时间序列平滑预测法

时间序列平滑预测法

第一节

移动平均法

又称滑动平均法一．一次移动平均法假定yt随时间顺序t=1,2,……,N发生变化的已知数据.设为N=20，则为y1，y2，……,y20将其分为若干段，以5个数据作为一段，进行滑动。第一段：y1，y2，y3，y4，y5:，

=(1/5)∑yt=M5

由于在此段，y5为数据平均值，所有数据应在它的上下波动。因此推出，可以用于预测t=6时的值y6=y5。y6的实际值还按前一组值的变化规律在

的上下波动。

第二段：滑动舍去初始的y1,新一组为y2,y3,y4,y5,y6:

y6=(1/5)

∑yt=M6有y7=y6=M6

:

:第十六段：y16,y17,y18,y19,y20:y20=(1/5)

∑yt=M20可预测

y21=y20=M20

平均值一般地：

Mt⑴=[yt+yt-1+……+yt-n+1]/N=(1/N)∑

yi=

这个公式就称为一次移动平均公式。2004/10/18递推式Mt(1}=[yt+yt-1+……+yt-n+1]/N=[yt-1+……+yt-n

]/N+[yt－yt-N]/N=

Mt-1(1)

+[yt－yt-N]/N=移动平均法基本上是在平均值的基础上进行预测。一般来讲，若经济变量在某一值上下波动情况及升降缓慢预测效果比较好，反之误差比较大.另外，N的选取也起着较大的作用，N小一些,预测跟踪效果好一些。反映较灵敏。特别地当N=1，则与实际状况相同。 N大一些，平滑特性就好一些，但跟踪能力差。

二、二次移动平均法1、

二次移动平均数公式.二次移动平均是在一次平均移动的基础上再做一次移动平均。

Mt(2)=[Mt(1}

+Mt-1(1)….Mt-n+1(1)]/N

递推公式Mt(2)=Mt-1(2)+[Mt(1)－Mt-N(1)]/NMt(2)为二次移动平均数N分段数据个数Mt(1)一次移动平均数

2、线形趋势条件下的一次移动平均数Mt(1)与二次移动平均数Mt(2)的关系一次移动平均预测对于数据变化小，近似于水平变化的数据平滑作用较好。如果是线形趋势变化，则分析线落后于真实数据变化，形成滞后偏差yt－Mt(1}

线形变化如下：bt=yt－yt-1有：yt-1=yt－bt

yt-2=yt-1－bt=yt-2btyt-N+1

=yt－(N－1)bt:tt-1yt-1ytbt

yt

=at+btt考虑到：Mt(1}=(yt+yt-1+……+yt-N+1)/N

={Nyt－[1+2+……(N－1)]bt}/N

1+2+……(N－1)=[N(N－1)]/2

∴Mt(1}=[Nyt－(N/2)(N－1)bt]/N=yt－(N－1)bt/2…①

Mt-1(1)=yt-1－(N－1)bt/2=yt－(N+1)bt/2……②

①－②:Mt(1}-Mt-1(1)=yt－yt-1=bt即；Mt-1(1)=Mt(1}-bt

类推：Mt-2(1)=Mt-1(1)

－bt=Mt(1}

－2bt

:::Mt-n+1(1)=Mt(1}

－(N－1)bt

∴Mt(2)=[Mt(1}+Mt-1(1)+……+Mt-n+1(1)]/N=Mt(1}

－(N－1)bt/2移项Mt(1}-Mt(2)=(N－1)bt/2………③

有公式(N－1)bt/2=yt－Mt(1}

即得Mt(1}-Mt(2)=yt－Mt(1}=(N－1)bt/2…..④

公式④说明：直接用一次移动平均值模拟：真值与一次平均值存在N－1)bt/2的滞后偏差。即公式1在线性趋势条件下:Mt(1}-Mt(2)=(N－1)bt/2

此式表明.若直接用Mt(2)作预测值,滞后偏差将拉大为（N-1）bt三、二次移动平均法预测公式在线性趋势条件下，回到思维基础，用线性函数拟合假定：=at+btT…….⑤

