江苏省各中学2021

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试卷主标题姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（共24题）1、已知直线l的方程为，那么直线的倾斜角为（）A．B．60°C．150°D．120°2、与的等比中项是（）A．B．C．D．3、与椭圆的焦点坐标一致的是（）A．B．C．D．4、已知抛物线方程为，那么抛物线的准线方程为（）A．B．C．D．5、已知方程表示双曲线，那么的取值范围是（）A．B．C．或D．6、在等差数列中，若，那么的值等于（

）A．8B．10C．13D．267、直线与曲线有公共点，那么直线的倾斜角的取值范围为（）A．B．C．D．8、已知是椭圆的左焦点，为右顶点，是椭圆上一点，轴，若，那么该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．9、若直线的倾斜角，那么其斜率（）A．B．C．1D．10、已知向量，2，，，，，且，那么（）A．B．C．D．11、若直线与直线平行，那么实数（）A．1B．C．0D．12、已知三棱柱，点为线段的中点，那么（）A．B．C．D．13、在棱长为2的正方体中，点M、N分别是和的中点，那么异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．14、两直线，那么直线关于直线对称的直线方程为（）A．B．C．D．15、已知椭圆上两点，若的中点为，直线的斜率等于，那么直线的斜率等于（）A．B．C．D．16、若圆上仅有4个点到直线的距离为1，那么实数的取值范围为（）A．B．C．D．17、对任意的，方程所表示的曲线可能为（）A．双曲线B．抛物线C．椭圆D．圆18、已知是椭圆上一点，，是其左右焦点，那么以下选项中正确的是（）A．椭圆的焦距为2B．椭圆的离心率C．D．的面积的最大值是419、已知为等差数列，其前项和，若，，那么（）A．公差B．C．D．当且仅当时20、在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，那么实数的值可能是（）A．B．C．D．21、以下利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，那么B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，那么C．两个不同的平面α，β的法向量分别是，，那么D．直线l的方向向量，平面α的法向量是，那么22、以下说法正确的是（）A．过，两点的直线方程为B．点关于直线的对称点为C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2D．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为23、已知曲线（）A．若，那么是椭圆，其焦点在轴上B．若，那么是椭圆，其焦点在轴上C．若，那么是圆，其半径为D．若，，那么是两条直线24、已知周围体的全体棱长均为2，那么以下结论正确的是（

）A．异面直线与所成角为B．点A到平面的距离为C．D．周围体的外接球体积为二、填空题（共8题）1、两平行直线，之间的距离是__________.2、等差数列的前项和，等比数列的前项和，（其中、为实数）那么的值为__________.3、点到直线的距离的最大值为________.4、已知双曲线左焦点为为双曲线右支上一点，若的中点在以为半径的圆上，那么的横坐标为_________.5、两平行线，的距离是__________.6、若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆的一个焦点为，且长轴长是短轴长的倍，那么标准方程为____________．7、假设实数x，y得志等式，那么的最大值是______________．8、当曲线与直线有两个公共点时，t的取值范围是__________．三、解答题（共12题）1、已知直线l1：

3x+y+2=0；

l2：

mx+2y+n=0．（1）若l1⊥l2，求m的值；

（2）求过点且与直线l1平行的直线的方程；

2、已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＝-12，a4＋a8＝0.（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若等比数列{bn}得志b1＝-8，b2＝a1＋a2＋a3，求数列{bn}的通项公式．3、已知直线被圆截得的弦长为．（1）求的值；

（2）求过点（3，5）与圆相切的直线的方程．4、如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；

（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.5、已知数列得志.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；

（2）求数列落入区间的全体项的和.6、已知椭圆（）的离心率为．（1）点是椭圆上异于左右顶点的任意一点，，，证明点与，连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值；

