专题14 存在性-平行四边形（解析版）

中考数学压轴题--二次函数--存在性问题第14节平行四边形的存在性方法点拨平行四边形ABCD，O为对角线AC与BD的交点，则O的坐标为（）或者（）解题方法：（1）选一定点，再将这一定点与另外点的连线作为对角线，分类讨论；（2）利用中点坐标公式列方程计算例题演练1．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣5与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的二次函数解析式：（2）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；（3）如图2，点H是直线BC下方抛物线上的动点，连接BH，CH．当△BCH的面积最大时，求点H的坐标．【解答】解：（1）∵y过A（﹣1，0），B（5，0）把A（﹣1，0），B（5，0）代入抛物线y＝ax2+bx﹣5得，解得y＝x2﹣4x﹣5；（2）当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），设P（m，m2﹣4m﹣5），Q（n，0），①BC为对角线，则xQ﹣xC＝xB﹣xP，yQ﹣yC＝yB﹣yP，解得，（舍去），∴P（4，﹣5），②CP为对角线，则xQ﹣xC＝xP﹣xB，yQ﹣yC＝yP﹣yB，解得或，∴P（2+，5）或（2﹣，5），综上P（4，﹣5）或（2﹣，5）或（2+，5）；第三种，CQ为对角线不合要求，舍去；（3）过H作HD∥y轴交BC于D，∴S△BCH＝S△CDH+S△BDH＝HD（xH﹣xC）+HD（xB﹣xH）＝HD（xB﹣xC）＝HD，设BC：y＝kx+b1，∵BC过B、C点，代入得，，，∴y＝x﹣5，设H（h，h2﹣4h﹣5），D（h，h﹣5），S△BCH＝HD＝×[h﹣5﹣（h2﹣4h﹣5）]＝﹣（h﹣）2+，∴当h＝时，H（，﹣）时，S△BCHmax＝．2．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B，且与x轴交于点C，连接BC．（1）求b、c的值；（2）点P为线段AC上一动点（不与A、C重合），过点P作直线PD∥AB，交BC于点D，连接PB，设PC＝n，△PBD的面积为S，求S关于n的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；（3）在（2）的条件下，当S最大时，点M在抛物线上，在直线PD上，是否存在点Q，使以M、Q、P、B为顶点为四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）对于，令＝0，解得x＝﹣3，令x＝0，则y＝，故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（0，），将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，即b＝﹣，c＝；（2）由（1）知，抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+，由点A、C的坐标知，AC＝5，∵PD∥AB，则△ABC∽△PBC，∴，即，解得yD＝，则S＝S△PCB﹣S△PCD＝×PC×（yB﹣yD）＝×（﹣）×n＝﹣n2+n（0＜n＜5）；（3）由S＝﹣n2+n知，当n＝时，S最大，此时点P的坐标为（﹣，0），由点P、D的坐标得，直线PD的表达式为y＝x+，设点M坐标为（m，n），则n＝﹣m2﹣m+①，设点Q的坐标为（x，x+），①当PB是边时，则点B向左平移个单位向下平移个单位得到点P，同样点M向左平移个单位向下平移个单位得到点Q，即m﹣＝x且n﹣＝x+②，联立①②并解得x＝﹣（不合题意的值已舍去），故点Q的坐标为（﹣，﹣）；②当PB是对角线时，由中点坐标公式得：（0﹣）＝（x+m）且（0+）＝（n+x+）③，联立①③并解得x＝（不合题意的值已舍去），故点Q的坐标为（，）．综上，点Q的坐标为（，）或（﹣，﹣）．3．如图，抛物线与y轴交于点A（0，1），过点A的直线与抛物线交于另一点B（3，），过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是x轴正半轴上的一动点，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m．①当点P在线段OC上（不与点O、C重合）时，试用含m的代数式表示线段PM的长度；②如果以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求m的值．【解答】解：（1）∵抛物线经过A（0，1）和点B，∴，∴解得：，∴．∴该抛物线表达式为．（2）①由题意可得：直线AB的解析式为，∵PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，OP＝m，∴P（m，0），，∴．②由题意可得：，MN∥BC，∴当MN＝BC时，四边形BCMN为平行四边形．1°当点P在线段OC上时，，又∵BC＝，∴．得m1＝1，m2＝2．2°当点P在线段OC的延长线上时，．∴，解得（不合题意，舍去），．综上所述，当m的值为1或2或时，以点M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形．4．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），点C在抛物线上，且直线AC与x轴形成的夹角为45°．