其中t为目前周期数T为从目前周期t到需要预测的周期的周期个数。

yt+T为第t+T周期的预测值

bt为斜率，at为截距若：令T=0，得yt=at为初始值由于当前数据为yt，有yt

≈

yt故选取at

≈

yt由公式④Mt(1}-Mt(2)=yt－Mt(1}=(N－1)bt/2代入at=yt得at=2Mt(1}－Mt(2)………….⑥bt=2[Mt(1}-Mt(2)]/(N-1)……⑦公式⑤,⑥,（7)构成二次移动平平均法预测公公式。注：1)预测公式是以以t时刻为基基准的，这个个时刻可以随随意选取，当当选择靠近当当前时刻，准准确度较高;2．∵yt+T－Mt(1}=at+btT－Mt(1}=2Mt(1}-Mt(2)－Mt(1}+btT=Mt(1}-Mt(2)+btT=(N-1)bt/2+btT即与一次移动动平均法相比比较，滞后偏偏差(N－1)/2已补偿。3．Mt(1}.Mt(2)对应的N应应一致，且二二次移动值Mt(2)不是预测值4．二次移动动平均法预测测公式仅适合合于线性趋势势预测。5．不断的丢失失信息，且N的大小一般由由经验及前期期趋势确定。。简例：已知某某产品销量统统计数据以线线形趋势变动动，当处在第第20期时，，Mt(1}=74,Mt(2)=68,N=5,预预测在5个周周期之后的销销量解：由已知：：Mt(1}=74,Mt(2}=68,N=5xt+T=at+btTat=2Mt(1}－Mt(2)=80=xtbt=2/(N－1)[Mt(1)－Mt(2)]=3预测模型：xt+T=80+3T当T=5时x20+5=80+15=95移动动平平均均法法应应用用举举例例------期，，股股市市中中的的移移动动平平均均线一、、道道。。琼琼斯斯的的理理论论:美美华华尔尔街街日日报报创创办办人人股价价运运动动的的三三种种趋趋势势1、、原原始始波波动动(PrimaryTrends)BullMarketandBearMarket股股价价波波动动的的长长期期上上升升（（多多头头市市场场））和和长长期期下下降降（（空空头头市市场场））是是大大市市波波动动的的基基本本趋趋势势，，基基本本趋趋势势一一旦旦形形成成，，通通常常要要延延续续1~4年年；；2、、次级级波波动动股价价在在长长期期的的上上升升通通道道中中快快速速下下跌跌，，或或在在长长期期下下降降通通道道中中急急速速上上升升，，次次及及波波动动方方向向与与原原始始波波动动方方向向相相反反，，是是对对原原始始波波动动的的修修正正，，一一般般的的原原始始波波动动均均有有二二至至三三个个次次及及波波动动；；次次及及波波动动时时间间为为3周数数目目可可不不等等；；3、短期期波波动动(MinorTrends)股价价在在分分时时或或数数日日内内进进行行快快速速波波动动4、、次级级波波动动的的振振幅幅约约为为原原始始波波动动幅幅度度的的1/3；；次级级波波动动一一般般由由3个个或或3个个以以上上短短期期波波动动组组成成；；5、、次次级级波波动动下下跌跌，，若若谷谷底底上上次次波波动动谷谷底底，，确确定定为为长长期期上上升升通通道道；；若若谷谷底底低低于于上上次次波波动动谷谷底底，，确确定定为为长长期期下下降降通通道道一、、移移动动平平均均线线种种类类1、、M(3),M(5),M(10)短短期期移移动动平平均均线线以5,10日日移移动动平平均均线线较较合合理理2、、M(20),M(30),M(60)中期期移移动动平平均均线线、、3、M(120)以上上为为长长期期移移动动平平均均线线，，对对中中国国股股市市当当前前实实用用意意义义不不大大。。西西方方重重M(200)。二．．移移动动平平均均线线的的转转点点指移移动动平平均均线线由由下下行行转转为为上上升升的的最最低低点点或或由由上上升升转转为为下下行行的的最最高高点点因为为移移动动平平均均数数的的取取得得是是要要扣扣减减xt-N,即即第第t-N日的的股股价价或或指指数数，，在在一一个个上上升升通通道道中中，，上上升升的的速速度度应应保保持持，，不不能能转转缓缓甚甚至至下下降降它它的的转转点点为为扣扣减减的的若若是是最最低低价价，，就就是是上上升升趋趋势势的的转转点点，，随随时时可可能能由由升升转转跌跌；；反反之之，，在在下下降降过过程程中中，，扣扣减减的的是是最最高高值值，，则则随随时时可可能能反反转转由由跌跌转转升升。。短期期移移动动平平均均转转点点较较多多，，适适合合于于短短线线抄抄手手中,长长期期线线转转点点较较为为重重要要，，这这是是中中期期转转势势甚甚至至长长期期转转势势的的信信号号三、、葛葛兰兰维维八八大大买买卖卖法法则则买进进四四大大法法则则1.MA由由↘转平平并并开开始始抬抬头头向向上上,且且股股价价突突破破MA;2.股股价价在在MA上上方方运运行行,回回档档未未破破MA股股价价再再次次↗;3.MA呈呈上上升升状状态态,股股价价急急速速下下跌跌破破MA线线时时;4.MA下下降降状状态态股股价价在在MA下下方方运运行行,突突然然下下跌跌远远离离MA线线时时;卖出出法法则则5.MA由由↗转平并开始始向下,且且股价突破破MA线之之下;6.