2018江苏奥数夏令营-平面几何6月25日

2018年奥数夏令营讲义——平面几何目录一、等差幂线定理 错误 !未定义书签。二、共边比例定理、分角张角 错误 !未定义书签。共边比例定理 错误 !未定义书签。分角定理 错误 !未定义书签。张角定理 错误 !未定义书签。三、Menelaus、Ceva、Pascal定理 错误!未定义书签。梅涅劳斯(Menelaus)定理 错误!未定义书签。赛瓦(Ceva)定理 错误!未定义书签。Pascal定理 错误 !未定义书签。四、三角形五心 错误 !未定义书签。三角形的内心 错误 !未定义书签。三角形的外心 错误 !未定义书签。三角形的重心 错误 !未定义书签。三角形的垂心 错误 !未定义书签。三角形的旁心 错误 !未定义书签。五、等角共轭 错误 !未定义书签。等角共轭 错误 !未定义书签。等角共轭点 错误 !未定义书签。Simson定理、托勒密、三弦定理 错误!未定义书签。Simson 定理 错误 !未定义书签。Ptolemy 定理 错误 !未定义书签。三弦定理 错误 !未定义书签。Stewart定理 错误!未定义书签。八、欧拉定理、欧拉线、欧拉圆 错误 !未定义书签。九、圆幂定理、根轴、根心 错误 !未定义书签。十、内外角平分线定理、线段的“分割比”、阿波罗尼斯圆 错误 !未定义书签。十一、调和点列、线束 错误 !未定义书签。十二、顾冬华20题 错误!未定义书签。注：第81题、第104题、第124题为同一题，分别由三位老师提供，诠释角度不同，故仍然顺应内容重复编排在内，方便备课 .等差事线定理.如图，点P为4ABC内部一点， PL、PM、PN分别垂直于BC、CAAB,且AMAN,BNBL.求证：CLCM.【证明】由定差哥线定理TOC\o"1-5"\h\z2 2 2PN AB PA PB NA NB;PL BC PB2 PC2 LB2 LC2;2 2 2 2PM CA PC PA MC MA.上述三式相加，结合AMAN及BNBL,得CLCM.DFC「.疹手/一次+理■）朋.，在正方形对角线乩上一点（不与反『.重合），厄_LBC、PF\DFC「.疹手/一次+理■）朋【证明】二〃+R卢+/则【证明】连接以，//CA-'=五犹得麻13二应好=如J血E4.如图，在4ABC【证明】连接以，//CA-'=五犹得麻13二应好=如J血E4.如图，在4ABC中，CDAB,BEE是垂足，CD与BE交于点H.证明：AHBC.证明：在凹四边形ACBH中，在凹四边形ABCH中，由BH由CHAC得于是，在凹四边形ABHC中，得到ABAB得AC2 ：ABCH2 _ 2CHBH2_2BCAC2一2 2BC2AH2.2AH.2 ... _BH,贝UAHBC..在△.扳中，8产*Cf-5AB--求证：|灰和山边上的中线⑼和及互相垂直.1AD1BE由此题可得△ABC垂线H的一个性质：AB2CH2BC2AH2AC2BH2.在五边形施出中，曲二阮^BCD=2BAE=9Q‘，/为五边形内一点，且炉.。二，二丁"求证： ^【证明】连接用延长交正”,由”工BE.CP_L时,得：/手暗=4Bp,庆1/庐士靖两式相减：. ^ ： ) .即：B#式P卡=瞄4炉，由凹四边形得：BP_L龙.如图，在四边形ABC珅，E和F是0口BC上的点，AB=AQDFJ_.店如_La：AD1DC求证：证明：在四边形ADEF中，由DF，亚及定差哥线定理得由-加一①’-房,又因为AB=AD舫.L8"提_1_必所以/或-U戌*B内=用炉胫M,即加'-W-成，由定差哥线定理知^若点P在△ABC三边BC、CA、AB所在直线上的射影分别为X、Y、Z.证明：自YZ、ZX、XY的中点分别向BC、CA、AB所作的垂线共点.