二体问题(于万堂)

二体问题及质心系问题一．质心运动定理二.二体问题的动力学问题1f2112如果一个系统中有两个相互作用的质点,并且系统的合外力为零,1f2112m和m1 2

，两者之间的相互作 f 2用力分别f 和f21

，则有：f21

m11

m12 2 2 1 1

mm 所以有：aa

( )f

即：f

1 2 a

ua1 2 m1

m 2

21 mm 12 121 2其中u叫做约化质量。即：两个物体之间的相互作用力大小等于约化质量乘以两个物体的相对加速度。假如两个质点的质量分别为m和m1 2

，相距为r12

，如果以质m

1 C 2mC12r

2 r

r 1 r对以上两个式子求导得：v

m2 v

m1v

m 12 2C2m 1 vm

mm 121 2mm 1 2m

2C mm 121 2ma

2 a

a 1 amm 1 2

2C mm 121 2 m

又因为：f

1 2 a

所以：fma

fma21 mm 121 2

11C

2 2C即：二体问题中，两物体之间的相互作用力等于物体的质量乘以物体相对于质心的加速度。【动量问题】对于有相互作用的两个质点，其质心坐标为x

mxmx 11 2 2C mm1 2 m

m

对上式求导得：v 11

22

m)v mvmvC mm1 2

1 2

11 22m

)

) m

m01 C 1

2 2 C

22C

11C即：两个相互作用的物体，以其质心为参考系，系统的动量为零。【动能问题：当质量分别为m和M的两个小球在同一直线上分别以速度v和v 运动时，1 21）他们质心的运动速度（v-v）1 2如果两球发生正碰，说明只有第二项发生了改变（4）在（3）的情况下给出恢复系数和总动能损失E之间的关系式【习题】水平光滑桌面上有两个质量分别为Mm的两个物体，两者用一根劲度系数为k的弹簧连m化质量概念求出此后弹簧的最大压缩长度水平面上有一辆质量为M的小车，车内有一平台，平台上有一根轻质弹簧，弹簧一端与小车的后壁固定，将弹簧压缩一定线度后锁定，并将一个质量为m的小球靠在压缩弹簧的（）小车固定）切摩擦。质量为M的粒子以速度v0运动，与质量为m的静止粒子碰撞，求第一个粒子在碰撞后的最大偏角？碰撞时完全弹性的。质量为m的小珠子套在质量为M具有速度v，而环静止，求在以后过程中珠子的最小动能，不计一切摩擦。B两个可看做质点的物体，其质量分别为m、m/2，中间以劲度系数为k、原长为l的轻弹簧相连接。质量为m/232kl23m32kl23m

方向为垂直弹簧的初速度与B发生碰撞，且碰后立即粘成一个整体D。求此后运动过程中A、D间距的最大值与最小值。M哑铃是质量为M和2

的两个小球分别固定在轻硬杆的两端，现将该哑铃放在光滑的水平m的小球沿着桌面朝垂直哑铃方向运动Mm和M比例的时候会发生第二次碰撞MvM/2v6.（23届复赛）如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l质量为m的小球DM的小球Av0沿垂直于杆DB的方间与右端小球B的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况。BDC213ABCDDA，BDC213A（图中穿过弹簧的那条竖直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘两者未粘连为111在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰．求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间．321 2 2 1 28—2L的小车，车内两端靠近底部处llk和kmm的小球，弹簧与小球都不相连。开始