（2）若椭圆的短轴长为，直线与椭圆交于，两点，且坐标原点在以为直径的圆上．判断坐标原点到直线的距离是否为定值，若是，求该定值；

若不是，请说明理由．7、求经过直线与交点M，且得志以下条件的直线的一般式方程．（1）经过点；

（2）与直线垂直．8、椭圆的长轴长等于圆的直径，且的离心率等于，已知直线交于，两点.（1）求的标准方程；

（2）求弦的长.9、如图，在长方体中，，，点在线段上．（1）求异面直线与所成的角；

（2）若二面角的大小为，求点到平面的距离．10、已知圆和．（1）求证圆和圆相交；

（2）求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长；

（3）求过点且与圆相切的直线方程．11、如图，在直三棱柱中，是变长为6的等边三角形，D，E分别为的中点．（1）证明：

平面；

（2）若异面直线与所成的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．12、平面直角坐标系中，已知圆M过坐标原点O且圆心在曲线上．（1）若圆M分别与x轴、y轴交于点A、B（不同于原点O），求证：

的面积为定值；

（2）设直线直线：

与圆M交于不同的两点C，D，且，求圆M的方程；

（3）设直线与（2）中所求圆M交于点E、F，P为直线上的动点，直线，与圆M的另一个交点分别为G，H，求证：直线过定点．============参考答案============一、选择题1、C【分析】由直线方程得斜率，从而可得倾斜角．【详解】由题意直线的斜率为，而倾斜角大于等于且小于，故倾斜角为．应选：

C．2、C【分析】根据等比中项的定义可得结果.【详解】与的等比中项是.应选：

C.3、A【分析】先确定已知椭圆的焦点在x轴上，求出焦点坐标，接着分别求出四个选项中曲线的焦点坐标，再与已知椭圆的焦点坐标举行对比，即可得答案.【详解】椭圆的焦点在轴上，且，所以，所以椭圆的焦点坐标为.对A选项，双曲线方程，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为，与已知椭圆的焦点坐标一致；

对B选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；

对C选项，其焦点在x轴上，且，故其焦点坐标为；

对D选项，其焦点在y轴上.应选A.【点睛】此题测验椭圆、双曲线焦点坐标的求解，主要测验两种曲线中之间的关系.4、D【分析】将抛物线方程化为标准形式即可求解.【详解】由抛物线方程为，即，所以其准线方程为.应选：

D5、C【分析】双曲线的焦点可能在x轴，也可能在y轴上，分别写出两种处境下的双曲线的标准方程，或，可得或，解不等式可得答案.【详解】当双曲线的焦点在x轴上，双曲线方程，那么解得：

；

当双曲线的焦点在y轴上，双曲线方程，所以解得：

；

应选C.【点睛】此题测验双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的熟悉.6、C【分析】根据等差数列的性质求出，然后根据等差数列前项和公式结合等差数列的性质即可求出答案.【详解】由于，所以，即，所以.应选：

C.7、D【分析】根据题意直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为1的轴上方的半圆，设直线与半圆相切时，切点为，进而数形结合求解即可得答案.【详解】解：根据题意，直线过定点，曲线表示圆心为原点，半径为1的轴上方的半圆，设直线与半圆相切时，切点为，如图，在中，，所以所以直线与曲线有公共点时，直线的倾斜角的取值范围为.应选：

D8、D【分析】求出，即可得到的方程，解方程即可得到答案；

【详解】将代入椭圆方程得：

，，且，，应选：

D9、C【分析】直接求倾斜角的正切值即可得解.【详解】由于直线的倾斜角，所以直线的斜率，应选：

．10、A【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模的计算公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，向量，2，，，，，且，那么设，即，，，2，，那么有，那么，，那么，，，故；

应选：

．11、B【分析】利用平行的判断方法计算出的值，除去使直线重合的处境即可.【详解】由两直线平行得，解得又当时，直线与直线重合，与题意不符当时，直线与直线平行，符合题意应选：

B.12、D【分析】根据空间向量的线性运算求解即可【详解】解：在三棱柱，点为线段的中点，那么，所以，应选：

D13、B【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中利用余弦定理求出此角即可.【详解】如图，将AM平移到E，NC平移到F，那么∠EF为直线AM与CN所成角或其补角由于边长为2，那么∴由余弦定理得，即直线AM和CN所成角的余弦值为应选：

B.14、D【分析】求出两直线的交点，在直线上任取一点，求出其关于的对称点，利用点斜式求出直线方程.【详解】联立方程，解得，在直线上任取一点，其关于的对称点为，那么直线关于直线对称的直线方程为，即应选：