证明：由三角形中线长公式，有 m21(b 2 2 2 _2 2 2(XC2XB2YA 2 2 2 _2 2 2(XC2XB2YA2YC2ZB2ZA2).2由DX，BC,EY±CA,FZ±AB,则 XB2XC2BD2CD2TOC\o"1-5"\h\z1 2 2 1 2 1—2—2 1 2(BZ2BY2) YZ2 (CY2CZ2)YZ22 4 2 41 22 2 2-(BY2BZ2CY2CZ2).2同理， YC2YA21(CZ2CX2AZ2AX2)22 _2 1 2 2_2_2ZA2ZB2-(AX2AY2BX2BY2).2以上三式相加，得2 2 2 2 2 2XB XC YC YAZA ZB设以,与E尸交于M点，则由定差塞线定理可得-MC-XEF-XC靖-比-浮-r>代入（*）得/-披/#Q，呼>2/- =o即,• ’ ；所以M在过,引AB的垂线上，所以以「、W、成'|三线共点.8.以锐角△ABCW一边AC为直径作圆，分别与ABBC交于点K、L,CKAL分别与△ABCW外接圆交于点F、D(FWC,DWA),E为劣弧AC上一点，BE与AC交于点N,若AF+BD)+CE=AE+CD)+BF.求证：/KNBZBNL.证明如图，由于以AC为直径的圆分别与AB、BC交于点K,L,则CK^AB,AL±BC.设CK与AL交于点H，则H为△ABC的垂心，故点H与F关于AB对称，点H与D关于BC对称.从而，AFAH，CDCH，BDBHBF.222222由AFBDCEAECDBF，有222 2AH2CE2AE2CH2.即AH2CH2AE2CE2.由定差哥线定理知， HE±AC.又注意到H为垂心，有BH±AC.故知B、H、E三点共线.因为N为边AC与BH的交点，则BN±AC.故/KNB/BNL.二、共边比例定理、分角张角共边比例定理9.如图，4ABC中，DE//BC,BE、CD交于P.求证：直线AP平分BC和DE【证明】设直线AP分别交BC、DE于M由共边定理，得ADSaacpAE SaabpBDSABCPCE SACBP所以S^ACP SXABP,则sAcp2ABP.SABCP SACBP又由共边定理，得BMSABAPBM,所以——CMSacapCM又易知Sabpd Sacpe,贝USadapSaeap.由共边定理，得DHSdap1,则DHHESAEAP故直线AP平分BC和DE.、H.,而DE//BC,则处AEBDCE1,即BMCM,所以M是BC的中点.HE,所以H是DE的中点.io.过圆外一点p引圆的两条切线和一条割线幽，pb、侬割线加交圆广点，，在a上取一点g使/用0=/延匕求证：/用广=^DBC【证明】设乙如6=上PBC=^QbB=上聿、dPAC=^ADC-/民由共边比例定理，得：警二W二黑!（」£班为金川u占阳f的高）•jj理匕jBrrWJffm心敬 AP-ACSin^ 心敬 AP-ACSin^ 丸,口扣 AC又——= =- *得-二一人£）皿 那•砥痂q DCSinci1寸物 及连接H则3曲0~XBAC,/.嗡=J.「.77=3=♦：=卷匕/必0= 龙i.:.△曲g\\BAC,，/*J=/隧.। 面pyp£11.在改内任取一点P,连结PA PEB PC分别交对边于 X、Y、Z点.求证：£+R/亓二/An T£" £L证明：由共边比例定理知:PXFFPZ_[A艇1 [萨加，0丽证明：由共边比例定理知:万’例*&=豆夜,[SABC].[AABC]

12.已知eO是△ABC的内切圆，长交十点.求证：是的中点.D、E、N分别为、、上的切点，连结并延长交于点，连结并延证明：如图，联结OD，OE,由O、D、B、N及O、N、C、E分别四点共圆有KOD=KOEC.由共边比例定理，有DKS\ODKODOKsinDOKsinDOKsinBACKESAOKEOEOKsinKOEsinKOEsinCABB，DKSaadksinDAKKESaaeksinEAK于是BMS\ABMABsinBAMABsinDAKABDKABAC1MCS\ACMACsinCAMACsinEAKACKEACAB1故M是BC的中点.分角定理13.在等月ABC中，/A<90°,从边AB上点D引AB的垂线，交边AC于E,交边BC的延长线于F.