飞行目标多雷达探测及攻击问题

飞行目标的多探测及问现代化中，在攻防两端都起到重要作用，已被广泛使用的多探测方式有效提高了飞行物的定位精度，并为的高效性提供保障。本文讨论了多基最小二乘法建立定位模型精确定位飞行物坐标；并以此为基础建立微分方程模型，用Runge-Kutta算法求解，得到击毁敌机时速度、敌机速度、敌机飞行高度与题设中N,M的关系，最后通过 仿真直观体现了追踪追击敌机的轨迹。针对问题一，为计算最少所需数，本文建立三球交会定位模型，并基于空间定位时，考虑到距离误差和自身坐标误差为相互独立且分别满足正态分布，比较距离误差与坐标误差对定位精度产生的影响，本文在模型扩展中建立了“距离和、针对问题二，本文根据测量数据所得超定方建立三球交会定位模型，运用最小二乘法求解时发现甲、丙存在数据干扰项，且乙组任意三个探测球面均不产生交点。对甲、丙数据，任意取三个方联立求解，首先选出实数解，后以3为置信区间剔除38组干扰数据，用最小二乘法得甲坐标(11013,57,13118)，丙坐标的数值，将已确定的y,z坐标代入乙组各球面方程，得到两组x坐标的解集，选取其中标准差较小的一组并加以分析，得乙坐标(50753,0,13118)。根据定位算法的数据分析提高定位精度给出增加数量和增加分布的散度与无序性的建议。针对问题三，根据追踪的特性和各飞行物的初始状态建立微分方程模型。首真。多重验证下可分别得到一般情况及理想化情况下能够成功击毁飞机乙的条件。乙被击毁的坐标位置为(100000.00,59305.309),飞行时间t174.27秒。针对问题四，通过分解速度，将此问题分解为两个过程：在平面xoy上追击飞机过程和在竖直方向追击飞机乙过程。对上述两个过程建立微分方程模问题背定位方法是基于多基的测量方法。每个都可以测量自身的坐标(xi,yi,zi)以及它到飞行物距离ri(i1,2,,n)，其中n为的总数。通过一组位置坐标和飞行物标和飞行物到各的距离都存在测量误差，于是需要选取合适的方法对飞行物精确现我防空指挥部多部发现有一架来路不明的飞机乙（第二组数据）,经确认为敌机后即命令正处于同一高度的我方飞机甲（第一组数据）发射型空对空追踪导弹将其击毁（追踪可针对目标随时自动调节追踪方向。假定发现敌机时，NM。目标任在实际情况中，往往需要使用的进行飞行物的精确定位，请设计一种定问题一，根据基定位飞行物方，建立三球交会定位模型，讨论不同数目时的情况。由于距离误差和自身坐标误差为相互独立且分别满足的正态分布，列出相关表达式，给两种误差对定位精度分别产生的影响，并比较两种影响。模型。将速度分解为两个分速度，即问题分解为两个过程，并分别建模求解。最身位置的纵坐标zi0(i1,2,n。有有着同等大小的误差。距离误差和坐标误差分别服从正态分布N(0,2)和N(0,2)，且假 1）测量所得自身坐标(xi,yi,zi)，到目标飞行物的距离riSx,y,zN(0,2)N(0,2)，,t

乙机的速度为V，其初始位置为N,0)M在Ⅰ型追踪速度为U，Ⅱ型追踪速度为Q问题模型1设数目为n，其中第i个的自身位置为(xi,yi,zi)由假设可知zi=0），且测得飞行物距离为ri(i1,2,,n)S(x,y,z)为作为自变量(z0)xyz三个未知量的方程如下：(xx)2(yy)2(z0)2r2)(xx (yy1)2(z0)2 2)r (xx