D.15、D【分析】设，，把两点坐标代入椭圆方程相减后可得与的关系，从而得出结论．【详解】设，，，那么，两式相减得，整理得，即．应选：

D．【点睛】方法点睛：在遇到椭圆的弦中点时，往往用点差法求解．即设弦两端点为，弦中点，两端点坐标代入椭圆方程相减珀可得与的关系．双曲线的弦中点也可这样求解．16、A【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得的取值范围．【详解】解：作出到直线的距离为1的点的轨迹，得到与直线平行，且到直线的距离等于1的两条直线，圆的圆心为原点，原点到直线的距离为，两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，又圆上有4个点到直线的距离为1，两条平行线与圆有4个公共点，即它们都与圆相交．由此可得圆的半径，即，实数的取值范围是．应选：

．【点睛】此题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重测验了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等学识，属于中档题．17、ACD【分析】分别议论的范围求方程所表示的曲线，即可得正确选项.【详解】当时，，，方程可化为，此时为直线；

当且时，，，且，此时原方程可化为，此时表示椭圆；

当时，时，可化简为表示圆，当时，，，方程可化为，此时为直线；

当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线；

当时，，原方程即，此时轨迹不存在；

当时，，，此时方程表示的轨迹不存在；

当时，，，原方程即，此时轨迹不存在；

当时，，，此时原方程可化为，此时表示焦点在轴上的双曲线，综上所述：方程所表示的曲线可能为双曲线、椭圆、圆，应选：

ACD.18、BD【分析】根据方程求得，进而求得焦距，离心率，判定AC；

根据椭圆的定义可以判定C错误；

利用椭圆的性质可以求得的面积的最大值，判定D【详解】,∴,,焦距，，当M为短轴的端点时的面积的取得最大值，是,应选：

BD.19、ABC【分析】根据题意，结合等差数列前项和的公式和性质，一一判断即可.【详解】由，得，即.因，所以，且，应选项AB正确；

因，且，故时，最大，即，应选项C正确；

由，得，即，故D错.应选：

ABC.20、BCD【分析】设点的坐标为，根据题设条件，求得，由圆上存在点，转化为两圆相交或相切，列出不等式即可求解.【详解】由圆可得圆心，半径为，设点的坐标为，由于，即，整理得：

，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，由于圆上存在点，得志，所以两圆相交或相切，所以，即，所以，所以选项B、C、D正确，应选：

BCD.21、AC【分析】利用空间向量的共线向量定理和数量积运算求解判断.【详解】A.由于两条不重合直线，的方向向量分别是，，且，共线，那么，故正确；

B.由于直线l的方向向量，平面α的法向量是，且，那么，故错误；

C.由于两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且，那么，故正确；

D.由于直线l的方向向量，平面α的法向量是，且，那么不平行，应选：

AC22、BC【分析】运用直线的两点式方程判断A的正误；

利用对称学识判断B的正误；

求出直线在两坐标轴上的截距可得到三角形的面积判断C的正误；

利用直线的截距相等可判断D的正误．【详解】对于A：当，时，过，两点的直线方程为，故A不正确；

对于B：点(0,2)与(1,1)的中点坐标，得志直线方程,并且两点的斜率为：

−1,所以点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)，所以B正确；

对于C：直线在两坐标轴上的截距分别为：

2,−2,直线与坐标轴围成的三角形的面积是，所以C正确；

对于D：经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−2=0或y=x，所以D不正确；

应选：

BC.【点睛】此题测验直线的方程，直线与坐标轴的截距，点关于直线的对称点，留神在考虑截距相等的时候，不漏掉截距为的处境，属于根基题．23、AD【分析】结合选项举行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示两条直线.【详解】对于A，若，那么可化为，由于，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，故B错误；

对于C，若，那么可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确；

对于D，若，那么可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；

应选：

AD.【点睛】此题主要测验曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的识别是求解的关键，侧重测验数学运算的核心素养.24、BCD【分析】由题意画出图形，证明AC⊥BD，可知A错误，同理得到C正确；