求证：AD=CF当且仅当^AD的积是^CEF面积的两倍.【证明】连接BE,则EA外分BED.设AED,AEB,作EMBC.由分角定理得：sin ADDE 小:sin ABBE在BEF中，EC内分BEF,由分角定理得：sin CFEF …:sin BCBEBC由①=②且ADCF,得DEBCEF.ABBC设ABC,在等腰ABC中，有EC2cos.AB•••DE2EFcos，•二DE2EM,••SADE2SCEF.以上过程均可逆.14.设^ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD4DC,已知圆过点C与AC交于F,与AB相切于AB的中点G求证：ADBF.【证明】设BAD,ABF,DAC.在ABC中，AD内分BAC,则：sin BD.AB4AC.4AC

^ABsin DC-ACAB4AC

^AB又sin sin(— )cos,：.tan2AF又在RtABF中，tan=.AB一 x ,ACAF2AGtan tan 4 z-,又AB2AGAB2•••AB24AG24AFAC(切割线定理)tantan1,从而一，ADBF.2.4ABC是等腰直角三角形，/BAC=90,AB=AC以AB为一边作^ABD且AD=BD若/AD(=15°,求证：△ABD^等边三角形.证明：设/DAB=白.在&犯Z■中，在AB边上用分角定理可得：BEBDsin^BDE(180f-2口- )sid<Sa*15Q)EA-ADsin215a~ siEQ 一sinl5a在&耳战中,在AB边上用分角定理可得：BEBCsin^BCE展i而“白十寸-43e)晤M通/-30f)EA-ACsinACE~siii^(90p-Q-250)"coslrii(a*因)所以必!他白弋15,}_JSsi同2-30^)sin]5^ 七□亚三(a/15°)解得白:6。：所以SABD^等边三角形张角定理.已知AM是4ABC的BC边上的中线，任作一直线顺次交AB,AC,AM于P,Q,N.求证：AB,皿,改成等差数列.APANAQ【证明】令BAM,MAC,AMB.以A为视点，分别对P,N,Q及B,M,C应用张角定理，有sin()sinsin ①ANAPAQ'sin()sinsinAM又在ABM和sin怎ABACAMC中，由正弦定理，有sinsinsinMBACMC由已知MBMC,上述两式相除得如"ACABsin()2sinAMAB2sinAC,于是②式可变为:sinABsin()

2AMsinACsin(2AM代入①得,AM1/AB(AN2AP空)AQ+，ABAM故——,-APANAQACAC成等差数列.如图，在线段AB上取内分点M,使，分别以MA,MB为边，在AB的同侧作正方形和MBEF,和分别是这两个正方形的外接圆，两圆交于 M,.求证：B,,三点共线.证明连MD,ME,NE,ND,NM,贝U/DNM/ENM90,贝UD,N,E三点共线，注意/DME45 45 90.设/DMN/NEM,eP,eQ的半径分别为r1,r2,则MC缶,MB@2,MN2rlcos2r2sin.对视点M,考察点B,C,N所在的三角形△MBN.由sin/CMBsin/CMNsin90sin(45)172sinsin(45)MN MB 2r2sin 2r2 2r2sin1sincossincos2sincos2r1cos 2r1coscossin2cos(45)cos(45)2r1 2「1 .2rlsin90 45sin/NMB2r1 MC.由张角定理可知B,C,N三点共线.三、Menelaus、Ceva、Pascal定理梅涅劳斯（Menelaus）定理 BDCEAF设直线l与ABC三边所在直线 BC, CA AB分别交于点D, E, F,则空CE 2F 1DCEAFB反之，若三角形三边所在直线上三点使得上述等式成立，则该三点共线 ^利用面积转换，可得出如下两个角元形式：第一角元形式：sinBADsinCBEsinACF,1sinDACsinEBAsinFCB第二角元形式：sinBODsinCOEsinAOF,1sinDOCsinEOAsinFOB（O为不再三边所在直线上的任意一点）18.AD为锐角三角形ABC18.AD为锐角三角形ABC勺一条高，K为AD上任一点,BKCK的延长线分别交ACAB于点EF.