股价在在MA下方方运行,上上升时遇MA所阻,再次回落落;7.MA呈呈下降状态态,股价上上升突破MA又回落落至MA线线下方;8.MA呈上升状态态,股价在MA上方突然暴暴涨远离MA线;四:黄金交交叉与死亡亡交叉由移动平均均线原理,对股价趋势势变动反应应最快的是是短期线,其次是中期期线,然后是长期期线死叉金叉30日MA与60日MA是判别中期期市场的主主要线,若股价跌破破此二线为为中期调整整开始,应出脱持股股.97.5.16深深:MA(5)=5630↓MA(10)=5689↓MA(30)=5090↑MA(60)=4561↑沪:MA(5)=1415↓MA(10)=1437↓MA(30)=1362↑MA(60)=1239↑第二节指数平滑法法一、一次指指数平滑法法1、一次指指数平滑公公式,由一一次平滑公公式的递推推公式Mt(1}=Mt-1(1)+[yt－yt-1]/N其中Mt(1}=yt=[yt+yt-1+……+yt-N+1]/N假定yt-N≈Mt-1即用前一期期的移动平平均值代替替前期的初初始值.有有Mt(1}=Mt-1(1)+[yt－Mt-1]/N=(1/N)yt+(1－1/N)Mt-1=yt+1令α=1/N,α∈(0,1)及St(1)=Mt(1}则St(1)=αyt+(1－αα)St-1(1)=yt+1其中α称为平滑系系数这个公式称称为一次指指数平滑公公式.2、举例某日用电器器销售额如如表.预测测12月份份的销售量量:月123456789101112200135195197.5310175155130220277235---销售额函数数图2001003001300α=0.1α=0.5α=0.9t台选取不同的的α值:设S0(1)=xt=1(1)=200,当α=0.1有:S1(1)=αx1+(1－α)S0(1)=0.1×200+0.9×200=200S2(1)=αx2+(1－α)S0(1)=193.5::S11(1)=205.6=x12填于表表中α=0.1时200193.5193.7194205.6202.6197.8191193202.3205.6α=0.5时200167.5181.3189.4249.7212.3183.7156.8188.4233234α=0.9时200141.5189.7196.9298.7187.4158.2132.8211.3270.9238.6可见当当α=0.1时,x12=S11(1)=205.6平平滑效效果好好前期期数据据影影响大大。α=0.5时，x12=S11(1)=234当α=0.9时,x12=S11(1)=238.6平平滑滑效果果差，，后期期数据据影响响大。。可以看看到：：对于于波动动变化化很大大的情情形，，由一一次的的指数数平滑滑曲线线来模模拟误误差很很大而对振振动较较小的的情形形，则则比较较合适适。1）平平滑系系数α∈(0,1)当α→0St(1)→St-1(1)预测值值接近近原来来估计计值即即前前期预预测数数据起起主导导作用用。当α→1St(1)→yt预测值值接近近上一一时刻刻的估估计值值。后后期实实际数数据起起主导导作用用，前前期预预测值值作用用很小小。(2004/10/25)2）指指数平平滑由St(1)=αyt+(1－a)St-1(1)递推St-1(1)=αyt-1+(1－αα)St-2(1)将St-1(1)代入St(1)公式中中,且且不断断代入入St(1)=αyt+(1－αα)[αyt-1+(1－αα)St-2(1)]=ααyt+α(1－αα)yt-1+(1－αα)St-2(1)=ααyt+α(1－αα)yt-1+……+(1－αα)S0(1)=αα∑[(1－αα)yt-k]+(1－αα)S0(1)其中S0(1)为初始始估计计值tt2k讨论：：a））考虑虑右边边第二二项，，(1－－α)S0(1)∵0<α<1即即有0<1－αα<1初始数数据加加权值值为(1－－α)S0(1)。这是是初始始值对对预测测值的的影响响大小小.若t>>0，，实际际数据据若t>50，则则(1－－α)→→0则(1-a)tS0→0可略去去,也也就是是初始始数据据的影影响可可不考考虑。。若t<50，一般般的可可选择择最初初几个个原始始数据据的平平均值值代S0(1)tttb）考考虑公公式右右边第第一项项α∑[(1－αα)kxt-k]为除S0(1)外其他他所有有已知知的数数据的的平滑滑值，，即影影响大大小权数为为：αα(1－αα)α(1－αα)α(1－αα):α(1－αα)012t-1这是一个公公比为1－α(<1)的递减指数数级数（或或几何级数数）加权系数变变化规律曲线即原始数据据平滑按照照指数平滑滑规律加权权构成，数数据越原始始，被平滑滑的部分也也越多。即即对预测值值影响越小小，反之影影响越大。。t-2tt-1c）由公式可可知所有原原始数据均均参与预测测值的构成成。即预测测结果包含含所有的已已知信息量量.这些量量的大小取取决于平滑滑系数α的大小。d）指数平平滑的平滑滑能力（修修匀能力））设数据序列列为常数趋趋势序列：：yt=a+ηt其中a为为常数,ηt可视做实际际值与a的偏差差，此为随随机项，应应有E[ηt]=0且且D[ηt]=σ对数据指数数平滑St(1)=α∑(1－－α)yt-k+(1－α)S0(1)2kt当t→∞,(1-a)tS0→0则St(1)=α∑(1－－α)yt-k=α∑(1－－α)(a+ηt-k)=αa∑(1－α)+α∑∑(1－αα)ηt-k=