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P为直线AC上方抛物线上的动点，求点P到直线AC距离的最大值；（3）将满足（2）中到直线AC距离最大时的点P，向下平移4个单位长度得到点Q，将原抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），M为平移后抛物线上的动点，N为平移后抛物线对称轴上的动点，是否存在点M，使得以点C，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（﹣2，0），B（5，0），∴y＝﹣（x+2）（x﹣5），∴y＝﹣x2+3x+10，（2）作PH⊥AC于H，PD∥y轴交AC于D点，交x轴于E，∵∠CAB＝45°，∴∠PDH＝45°，∴PD＝，设P（m，﹣m2+3m+10），则E（m，0），∴AE＝m+2，∴DE＝m+2，∴PD＝﹣m2+3m+10﹣（m+2）＝﹣m2+2m+8，当m＝1时，PD最大为9，∴PH的最大值为，即P到AC的最大距离为，（3）由（2）知：P（1，12），∴Q（1，8），∵直线AC：y＝x+2与抛物线y＝﹣（x+2）（x﹣5）交点C坐标为（4，6），抛物线y＝﹣（x+2）（x﹣5）向右平移2个单位后解析式为：y＝﹣x（x﹣7）＝﹣x2+7x，∴对称轴为：直线x＝，当CQ为边时，如图，若C（4，6）平移到N，Q（1，8）平移到M，则M的横坐标为，将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，∴，当CQ为边时，若C（4，6）平移到M，Q（1，8）平移到N，则M的横坐标为，将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，∴，当CQ为对角线时，可看作C平移到N，M平移到Q，∴M的横坐标为，将x＝代入平移后解析式：y＝﹣x2+7x得，y＝，∴，综上所述：或M（）或M（）．5．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，A（﹣2，0），B（4，0），在对称轴右侧的抛物线上有一动点D，连接BD，BC，CD．（Ⅰ）求抛物线的函数表达式；（Ⅱ）若点D在x轴的下方，设点D的横坐标为t，过点D作DE垂直于x轴，交BC于点F，用含有t的式子表示DF的长，并写出t的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当△CBD的面积是时，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣6得：得，解得：，∴抛物线的函数表达式为：；（Ⅱ）抛物线的对称轴为直线x＝1，C（0，﹣6），设直线BC的解析式为y＝kx+m，把B（4，0），C（0，﹣6）代入可得：'解得，∴直线BC的函数表达式为：，有，则，∴，其中1＜t＜4；（Ⅲ），化简得，解得t1＝1（舍去），t2＝3，∴，①如图2，当MB∥ND，且MB＝ND时，四边形BDNM即为平行四边形，此时MB＝ND＝4，点M与点O重合，四边形BDNM即为平行四边形，∴由对称性可知N点横坐标为﹣1，将x＝﹣1代入，解得．∴此时，四边形BDNM即为平行四边形；②如图3，当MN∥BD，且MN＝BD时，四边形BDMN为平行四边形，过点N做NP⊥x轴，过点D做DF⊥x轴，由题意可得NP＝DF，∴此时N点纵坐标为，将y＝代入，得，解得：，∴此时或，四边形BDMN为平行四边形，综上所述，或或．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，其图象与直线y＝x+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为x0，当x0为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝，∴对称轴x＝﹣＝＝，∴b＝，又∵直线y＝x+2与y轴交于C，∴C（0，2），∵C点在抛物线上，∴c＝2，即抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）∵点P的横坐标为x0，且在抛物线上，∴P（x0，+x0+2），∵F在直线y＝x+2上，∴F（x0，x0+2），∵PF∥CO，∴当PF＝CO时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，①当0＜x0＜3时，PF＝（+x0+2）﹣（x0+2）＝﹣+3x0，∵OC＝2，∴﹣+3x0＝2，解得x01＝1，x02＝2，即当x0＝1或2时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，②当x0≥3时，PF＝（x0+2）﹣（+x0+2＝﹣3x0，∵OC＝2，∴﹣3x0＝2，解得x03＝，x04＝（舍去），即当x0＝时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形，综上当x0＝1或2或时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形．7．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为x＝﹣1，已知经过A、C两点直线解析式为y＝﹣3x+3．（1）求此抛物线的解析式；（2）连接BC，点P在抛物线上且在直线BC的上方，过点P作y轴的平行线交BC于点Q，过点P作AC的平行线交BC于点K，求出使△PQK的周长最大的值及此时点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，将抛物线向左平移一定距离使平移后的抛物线经过点P，在直线PK上有一动点M，点N在平移后的抛物线上，以B、Q、M、N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）对于y＝﹣3x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝1，故点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，3），由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，∵PQ∥y轴，PK∥AC，BC为定直线，∴在运动的过程中∠QPK和∠PQK都不变，∴所有△PQK都相似，故PQ最大值，△PQK的周长就取得最大值，设