求证：/EDK=/FDK证明：过点A作MNBC与DEDF的延长线分别交于点MN…AFBD由于后DCANAMT1AN=AM即ANAMT1AN=AM即DA是等腰三角形DMN勺底边上的高,从而/EDA=/FDA19.在^ABC中，AMAT分别为BC边上的中线与角平分线.TK//AC19.在^ABC中，AMAT分别为BC边上的中线与角平分线A股空1故CMKA.〜 iBTC设AB=C,BC=a,CA=bA股空1故CMKA.〜 iBTC设AB=C,BC=a,CA=b，则乔bAD1DBAKKMacBT=不abCT=节.aaba(c—b)MT=CM-CT=2-市=昌., AKCT2b但TK//AC—=—=一-KMTMc-bADDBc—bADADbADb—= =-即一=-ABANDBcccAD=b=AC故证.20.如图，四边形20.如图，四边形ABC珅，A*CD所在直线交于点E,AD与BC所在直线交于点F,BD与EF所在直线交于点H,AC与EF所在直线交于点直线交于点H,AC与EF所在直线交于点G求证：HEFGHFEG.【解析】考虑AEF被直线HBCO,应用梅涅劳斯定理可知ABBE考虑AEG被直线BCFB,同理可得地受BEFGGC1CA考虑AGF被直线ECDB,AC同理可得JACCGGEEFFD1DA②x③+①可得GEHFFGEH1 ABBE考虑AEG被直线BCFB,同理可得地受BEFGGC1CA考虑AGF被直线ECDB,AC同理可得JACCGGEEFFD1DA②x③+①可得GEHFFGEH1 所以原命题成立21.如图，已知于点P,QABC的内切圆分别切BCCAAB于点D若直线FE与BC交于圆外一点R,证明：P,E、Q,F,线段BE、CF分别与该内切圆交R三点共线.【析】考虑ABC被直线EFRB,应用梅涅劳斯定理可知AFBRFBRCCE1,因为EABRFBAF=AE所以/金，如图，设BE与CF交于点S,则RCCEEFC~QEC,FEB~PFB,SEQ~SFPEHFD/1HFDACQCEFPFESPFP所以，————, ,-EQEFPBFBSQEQ考虑SBC及三个点P,QRSPBRCQ SPCQBR FPCQBR FPCQBR FECEFB d1PBRCQS SQPBRC EQPBRC PBQERC FBEFCE由梅涅劳斯定理的逆定理可知， P,QR三点共线.22.已知△ABC的内心为I,外接圆圆心为QBC中点为N,NI与AC交于点P,B点相对的旁切圆圆心为MMI与圆O交于点E,过M点的直线l与AC平行且与BC所在直线交于点F.求证：P,E,F三点共线.【析】如图，连结BI,设MI与AC交于点D,易知,【析】如图，连结BI,设MI与AC交于点D,易知,B,I,D,E,M五点共线.BF因为MC平分ACF,所以Mf=CF,且BFFCBFBCMFDC考虑BCD考虑BCD被NIP截，应用梅涅劳斯定理知BNCPDI彳——————1NCPDIB又因为DLCD,所以BIBCBNCPCDNCPDBC1.所以SPPD又因为又因为DLCD,所以BIBCBNCPCDNCPDBC1.所以SPPD又因为BCD~AED所以BCAECDeD，BFCP所以 FCPDBC［、［ 所以CDAE2DE2.BFCPFCPDBC2CD2.而ABEAE而ABEAE~DAE,则生BEDE_, 2f——，所以AE2DEBE.AE所以BFFCCPDEBEPDDE2所以BFFCCPDEBEPDDE2所以由梅涅劳斯定理逆定理知,BEDEP,BFCPDEd所以 1.FCPDBEE,F三点共线.