aα/[1－(1－－α)]+α∑(1－－α)ηt-k取数学期望望E[St(1)]=a+α∑(1－－α)E[ηt-k]=a即E[St(1)]=E[yt]=akkkkkk考虑均方误误差：D[St(1)]=D[α∑(1－α)ηt-k]=α∑(1－α)D[ηt-k]=α∑(1－α)σ=α[1/α(2－α)]·σ=[α/(2-α)]·σ2<σ2即是说：指指数平滑使使原始数据据集中程度度提高，滤滤除了一些些随机误差差，使预测测值向均值值方向集中中，对原始始数据产生生了平滑效效果k2k222k222e)平滑能能力体现取取决于i)α↘D[St(1)]↘平滑能力增增强这种情况适适用于不规规则起伏，，但在某个个值上下波波动的时间间序列，经经验选取0.05——0.2ii)α↗,D[St(1)]↗平滑能力减减弱这种情况适适用于趋势势变化明显显的时间序序列使跟踪踪灵敏度提提高。经验验0.3--0.6iii）对于变化化不太大的的时间序列列，α取0.1——0.4以便于使早早期信息充充分反映到到预测值中中。3).指数数平滑预测测不断修正正误差:yt=St(1)=αyt+(1－αα)St-1(1)=St-1(1)+α[yt－St-1(1)]即下期期预测值=本期预测测值+α·本期预测误误差×系统为负反馈自自动控制系系统,有一定的自自适应能力力。2、二次指指数平滑二次,三次次乃至高次次指数平滑滑是多项式式模型中利利用指数平平滑进行模模拟而得出出的。利用用台劳公式式和卷积公公式定理以以求出多项项式参数.证明即定理理详见《预预测与决策策方法》1)预测公公式:假定定数据趋向向为线性趋趋势`yt+T=at+btT2)预测参参数公式第一次平滑滑St(1)=αyt+(1－α)St-1(1)第二次平滑滑St(2)=αSt(1)+(1－α)St-1(2)且at=2St(1)－St(2)bt=[α/(1－－α)][St(1)－St(2)]预测公式即即为yt+1=at+btT=2St(1)－St(2)+[α/(1－α)][St(1)－St(2)]T注:公式推推导参考(日)春日日井博<实实用预测入入门>郭明哲<预预测方法>二次指数平平滑仅适用用与线性趋趋势型.3.三次指指数平滑:假定已知知数据呈二二次曲线趋趋势1)预测公公式yt+T=at+btT+ctT22)平滑公公式S(1)t=αyt+(1－α)St-1(1)S(2)t=αSt(1)+(1－α)St-1(2)再进行一次次平滑St(3)=αSt(2)+(1－α)St-1(3)3)参数公公式at=3St(1)－3St(2)+St(3)bt=[α/2(1－αα)2][(6－5α)St(1)－2(5－4α)St(2)+(4－3α)St(3)]ct=[α/2(1－－α)2][3St(1)－3St(2)+St(3)]4)初始值值计算二次,三次次指数平滑滑预测均涉涉及初始值值的问题,书上介绍绍的为i)数据少少时,取最最初几个数数据的均值值为初始值值ii)数据据多时,以以第一期原原始数据为为初始值.指数平滑应应用----指数平滑异异同移动平平均线MACD(MovingAverageConvergenceandDivergence)美GeraldApple和W·FredrickHitsckler与1979年年提出.作用:运用用快,慢速速移动平均均线,加以以双重平滑滑运算,研研判买入和和卖出时机机,克服移移动平均线线易出现假假信号的缺缺陷,是研研判中期走走势和盘整整转势的重重要指标.1.平滑系系数α(N)=2/(N+1)若N=12日,即即α(12)=2/13=0.1538N=26日,即α(26)=2/27=0.07412.指指数平滑值值:(EMA)St(12)=α(12)·今日收盘价价xt+[1－α(12)]·St-1(12)即EMA(12)=α(12)·xt+[1－α(12)]·EMAt-1(12