0)2n2(yy2

对于第i个方程(xx)2yy)2z0)2r2，其中i1,2,n 像为以(xi,yi,0)为球心，ri为半径，且在平面xoy上方的半球面Ri，如图1所示图1第i个探测半球n=1时 仅将定位飞形物在半球面R1上，解S(x,y,z)不唯一图3n=2时，方函数图像为R1R2，由于飞行物客观存在，所以两半一段圆弧，如图3所示，解S(x,y,z)不唯图3图2两探测半球面相即为飞行物坐标S(x,y,z)，如图5所示。n=1或n=2时，方中方程个数小于未知量个数，无法得到S(x,y,z)唯一解

y

1(r2r2)(x2x2)(y2y2 x3 y3y1 2(r2r2)(x2x2)(y2y2) 1图4三探测半球面球心共 图5三探测半球面球心不共xy有解，得系数矩阵的行列式不为0(x2x1y2y1(x3x1y3y10。设三个半球心分别为Ax1y1Bx2y2，Cx3,y3，由上式，有向量与向量的叉积不为0，即A、B、C不共线，得证。结论：至少需要三个才能确定飞行物坐标S(x,y,z)，且这三个不能共线模型2zi0。又由方(11)xyxxi对定位精度的影响

22

x1

x2

x3

y1

y2

y3

函数关系标准偏差传递公Ns(N) X~N,2i1,2,ncc,c[1]是不全0常数 2ciXi~Ncii,cii 由目标飞行物坐标与各变量间的传递关系可以看出，测量自身到飞行物距离等性，即可看作相互独立的随量，因此，我们可用将在上述理论依据的前提下分进一步做出假设：测量所得自身坐标为精确值，即xi0,yi0,zi0zi0又根据r1,r2,r3的对称性和性，在此仅分析r1对目标飞行物定位精度的影响。为进一步求解x,y,z与r1的关系，令方（1）中的y1y2并通过1、2两式相 xr12r2(x2x 2x2x1则

t由题设中r1~t x~N0,

x2

t响越大，定位越确。进一步做出假设 测量自身到目标飞行物的距离为精确值，即ri0；xi,yi,zi的对称性与性可假 yi0,zi0又根据x1,x2,x3的对称性与性，在此仅分析x1对目标飞行物定位精度的 xr12r2(x2x 2x2x1则

x1

12x1x 222由题设中x1~N0,2r r2r rx~N0, 2xx r 程度。实际情况中，考虑到在测量目标飞行物到自身的距离时目标飞行物在不停地移动，信号时间的客观存在会使得距离误差较大，即信号到达前与返回时飞机 K根据 221/2（其中，K为比例系数对相同的距离误差和坐标误差来说K 距离误差对定位精度影响越大，定位越确。问题模型1对于 的方程相减得新的：2( 第i个的x,y坐标和探测得距飞机的距离。令Ai2x2xi，Bi2y12yiCR2R2x2x2y2y2，(i2，3n)，上方可表示为 AxBy (2