赛瓦（Ceva）定理设点P不在ABC三边所在直线上，直线AP,BP,CP分别与BCCAAB交于点D,E,F,则1,反之，若三角形三边所在直线上的点使得上述等式成立，则ADBECF1,反之，若三角形三边所在直线上的点使得上述等式成立，则ADBECF交于DCEA?B一点或互相平行Ceva定理角元形式：为了方便，我们可以从某个角开始， 把六个角顺时针（或逆时针）标记为1至日…sin1sin3sin5,TOC\o"1-5"\h\z6,则 1.sin2sin4sin6或者改为判断过 ABC的顶点的三条直线AX,BYCZ是否共点,生人工sin BAX sin ACZ sinCBY 彳等价于 1sin XAC sin ZCB sinYBA23.在△23.在△ABC中，已知BAC40°,ABC60°,D,E分别为边AC,AB上的点，且使CBDBCE70°,F是BD与CE的交点，连结AF,证明：AFBC.【析】设BAF，则CAF40 ，如图用角元sinsin10sin40sin(40)sin70sin20sinsin102sin20c°s20彳sin(40)sin70 12sin10c°s10sinsin201sin(40)2sinsin(40)c°s10sin(40)c°s(10)c°s(10)sin(40)sin(100)sin(80)sin(80)sin(100)sin(40)2cos(70)sin30sin(20)所以802030Ceva定理可知:sin1024.在锐角^ABC中，AD是A的内角平分线，D在边BC上，过D作DEAC,DFAB,垂足分别为E,F,连结BECF,它们相交于点H,求证：AHBC.【析】过A作AKBC于K【析】过A作AKFBKCEABK由题意知A,F,D,K四点共圆，则BFBABDBKA,E,D,K四点共圆，则CKCDCECABDBKBFBA,所以 又因为AD平分BACCDCKCECABDAB

所以————所以

CDACBKCKBFCE又因为AF=AE所以BKCEAF1.CKBFEA所以由赛瓦定理逆定理知原命题成立 .25.四边形BCE呐接于圆Q其边CE与BF的延长线交于点A,由点A作圆O的两条切线AP和AQ切点分别为P,QBE与CF的交点为H,求证：P,H,Q三点共线.【析】考虑连结FQQB只须说明H是FBQ的赛瓦点即可设BFPQK,FQBEL,BQCFMnttFK Sfpq PFFQ BM SFBC FBBC则 ； ；KB SPBQ PBBQ MQ Sfqc FQCQQLSeqb EQQBLFSefb EFFBFKBMQLPFEQBC所以 （*）KBMQLFPBCQEF因为APF~ABP,AQE~ACQ,AFE~ACB2PFAPEQAQBCAC AP所以————,————,————所以（*）可化为 1（圆帚7E理）PBABCQACEFAF ABAF所以由赛瓦定理逆定理可知 H在PQ上，所以P,H,Q三点共线..如图，在^ABC中，/BAC=90。，G为AB上给定的一点（G不是线段AB的中点）.设D为直线GC上与C G都不相同的任意一点，并且直线 AD BC交于E,直线BDAC交于F,直线EEAB交于H试证明交点H与D在直线CG^的位置无关.证明：设G分线段AB为定比入1,H分线段AB为定比入2.下面证明入2由入i确定，即当AB给定后，点H的位置由点C唯一确定.在△ABC中，由AEBRCG交于一点D,应用塞瓦定理，有AGBECF口.BECFGb'Ec'fA=1，即11.EC，FAT1. ⑴对^ABCM截线EFH应用梅涅劳斯定理，有AHBEHBEC(1)+(2)(2)CF口口AHBEHBEC(1)+(2)(2)FA=1,即12・氏・*=t,BECF八，得(入1+入2)ec-fa=0.从而入1+入2=0,即入2=一入1,故入2由入1唯一确定.因此，点H与D在直线CG上的位置无关Pascal定理圆0上六点Ai,A2,A3,A4,A5,A6,则A)A2,A4A5,A2A3,A5A6,A3Ai,A6A|的交点X,Y,Z共线.