直接求出A毕竟面的距离判断B；

求出正周围体外接球的半径，进一步求得外接球的体积判断D．【详解】如图，由题意，周围体ABCD为正周围体，取底面BCD的中心为G，连接CG并延长，交BD于E，那么E为BD的中点，且CE⊥BD，连接AG，那么AG⊥底面BCD，得AG⊥BD，又AG∩CE＝G，∴BD⊥平面ACG，那么AC⊥BD，故A错误；

同理，故C正确；

由周围体的全体棱长为2，可得，又AC＝2，∴，即点A到平面BCD的距离为，故B正确；

设周围体ABCD的外接球的球心为O，半径为R，连接OC，那么，解得，那么周围体ABCD的外接球体积为，故D正确；

应选：

BCD．二、填空题1、【分析】根据两直线平行的条件求出的值，然后利用两平行线间的距离公式求出答案即可.【详解】由于，所以，解得，所以，即，所以两平行线间的距离为.故答案为：

.2、【分析】根据前项和与通项的关系求出数列、的通项公式，可求得、的值，即可得解.【详解】当时，，.当时，，，由于数列为等差数列，那么，可得，由于数列为等比数列，那么，可得.因此，.故答案为：

.3、【分析】求出直线所过定点坐标，时，距离最小为．【详解】直线l的方程可整理为，故直线l过定点.由于P到直线l的距离，当且仅当时等号成立，故.故答案为：

．【点睛】此题测验点到直线的距离，求出动直线所过定点坐标是解题关键．这样由距离的定义知就是最小值．4、##【分析】根据中位线的性质求出；

根据双曲线的定义求出，从而在中求出，然后根据即可求出答案.【详解】设为的中点，为双曲线的右焦点，易知，由于为的中点，所以，由双曲线的定义，知，连结，那么，，所以，所以，即.故答案为：

.5、【详解】直线的方程可化为，故两平行直线之间的距离，故答案为.6、【分析】根据条件列式求出即可.【详解】由已知，解得故标准方程为.故答案为：

.7、##【分析】的几何意义为圆上的点到点的距离，求出最大距离即可得答案.【详解】实数x，y得志等式，即那么的几何意义为圆上的点到点的距离，那么距离的最大值为所以的最大值是故答案为：

.8、【分析】依题意表示以为圆心，为半径的圆的轴及轴右半片面，作出图形，求出半圆的切线，从而得出的范围．【详解】解：由于，所以，所以表示以为圆心，为半径的圆的轴及轴右半片面，图形如下所示：

设直线与半圆相切，那么，解得（舍或．当直线恰过点时，；

直线与曲线恰有两个公共点，．故答案为：

三、解答题1、（1）；

（2）.【分析】（1）根据两直线的位置关系即可求出的值，（2）根据两直线平行设出所求直线方程，然后把点的坐标代入即可求出.（1）由于l1⊥l2，所以3m+2=0，解得.（2）由于所求直线与直线l1平行，所以设所求直线方程为3x+y+c=0，把点代入，得3+2+c=0，解得，故过点且与直线l1平行的直线的方程为.2、（1）an＝2n-12；

（2）.【分析】（1）根据等差数列的性质得到，然后根据等差数列的通项公式求出和的值即可.（2）根据（1）的条件求出b2＝-24，b1＝-8，然后根据等比数列的通项公式求出的值即可.（1）设等差数列{an}的公差为d，由于a1＋a5＝2a3＝-12，a4＋a8＝2a6＝0，所以，所以，解得，所以an＝-10＋2(n-1)＝2n-12.（2）设等比数列{bn}的公比为q，由于b2＝a1＋a2＋a3＝-24，b1＝-8，所以－8q＝－24，即q＝3，因此.3、（1）a=1；

（2）或.【分析】（1）求出圆心，半径，利用圆心到直线的距离，通过勾股定理列方程求解即可．（2）判断点与圆的位置关系，①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离求解即可；

②当过斜率不存在，判断直线与圆是否相切，推出结果．【详解】（1）依题意可得圆心，半径，那么圆心到直线的距离，由勾股定理可知，代入化简得，解得或，又，所以；

（2）由（1）知圆，又在圆外，①当切线方程的斜率存在时，设方程为，由圆心到切线的距离可解得，切线方程为，②当过斜率不存在，易知直线与圆相切，综合①②可知切线方程为或.【点睛】此题测验直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，测验计算才能．4、（1）圆的圆心坐标为，即抛物线的焦点为,……3分∴∴抛物线方程为……6分1.由题意知直线AD的方程为…7分即代入得=0设，那么，……11分∴【分析】（1）设抛物线方程为,由题意求出其焦点坐标，进而可求出结果；