A1 B1 C1A B2 C2 2A

B

C 问题二模型(21)是一个超定方，通过软件中直接求解超定方的命令或用最小二乘法可求得飞机最优的x,y坐标，并将此x,y坐标带回方将每z(n z (n 根据上述分析，通过对超定方求最小二乘解，得到甲的位置坐标为(11178,103,13093),飞机丙的坐标位置为(35687,88599,54326)。但将这两个解代入方作简单的模型检验时，发现误差较大。且按照此定位算法计算乙的坐标只能得1.对飞机甲所求的坐标进行检验。在所给的30组数据中，任意抽取3组，由上述模2x,y,z将所解得数据和上述解得坐标进行比对。得到结果如表2所示。器自身误差等影响，所测的个别数据中可能会有很大的误差，从而导致对飞xyz8组与2013组与2213组与292.21(xy，可得到C29406406解为无穷的点舍去。在剩下的点中，分别对x和y求出标准差和平均值ave，以2F((xx)2(yy)2 其中mF的极小值，Fxy求偏导数，并令偏导数为0，即可求解出x,y。383std1121821023。利用中的meanxy求平均值得avex11042，avey40。当且仅当点满足(31avexx31avex和(32aveyy32avey时，将x11013,y57z13118。丙组数据的数据量较少，最初有C255x,y52xyz甲丙xyz甲丙按照上述定位算法求解乙的坐标时，发现由乙组数据得到的方任意两个方程之间没有实根，从几何意义上分析，即以各个为半球心，以测量距离为半径的半球没有交点。通过将随机选出的画出其测量区域球，如图6所示。图6随机选择所得的探测半由于的测量域近似为同心球，两两球面之间没有交点，故求不出实根。根据y0z13118两个平面与球面相交可以得到两个点，此时注意到，近似的同心x中两组数据的标准差将不相同，所以求其解Ri2z2(yyi(xx)2(yy)Ri2z2(yyi 显然位于x正半轴的数据标准偏差小。n2F((xxi2对比表3与表4的数据，发现两组数据差别较大，所以，就x,y而言，甲、丙所有解出的(xy89从横坐标上看更靠近1.1105x11013y57更可靠。对于丙组数据，数据点的趋势从纵坐标上看更靠近1.0105，修正模型中所求的解y91507更可靠。而横坐标由于数据点太少，点的分布太分散不容易判断。(xxi)2(yyi)2z 将解得数据代入(xx)2(yy)2z2R(xxi)2(yyi)2z 图8甲组数据的横纵坐标分 图9丙组数据的横纵坐标分iR2 iiR'2 i尽量不要让分布在一条直线上。问题模型1：微分方程模以防空指挥部为原点坐标，正东为x轴正向，正北为y轴正向，建立平面直角坐标系，将所有飞行物垂直投影在所建立的坐标面上。发射时，位置为此时甲机的位置x1,y1,速度为U，飞机乙位置为N,0，速度为V。将和飞机乙视作运动的质点。在时刻t，飞机乙的位置为N,Vt，设位置为x,y，行驶总路程为s，因为追踪可针对目标随时自动调节追踪方向，所以的速度方向随时指向飞机乙，有：dyVt

N

(3 将(31)x求导，并利用弧长sx1 dxdyd1 dxdy Nx Nxds Nx令V/U，并 d2

2dy1dy

Ny,

dx

(3yyx

1

x

N式(32)便是I型追击飞机乙的数学模型首先，对式(3 因此将二阶微分方程降解并用分离变量法求解，代入追击系统的各个已知数据，得到击毁飞机乙的坐标位置和追击所需时间。然后利用 编程对式(32) 分析知，走过的路程大于飞机乙走过的路程，所以若速度U小于或等于飞机乙速度V时，不会飞机乙。因此，V/U1。pdydxdpdxd2ydx2可将(32)化简为一阶微分方程。令/ppdydxy(x1y1，得： 11(N (N y2 C11 C2 (3

yNx q1 1 (N

110其中V/U，qp0 ，则得到模型最终的解析解(310当xN时，追上飞机乙，由式(33),得此时yC2。由于飞机乙的初始纵里处有安全区，则能够成功击毁飞机乙的条件为：C2 (3C由式(33)py/Nx）q

VU10 10将问题进一步理想化，若发射瞬间飞机甲恰好在防空指挥部上空，即初始横纵坐x10y10。化简条件(34，又由上述分析已知01，得问题理想化后能够飞机乙的条件为：N NN N24M