考虑A3ZA6三顶点引出的直线AA2,ZX,A6A5与两边所成角的正弦值sin A2A3Z sin A5A6A3 sin XZA6 sin A2AA4 sin A5A4Z sin XZAiTOC\o"1-5"\h\zsin A2A3A6 sin A5A6Z sin XZA3 sin A2AA6 sin A5A4A sin XZA4 （*）在AA4Z中，对点X运用Cev独理（角元形式）sinXA1A4sinXZA1sinXA4Z 1sinXA1ZsinXZA4sinXA4A所以（*）为1,由Ceva定理（角元形式）逆定理知原命题成立 .【注】结论与六个点在圆上的次序无关 .六个点中相邻两个点若重合，则对应两点连线变为该点的切线，从而六边形可以变为五边形或者四边形甚至三角形 ^. 4ABC内接于圆O, P为BC弧上一点，点 K在线段AP上，使得BK平分 ABC,过K, P, C三点的圆与边AC交于点D,连结BD交圆于点E,连结PE并延长与边AB交于点F,证明：ABC2FCB.【析】设CF与圆交于点S,考虑圆上六点形KPEDCS由Pascal定理可知B,K,S三点共线.设圆与BC交于点T,连结KT,则KTCKPCAPCABC2KBC.所以KBCBKTSCBFCB，所以ABC2FCB.28.如图，六点 A, B, D, E, F, C在圆周上顺次排列， ABAC AD与BE交于点P, CD与BF交于点QAF与CE交于点R,SKQACE.求证:AD与BF交于点S,SKPQ.TKRQAF与CD交于点T,在线段TS上取一点K,使得【析】由Pascal定理可知,P,QR三点共线.因为DBSFCT,BDSAFBCFT,所以BDS~CFT.所以BSCTBDQB————，所以CFQCBCTQKSKQSTQACEBCQABDE APB,同理，SQKARC,所以SKTK2

SQsinSQKSQsinARCTQsinTQKTQsinAPB又因为输ARCsinAPBsinARCsinABPACAPAPsinARPsinACRsinAPBARABARsinAPRSK所以SKSQsinARPPQsinRTQPQSTsinAPRTQsinPSQRQRQ.如图，4ABC的外心为QCD为高线，M为边AC的中点，射线DM与以AD为直径的圆的另一个交点为Y,圆与。O的另一个交点为X,直线DO与AC交于点Z证明：X,Y,Z三点共线.【析】设Z是XYAC的交点，下面证明： Z,O,D共线即可.设直线XYZ′交圆O于点L,连结X印延长交圆O于点P,那么AXPAXD90,从而__ —-',.…A,O,P三点共线，所以连结AOP因为Z是XYAC的交点，即XL与AC的交点，而延长CD交圆O于点G则D点就是XP和CGW交点，此时考虑六点形CAPXLG只要能证明O是AP和LG的交点即可由Pascal定理证得.所以下面证明：L,O,G三点共线.要证L,O,G三点共线，只要证：LBBG因为LBALXAYXAYDA，所以 LBMDBGMDCMCDDBG证毕..如图，过4ABC的顶点ABC各作一直线使之交于一点P,而分另1］交4ABC勺外接圆于点A、B、C.又在△ABC勺外接圆上任取一点Q,证明：QA、QB、QC与BCCAAB对应的交点X、Z、Y三点共线 .证明：在圆内接六边形BCAAQB中，其三组对边BC与AQCA与QB、AA与BB的交点分别为X、Z、P.由帕斯卡定理可知， P、X、Z三点共线.在圆内接六边形CBAAQC'中，其三组对边CB与A'QBA与QC'、AA与C'C的交点分别为X、Y、P.由帕斯卡定理可知， P、Y、X三点共线.故X、Z、Y三点共线 ..如图，点P在△ABC勺内部，P在边BCCAAB上的射影分别为DE、F,过点A分别作直线BRCP的垂线，垂足分别为MN求证：MENRBC三线共点.证明：由题设有/AEP=/AFP=/AMP=/ANP=90o.从而，点AN、F、P、E、M都在以AP为直径白^圆上.