（2）先由题意得出直线的方程，联立直线与抛物线方程，求出，再由为圆的直径，即可求出结果.【详解】（1）设抛物线方程为，圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴．抛物线的方程为：

；

（2）依题意直线的方程为设，，那么，得，，．．【点睛】此题主要测验抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系；

由抛物线的焦点坐标可直接求出抛物线的方程；

联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和抛物线定义可求出弦长，进而可求出结果，属于常考题型.5、（1）证明见解析，；

（2）.【分析】（1）分析得到是公比为2的等比数列，利用等比数列的通项即得解；

（2）解不等式，即得的范围，再利用分组求和求解.【详解】（1）∵，∴由等比数列的定义可知，是公比为2的等比数列由于首项，公比为2，所以所以.（2）令，由于，所以n可取4，5，6，7，8，9，10所以，各项的和=.6、（1）证明见解析，定值为（2）是定值，【分析】（1）设，那么，再根据斜率证明即可；

（2）根据题意得椭圆的方程为，设，再分直线的斜率不存在时得，直线的斜率存在时，设方程为，联立方程，结合韦达定理和向量的数量积得，进而求得.（1）解：设，那么，所以，所以，所以，所以点与，连线的斜率的乘积为定值，且为.（2）解：由于椭圆的离心率为，短轴长为，所以，解得，所以椭圆的方程为.设，当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性得，由于坐标原点在以为直径的圆上，所以，即，所以，又由于，所以，此时坐标原点到直线的距离是；

当直线的斜率存在时，设方程为，联立方程得，所以，，所以由于坐标原点在以为直径的圆上，所以，即，所以，即，整理得，所以坐标原点到直线的距离是，综上，坐标原点到直线的距离是7、（1）（2）【分析】（1）由，，得M，从而直线过M和，由此能求出直线方程．（2）由直线过M，且与直线垂直．设直线方程，把M代入，能求出直线方程．（1）∵直线与直线的交点M，∴由，得M（−1，2），∴直线过M（−1，2）和，∴直线方程为，即.（2）∵直线过M（−1，2），且与直线垂直．∴设直线方程为，把M（−1，2）代入，得，那么c＝4，∴所求直线方程为．8、（1）；

（2）.【分析】（1）由题可得，，求出即可得出椭圆方程；

（2）联立直线与椭圆方程，由弦长公式即可求出.【详解】（1）由题意得，，，，，椭圆的标准方程为；

（2）由得，设、，那么，，.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：

（1）得出直线方程，设交点为，；

（2）联立直线与曲线方程，得到关于（或）的一元二次方程；

（3）写出韦达定理；

（4）将所求问题或题中关系转化为形式；

（5）代入韦达定理求解.9、（1）；

（2）．【分析】（1）以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角；

（2）利用空间向量法结合二面角为计算出的值，可求得点的坐标，进而利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，（1）由，得，设，又，那么，，，那么异面直线与所成的角为；

（2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，设点，其中，那么，，，由，令，那么，，，，，解得，所以，平面的一个法向量为，又，所以，点到平面的距离．【点睛】利用向量夹角转化为各空间角时，确定要留神向量夹角与各空间角的定义、范围不同．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．根据向量坐标在图形中查看法向量的方向，从而确定二面角与向量、的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点.10、（1）证明见详解（2），（3）或【分析】（1）计算两圆心的距离与两圆半径和与差的大小关系可得两圆的关系；

（2）将两圆方程作差可得公共弦方程，利用垂径定理可得公共弦长；

（3）当直线斜率不存在时符合题意，当直线斜率存在时，设为，利用点到直线的距离等于半径列方程求解.（1）由已知圆，圆心，半径，圆心，半径，那么，又那么圆和圆相交；

（2）将两圆方程相减得，即，圆和圆的公共弦所在直线的方程为圆心