(3况，能够成功击毁飞机乙的条件为(34)式。N,0)N100000（），C259305.20,tC2V174.27秒，能够击毁飞机乙，且击毁时飞机乙的位置为对于追击飞机这一动态系统的数学模型，可以利用计算机仿真法对系统进行观得观测到追击飞机的动态行为效果。初始位置为x1y1,速度U，飞机乙初始位置为N,0，速度V。在时刻tk，飞机乙的位置为N,Vtk，设位置为xkyk。追赶方向可用方向余弦表示为(cosksink,其中cosksink的表达式见附录一。在ttk1tkt时 位置为xk1,yk1，则xk1xkxkUtcoskyk1ykykUtsink；飞机乙位置为N,V(tkt)。利用此时 退出程序的循环，否则令时间t产生下一个步长，继续进行下一次循环。每一次循环将和飞机乙的坐标以图像的形式给以显示。当程序的循环成功退出后，令程序给出击毁飞机乙的位置坐标以及追赶过程所用时间。得击毁飞机乙的坐标位置为(100000.00,59305.309)，t174.27秒。仿图11Ⅰ型追击飞机乙仿真弹击毁飞机乙的坐标位置为(100000.00,59305.309),飞行时间t174.27秒。所3)认为发射瞬间飞机甲恰好在防空指挥部上空，能够成功击毁飞机乙的条件为(35)在题设数据下，能够击毁飞机乙，且弹击毁飞机乙的坐标位置为(100000.00,59305.309),飞行时间t174.27秒问题对于问题四，通过分解速度，将此问题分解为两个过程：在平面xoy上追击飞机过程和在竖直方向追击飞机乙过程。对上述两个过程建立模型。模型1：微分方程模以防空指挥部为原点oxy轴正向，垂直地面向上为z轴正方向，建立空间直角坐标系。因为发现飞机乙时，该机正位于防空指挥部正东 初始坐标为0,0,0,设速度为Q将Ⅱ型追击飞机乙问题分解为两个过程：在平面xoy上追击飞机过程Ⅰ和在竖直方向追击飞机乙过程Ⅱ。设速度在三个坐标轴的分速度分别为Qx、Qy、Qz，设Qxy为速度在平Q2 xoy上的投影分量，则Qxy Q2 度方向与飞机乙的向径方向相同，所以轨迹处于某一平面内。因此，当速度Qxoy上的投影，则的初始坐标为(0,0)，速度为Qxy；飞机乙初始坐标为(N,0)，速度为V。则过程Ⅰ模型与问题四模型(32)相同，令V/Q，过程Ⅰ模型为：d2

dy

N dxyy

0,

则可以实现两个过程中同时飞机乙。求解能够飞机乙的条析解，并进行相同的分析，则程Ⅰ中能成功飞机乙的条件即为将问题四理想化（即假设发射瞬间飞机甲恰好在防空指挥部上空）的条件，由(35)式，可得条件为：V

NN N24M在过程Ⅰ中，当xN时，追上飞机乙，由式(33),得此时yC2。由于飞机乙的初始纵坐标为0，所以追赶时间tC2V。其中C2由(33)所示。代入初始数据，在过程Ⅱ中，取Qzht