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3），则点Q的坐标为（t，t+3），则PQ＝（﹣t2﹣2t+3）﹣（t+3）＝﹣（t+）2+≤，故PQ在t＝﹣时，取得最大值为，此时点P的坐标为（﹣，），则点Q的坐标为（﹣，），∵PK∥AC，故设直线PK的表达式为y＝﹣3x+r，将点P的坐标代入上式得：＝﹣3×（﹣）+r，解得r＝﹣，故直线PK的表达式为y＝﹣3x﹣①，由点B、C的坐标，同理可得BC的表达式为y＝x+3②，联立①②并解得，故点K的坐标为（﹣，），则QK＝＝，同理可得：PK＝，故△PQK的周长最大的值为++＝；（3）能，理由：∵平移的距离为2×[﹣1﹣（﹣）]＝1，∴平移后的抛物线表达式为y﹣（x+1）2﹣2（x+1）+3＝﹣x2﹣4x，设点N的坐标为（n，﹣n2﹣4n），∵PK的表达式为y＝﹣3x﹣，故设点M（m，﹣3m﹣），①当BQ为对角线时，则由中点坐标公式得，解得m＝﹣4±，故点M的坐标为（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，+）；②当BQ为边时，则MN∥BQ，MN＝BQ，则解得m＝1±，故点M的坐标为（1+，﹣﹣3）或（1﹣，﹣+3）．综上，点M的坐标为（﹣4+，﹣）或（﹣4﹣，+）或（1+，﹣﹣3）或（1﹣，﹣+3）．8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A，B两点（A在B左侧），交y轴于点C，且OC＝OB＝3，对称轴l交抛物线于点D，交x轴于点G．（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）如图2，过点C作CH⊥DG于H，在射线HG上有一动点M（不与H重合），连接MC，将MC绕M点顺时针旋转90°得线段MN，连接DN，在点M的运动过程中，是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；（3）如图3，将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移后交直线l于点E，交原抛物线于点Q且点Q在第一象限，过点Q作QP⊥x轴于点P，设点Q的横坐标为m，问：在原抛物线y＝﹣x2+bx+c上是否存在点F，使得以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由OC＝OB＝3知，点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，3），将点C、B的坐标代入抛物线的表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3＝（x﹣1）2+4①，故顶点的坐标为（1，4）；（2）是定值，理由：过点N作NK⊥GD于点K，设点M的坐标为（1，m），∵∠CMH+∠NMK＝90°，∠NMK+∠MNK＝90°，∴∠CMH＝∠MNK，∵∠MHC＝∠NKM＝90°，MC＝MN，∴△MHC≌△NKM（AAS），∴KN＝MH＝3﹣m，HM＝CH＝1，故点N的坐标为（4﹣m，m+1），由点ND的坐标得：ND＝＝（3﹣m），而HM＝3﹣m，∴＝为定值；（3）设抛物线向右平移了t（t＞0）的单位，则平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣t）2+2（x﹣t）+3②，联立①②并解得，即PQ＝﹣t2+4，∴点Q的坐标为（t+1，﹣t2+4），则m＝t+1①当PQ为边时，如题干图3，∵点F在原抛物线上，故点F只能和点D重合，即点F（1，4），当x＝1时，y＝﹣（x﹣t）2+2（x﹣t）+3＝﹣t2+4，即点E的只能为（1，﹣t2+4），则FE＝4﹣（﹣t2+4）＝t2，当以P，Q，E，F为顶点的四边形是平行四边形，则DE＝PQ，即t2＝﹣t2+4，解得t＝（负值已舍去），故m＝t+1＝+1；②当PQ是对角线时，设点F的坐标为（p，q），则q＝﹣p2+2p+3，由中点坐标公式得：（p+1）＝（t+1+t+1）且（﹣t2+4）＝（q+1），解得，即t2＝﹣（t+1）2+2（t+1）+3，解得t＝（负值已舍去），故m＝1+，综上，m＝+1或1+．9．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，P为线段AB上一动点，将射线PB绕P逆时针方向旋转45°后与函数图象交于点Q．（1）求二次函数y＝ax2+bx+4的表达式；（2）当P在二次函数对称轴上时，求此时PQ的长；（3）求线段PQ的最大值；（4）抛物线对称轴上是否存在D，使P、Q、B、D四点能构成平行四边形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+4，得，解得，∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2+3x+4．（2）如图1，作QE⊥x轴于点E，作直线y＝x+1交y轴于点F，则F（0，1），且该直线过点A（﹣1，0），∵OA＝OF，∠AOF＝90°，∴∠OAF＝∠BPQ＝45°，∴PQ∥AF，设直线PQ的解析式为直线y＝x+c，由A（﹣1，0），B（4，0）得，抛物线的对称轴为直线x＝，当点P落在直线x＝上，则P（，0），∴+c＝0，解得c＝，∴y＝x，由，得，（不符合题意，舍去），∴PQ＝EQ＝×＝．（3）如图2，当﹣1≤x≤4时，EQ的长随x的增大而减小．∴当点P与点A（﹣1，0）重合时，EQ的长最大，PQ的长也最大，此时直线PQ的解析式为y＝x+1，由，得，（不符合题意，舍去），此时EQ＝4，PQ＝EQ＝4，∴PQ的最大值为4．（4）存在．如图3，PQ为以P、Q、B、D四点为顶点的四边形的一边，则BD∥PQ．∴∠GBD＝45°，设直线x＝交x轴于点G，∵∠BGD＝90°，∴DG＝BG•tan45°＝BG＝4＝，此时BD＝DG＝，在抛物线上一定存在点Q，其纵坐标为，作QE⊥x轴于点E，在x轴上取点P，使PE＝QE，则∠BPQ＝45°，且PQ＝，∴四边形PQBD是平行四边形，此时D（，）；如图4，DQ∥PB，