵的秩的关系定义：矩阵的行秩与列秩定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

(证明给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法)第20页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩第21页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

找到一个3级子式非0这个3级子式对应的3个行向量线性无关,3个列向量也线性无关第21页向量组的秩与矩阵的秩的关系找到一个3级子式非0这个3理清上述过程,给出求极大线性无关组的方法向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

第22页我们得到这3个向量,线性无关,且所有向量都可被它们线性表示,他们构成列的极大线性无关组理清上述过程,给出求极大线性无关组的方法向量组的秩与矩阵的第23页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

(给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法1)

1.初等变换得到矩阵的秩为r

2.在矩阵中找到一个r级子式不等于0

3.这个r级子式对应的行(列),是行(列)向量组的极大线性无关组第23页向量组的秩与矩阵的秩的关系第24页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

(给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法2)

1.将向量组按列摆放为一个矩阵(如果是列向量,直接按列摆放,如果是行向量,则先转置成列向量,再摆放)

2.对矩阵只做行变换化为规范的阶梯形矩阵

3.所得矩阵中,非0行数目就是矩阵的秩,也就是向量组的秩

4.非0行中第一非0元素1,所对应的列,放在一起形成极大线性无关组,且容易得到其他向量的表示系数第24页向量组的秩与矩阵的秩的关系第25页第25页第26页非0行的数目=矩阵的秩=向量组的秩第26页非0行的数目=矩阵的秩=向量组的秩第27页挑选规范行阶梯阵中非0行第一个非0元素1对应的列,构成极大线性无关组第27页挑选规范行阶梯阵中非0行第一个非0元素1对应的列,构第28页其他向量的表示系数可以直接由规范的行阶梯阵得到第28页其他向量的表示系数可以直接由规范的行阶梯阵得到第29页回忆第29页回忆第30页r(A)=0意味着A=0,从而向量组β1,β2,…都是0向量,从而秩也为0第30页r(A)=0意味着A=0,从而向量组β1,β2,…第31页不妨设A的前r列是A的列向量组的极大线性无关,所以A=(B,C),这里B是前r列组成的矩阵那么后面r列,可以由前面r列线性表示,意味着存在矩阵D，使得C=BD,故A=(B,BD)第31页不妨设A的前r列是A的列向量组的极大线性无关,所以A第32页得到表达式说明向量组β1,β2,…,βm可以由向量组β1,β2,…,βr线性表示.下面需要说明β1,β2,…,βr线性无关反证:设β1,β2,…,βr线性相关,将导致方程组Bx=0有非0解,从而B的列向量组是线性相关的,这与B的列是A的极大线性无关组矛盾.第32页得到表达式说明向量组β1,β2,…,βm可以由向量组这说明矩阵AB的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示向量组I可由向量组II线性表示,那么组I的秩小于或等于组II的秩第33页这说明矩阵AB的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示向量组I第34页这说明矩阵AB的行向量组可由矩阵B的行向量组线性表示第34页这说明矩阵AB的行向量组可由矩阵B的行向量组线性表示第35页第35页第36页利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系讨论矩阵的秩(也可用矩阵秩的定义讨论)第36页利用矩阵的秩与向量组的秩之间的关系讨论矩阵的秩(也可第37页第37页第38页第38页第39页第39页第40页作业习题三:第14、15、17、19、21、22题第40页作业习题三:第14、15、17、19、21、第41页Thankyouforyourattention!第41页Thankyou第42页第三节向量组的秩第1页第三节向量组的秩第43页向量组线性表出具有传递性第2页向量组线性表出具有传递性第44页向量组的等价向量组等价意味着可以相互表示No.需要什么条件?第3页向量组的等价No.向量组的等价关系