N( 1t

(4Q2z因为速度Q Q2zVQ2VQ2(h/N N24M

(4其中t由(41)所示，Q、V分别为和飞机乙的速度，h为飞机乙的飞行高度NM模拟和计算，直观得观测到Ⅱ型追击飞机的动态行为效果。已知初始位置为0,0,0,速度为Q，飞机乙初始位置为N,0,h，速度为V刻tk，飞机乙的位置为N,Vtkh，设位置为xkykzk。速度方向表示为单位向量(akbkck),其中akbkck的表达式见附录一。取时间步长为tttk1tkt时，位置为xk1yk1zk1xk1xkxkU(t)akyk1ykykU(t)bkzk1zkzkU(t)ck；飞机乙位置为N,V(tkt),h。与问题四仿真的思路相似，利用此时与飞机乙的坐标，求出二者之间的距离。当所得距离小于某一设定值时，即认为已击毁飞机乙，退出程序的循环，否则令时间t假设N100000米，h10000米，V1（即340.4米/秒Q2（即由仿真程序计算的飞行时间和击毁飞机乙的位置分别为195.91秒、图12Ⅱ型追击飞机乙仿真结论：Ⅱ型能够击毁飞机乙的条件为(42)式六、模型的检(x)(yy)2 ii令R ，表示(x)(yy)2 ii1n1nn R R2i其中n表示数据个数。通过error值的大小可以反映模型计算值与真实值之间的差error值越小表明模型越精确，现设定当error2%时，数据可靠。 编程，甲组数据代入得error8.0065104，将乙组数据代入error3.2103，将丙组数据代入的error0.1397对小很多。所以，在有充足数据的情况下，模型6.2.1是非常可靠的。假设甲的坐标数据准确，编程令随机5组距离数据增加1%，解得数据为：(10833,85,131835%，解得数据为(10382,-15,1331920%，解得型5.2.1的稳定性较高。实际情况中，为提高目标定位精度，除测量自身坐标及自身到目标飞行物的距离外，还会测量目标飞行物到第i个的视角，在此称为其对应的方位角Ri。为体现实际情况中信号时间对定位精度带来的影响，引入信号发射机，这样就能直接用距离和、距离差测量误差体现信号时间间接对距离误差产生的影响。距离和（DTDRi，DT：目标飞行物到发射机的距离，DRi：目标飞行物到第i个的距离；方位角（Ri目标飞行物到第i个的视角，6测量参 误差矢量 hi幅 附距离 2cos

2

方位 1 距离 2sin

R

2,Kifix,y

PP1P1hTr1hIP I I

具体公式见附录一结论：目标飞行物在站附近时，坐标误差对目标飞行物定位精度影响更大，而实际情况中，目标飞行物不会同时出现在多处附近，因此，距离误差对目标飞八、模型的评优缺[1]，概率论与随机过程：理论、历史及应用，：[3]许爱华，脉冲测量数据处理技术，：国防工业工程大学学报，第64期：8-11，2005年 (N(Nx)2(Vy)yVtt

N(Nx)(V(Nx)(Vy22kt 6.4.1中akbkck N(Nx(Nx)k2Vtky)(hz22 kbk

(Nx)2(Vty)2(hz (Nx(Nx2y2(hz2k k（（T为目标飞行物 h

fii

ji21i21111iD sinsin 1ijk23fori=1:6:29forX(i,1)=(6650-X(i,2)=(1430-X;%变化后超定方的系数矩阵temp2=R;%temp2表示距离forR(i)=R(i)^2- ^2- ^2-RRfori=1:28forsolution=[solution,temp3];%将解存放在solutionsolution;%初步取forsolution0;%solution0为筛选后%%筛选误差大的tempx=solution0(1,:);%%导入数据bx=std(tempx);%%求标准差downx=avex-%%处理yforif

roots=[roots,solution0(:,i)];%%symsopqf1f2fori=1:n2;o=o+(p-roots(1,i))^2+(q-fori=1:29Z(i)=sqrt((temp2(i))^2-(root1-temp1(i,1))^2-(root2-forz0=sum/29%%解得z坐forz1=X(i,1)+sqrt((R(i))^2-11138^2-z2=X(i,1)-sqrt((R(i))^2-11138^2-fori=1:31%%求精确symsxyffor %%解得最小二乘R=xlsread('data5.xls','sheet2','I4:I34')%数forsqrt(sum2)/sum1%%偏离forforX(i,1)=(6650-X(i,2)=(1430-X;%变化后超定方的系数矩阵temp2=R;%temp2表示距离forR(i)=R(i)^2- ^2- ^2-RRfori=1:28for

solution=[solution,temp3];%将解存放在solutionsolution;%初步取forsolution0;%solution0为筛选后%%筛选误差大的tempx=solution0(1,:);%%导入数据bx=std(tempx)%%求标准差downx=avex-%%处理yforsymsopqf1f2fori=1:n2;o=o+(p-roots(1,i))^2+(q-root1=fzero(f1,50000数据修改后的xroot2=fzero(f2,50000数据修改后的yfori=1:29Z(i)=sqrt((temp2(i))