高二下 期中考数学试卷（教师卷）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page1616页，共=sectionpages1616页高二下学期期中考数学试卷第I卷（选择题）一、单选题1．已知全集，，，则（

）A． B． C． D．【详解】由已知可得，所以，.故选：D.2．已知复数z满足（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．【详解】解：设故故选：A3．已知向量，，且，则（

）A．2 B．-2 C． D．【详解】由题意，．故选：A．4．命题“存在实数，使”的否定是（

）A．不存在实数，使 B．存在实数，使C．对任意的实数x，都有 D．对任意的实数x，都有【详解】由已知，命题“存在实数，使”为特称命题，其否定为全称命题，即“对任意的实数x，都有”.故选：C.5．的展开式中的系数是（

）A．10 B． C． D．【详解】二项式的通项公式为：，令，所以的展开式中的系数是，故选：D6．函数的最小正周期和最大值分别是（

）A．和2 B．和 C．和 D．和2【详解】因为，所以函数的最小正周期为；又，所以所以函数的最大值为.故选：C.7．3名男生和3名女生排成一排，男生不相邻的排法有（

）．A．144种 B．90种 C．260种 D．120种【详解】由3名男生不相邻知，应该先把3名女生排好，有种排法，再让3个男生去插空，在3名女生形成的4个空中插入3个男生，共有种排法，根据分步乘法计数原理，知总共有种排法；故选：A．8．正项等比数列满足，，则的前7项和(

)A．256 B．254 C．252 D．126【详解】设正项等比数列公比为q，且q＞0，∵，，∴，即，即，则q＝2，∴.故选：B.9．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数a的值为（

）A． B． C． D．【详解】由，得，则曲线在点处切线的斜率，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，所以．故选：D．10．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于，则此双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．4【详解】由题可知渐近线方程，即，故焦点到渐近线的距离，∴.，即，解得.故选：C.11．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的表面上，若球心到平面的距离为1，则球的表面积为（

）A． B． C． D．【详解】由题意可知，如图：是面积为的等边三角形，，又是外接圆圆心又球的表面积为:故选：C.12．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【详解】由题意，函数的定义域为，其满足，所以函数为奇函数，且，所以函数为上的增函数，若对恒成立，则对恒成立，即对恒成立，即对恒成立，设，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在单调递减，所以，所以，即实数的取值范围为.故选：A.第II卷（非选择题）二、填空题13．某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为______．【详解】设该校高二学生人数为x，则，解得x＝950．故答案为：950．14．已知函数，求___________【详解】解：，故答案为：215．已知，直线，且，则的最小值为_____________【详解】因为，所以，即.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：816．已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有________.①函数在上单调递增；②是函数的周期；③函数的值域为；④函数在内有4个零点.【详解】∵函数，定义域为R，，∴为偶函数.当时，，，，此时正弦函数为增函数，故①正确；∵，∴，而，∴不是函数的周期，故②错误；当或，k∈Z时，，此时，当，k∈Z时，，此时，故时，是函数的一个周期，故考虑时，函数的值域，当时，，，此时单调递增，当时，，，此时单调递减，；当时，，，此时，综上可知，，故③正确；由③知，时，，且函数单调递增，故存在一个零点，当时，，且函数单调递减，故存在一个零点，其他区域无零点，故当时，函数有2个零点，∵函数为偶函数，∴函数在内有4个零点.故④正确；故答案为：①③④.三、解答题17．（10分）在△中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，（1）求角A.（2）求△的面积.【详解】（1）由，得，∴，，可得.（2）.18．（12分）2021年7月24日中华人民共和国教育部正式发布《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，简称“双减”政策.某校为了解该校小学生在“双减”政策下课外活动的时间，随机抽查了40名小学生，统计了他们参加课外活动的时间，并绘制了如下的频率分布直方图.如图所示.(1)由频率分布直方图估计该组数据的中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)由频率分布直方图可认为：课外活动时间t（分钟）服从正态分布，其中为课外活动时间的平均数.用频率估计概率，在该校随机抽取5名学生，记课外活动时间在内的人数为X，求X的数学期望（精确到0.1）.参考数据：当X服从正态分布时，，，.(1)由图可知该组数据中位数位于第四组，设中位数为x，则，解得，平均数为：；(2)，，，，，由题意知：19．（12分）（教学楼）如图，四棱锥P—ABCD的底面为正方形，E为棱PD的中点，PA⊥平面ABCD，且PA＝2AB．(1)证明：PB∥平面ACE．(2)求直线PC与平面ACE所成角的正弦值．(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE，则OE是△PBD的中位线．因为OEPB，且平面ACE，平面ACE，所以PB平面ACE．(2)解：因为AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，所以AB，AD，AP两两互相垂直．以A为坐标原点，以，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则A（0，0，0），C（2，2，0），P（0，0，4），E（0，1，2），所以，，．设平面ACE的法向量为，则令x＝2，得，所以，故直线PC与平面ACE所成角的正弦值为．19（12分）．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面是棱的中点.(1)证明：平面；(2)若，且为棱上一点，与平面所成角的大小为，求的值.(1)证明：如图，连接交于点，连接，因为是的中点，是的中点，所以又平面，平面，所以平面(2)解：因为，所以，所以，故以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为，则，即，故取，设，则因为直线与平面所成角的大小为，所以，即解得，故此时.20（12分）．从6名男生和4名女生中随机选出3名同学参加一项竞技测试．(1)求选出的3名同学中至少有1名女生的概率；(2)设表示选出的3名同学中男生的人数，求的分布列．(1)解：由题意可知，选出的3名同学全是男生的概率为，所以选出的3名同学中至少有1名女生的概率；(2)解：根据题意，的可能取值为，则，，，所以的分布列为：21．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且成等比数列.（1）求的通项公式；（2）求数列的前n项和.【详解】（1）因为数列是公差为2的等差数列，且成等比数列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.21（12分）（雪堂）．设数列是各项为正数的等比数列，是和的等差中项．(1)求数列的公比；(2)若，令求数列的前项和．（1）设数列的公比为，由题得：，即，，∴(2)，，，两式相减：∴22（12分）．设函数.(1)求函数的单调区间；(2)若关于的方程有三个不等实根，求实数的取值范围.(1)由已知可得：，令，即，解得，，所以当或时，，当时，.所以的单调递增区间为，；单调递减区间为.(2)由（1）可知的图象的大致走势及走向，如图所示，又，，所以当时，直线与函数的图象有三个不同的交点，方程有三个不等实根.22（12分）（雪堂）．已知函数，函数．(1)求的单调区间；(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围．(1)由题意可得的定义域为，且．①当时，由，得；由，得．故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．