反身性

对称性

传递性第45页向量组的等价关系

反身性

对称性

传递性第4页第46页向量组的极大线性无关组与向量组的秩第5页向量组的极大线性无关组与向量组的秩第47页向量组的极大线性无关组与向量组的秩没有多余的第6页向量组的极大线性无关组与向量组的秩没有多余的第48页向量组的极大线性无关组与向量组的秩和原向量组等价第7页向量组的极大线性无关组与向量组的秩和原向量组等价第49页向量组的极大线性无关组与向量组的秩两个条件缺一不可第8页向量组的极大线性无关组与向量组的秩两个条件缺一不可第50页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些向量出来,始终保持线性无关的性质,所需要向量的最大个数第9页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些向第51页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些向量出来,始终保持线性相关的性质,所需要向量的最少个数,然后减去1第10页向量组的极大线性无关组与向量组的秩在向量组中挑选一些第52页向量组的极大线性无关组与向量组的秩什么样的向量组没有极大线性无关组只含有0向量的向量组第11页向量组的极大线性无关组与向量组的秩什么样的向量组没有第53页向量组的极大线性无关组一定与向量组本身等价由向量组等价的传递性,向量组的两个不同的极大线性无关组之间是等价的.与原向量组等价的线性无关的向量组第12页向量组的极大线性无关组一定与向量组本身等价与原向量组第54页第13页第55页第14页第56页由已知条件s>t齐次方程组Ax=0中未知数比方程组多,必有非0解第15页由已知条件s>t齐次方程组Ax=0中未知数比方程组多第57页逆否命题反证法第16页逆否命题第58页推论1：两个线性无关的等价的向量组所含的向量的个数必定相等。推论2：一个向量组若有两个极大线性无关组，那么他们所含的向量的个数相等。没有极大线性无关组第17页推论1：两个线性无关的等价的向量组所含的向量的个数必第59页第18页第60页关于向量组的秩的有关结论(好记,常用)第19页关于向量组的秩的有关结论(好记,常用)第61页向量组的秩与矩阵的秩的关系定义：矩阵的行秩与列秩定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

(证明给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法)第20页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩第62页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

找到一个3级子式非0这个3级子式对应的3个行向量线性无关,3个列向量也线性无关第21页向量组的秩与矩阵的秩的关系找到一个3级子式非0这个3理清上述过程,给出求极大线性无关组的方法向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

第63页我们得到这3个向量,线性无关,且所有向量都可被它们线性表示,他们构成列的极大线性无关组理清上述过程,给出求极大线性无关组的方法向量组的秩与矩阵的第64页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

(给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法1)

1.初等变换得到矩阵的秩为r

2.在矩阵中找到一个r级子式不等于0

3.这个r级子式对应的行(列),是行(列)向量组的极大线性无关组第23页向量组的秩与矩阵的秩的关系第65页向量组的秩与矩阵的秩的关系定理：矩阵的秩=矩阵的列秩=矩阵的行秩

(给出求向量组的秩和极大线性无关组的方法2)

1.将向量组按列摆放为一个矩阵(如果是列向量,直接按列摆放,如果是行向量,则先转置成列向量,再摆放)

2.对矩阵只做行变换化为规范的阶梯形矩阵

3.所得矩阵中,非0行数目就是矩阵的秩,也就是向量组的秩

4.非0行中第一非0元素1,所对应的列,放在一起形成极大线性无关组,且容易得到其他向量的表示系数第24页向量组的秩与矩阵的秩的关系第66页第25页第67页非0行的数目=矩阵的秩=向量组的秩第26页非0行的数目=矩阵的秩=向量组的秩第68页挑选规范行阶梯阵中非0行第一个非0元素1对应的列,构成极大线性无关组第27页挑选规范行阶梯阵中非0行第一个非0元素1对应的列,构第69页其他向量的表示系数可以直接由规范的行阶梯阵得到第28页其他向量的表示系数可以直接由规范的行阶梯阵得到第70页回忆第29页回忆第71页r(A)=0意味着A=0,从而向量组β1,β2,…都是0向量,从而秩也为0第30页r(A)=0意味着A=0,从而向量组β1,β2,…第72页不妨设A的前r列是A的列向量组的极大线性无关,所以A=(B,C),这里B是前r列组成的矩阵那么后面r列,可以由前面r列线性表示,意味着存在矩阵D，使得C=BD,故A=(B,BD)第31页不妨设A的前r列是A的列向量组的极大线性无关,所以A第73页得到表达式说明向量组β1,β2,…,