于是，对于圆内接六边形 AFNPM，E它的三组对边AF与PMFN与MENP与EA的交点分别为RQC由帕斯卡定理可知， B、QC三点共线.则点Q在直线BC上.故MENRBC三线共点.四、三角形五心三角形的内心TOC\o"1-5"\h\z三角形的内切圆的圆心简称为三角形的内心 ^性质1:三角形的内心是三角形三条角平分线的交点 ^性质2：设I为ABC内一点，AI所在直线交ABC的外接圆于D,I为ABC内心的充要条件是：ID=DB=DC（鸡爪定理）1 _ _ __【证明】如图，必要性：连 BI,由DIB- A- B CBDIBC DBI\o"CurrentDocument"2知ID=BD=DC充分性：由DB=DC即知AD平分BAC.由DI=DB有DIBDBI即DBCCBIIABABI,而IABIACDBC从而CBIIBA,即BI平分ABC故I为ABC的内心.性质3：设I为ABC内一点，IABC的内心的充要条件是： EC,ICA,IAB的外心均在ABC的外接圆上..已知，如图I为4ABC的内心，过I的BC的垂线交4ABC的外接圆于P、QPAQA交BC于E、F,求证：A,I,E,F四点共圆.【析】如图，连结AI并延长交外接圆于S,1一一因为SCB-ASAC

2那么易知SCP~SJC,所以共圆.又因为SI2SC2SPSJ又因为SAPKJP1一一因为SCB-ASAC

2那么易知SCP~SJC,所以共圆.又因为SI2SC2SPSJ又因为SAPKJP,所以CPJ,所以SCJ180SCB180CPJSPC.KJSSCPSAP且SC2SPSJ,所以A,K,P,J四点SIP~SJISIPSJI,IJBIJSKJSSIPSCPSIPIAPIPE.IPBCIJAP,所以E为IPJ的垂心，则IEBIPJ180QPS180QASIAF所以A,I,E,F四点共圆..已知：如图，QI分别为4ABC的外心和内心，点B为点B关于OI的对称点.求证：过点I,B#ABIB外接圆的切线，交点在AC上.' ' '【析】设O为BIB外接圆圆心，则O在OI上,一_、一_ ,___延长BI交圆O于M设MB交AC于E,由例1知MEIMIB2IBBIOB'_一，所以，I,O,E,B四点共圆，注意到OIBB,MCE〜MBC,于是OECOEMCEMOIBMCBOIBIBB90设过点I,B的圆O切线交点为D,则O,B,D,I四点共圆，从而O,E,B,D,I五点共圆.从而OEDOBD90OEC所以，D在EC上.34.已知圆O内切圆O于点D,A为大圆O上任意一点，圆O的弦ARAC分别切圆O于点E,F,EF交AO于点I,求证：I为AABC的内心.【析】延长AO交圆O于点M设BAC2,圆O,O的半径依次为R,r,由性质2(鸡爪定理)知，只要证明MIMB2Rsin即可.由圆哥定理知：2Rrr2R2(Rr)2R2OO’22r oAOOMAO(IMIO)AOIMAOIOAOIMOE2—MIr2sin整理得MI2Rsin三角形的外心三角形的外接圆的圆心简称为三角形的外心 .性质1：三角形的外心是三角形三条边的中垂线的交点 .性质2：三角形所在平面内的一点是其外心的充要条件是：该点到三顶点的距离相等性质3：设O为ABC所在平面内的一点，则 O为ABC的外心的充要条件是下述条件之一成立:1)BOC2A,AOC2B,AOB2COBOC,且BOC2A35.设O为4ABC的外心，连结AO并延长交△ABC35.设O为4ABC的外心，连结AO并延长交切线l交于P,直线PO交AB于N,交AC于M求证：OMONBC【析】过B作PO平行线交AD于F,交AC于G,彳OEBC于E,则O,E,P,D于E,则O,E,P,D四点共圆FDEOPEPM//PCOPEF,E,D,B四点共圆，FBE,FDEFBEFEBBDACFE//CG因为E为BC中点，所以F为BG中点,所以O为MNf点.36.设4ABC的外接圆O上的劣弧？C的中点为K,优弧BC的中点为S,线段AK与BC边交于点D,点E,F分别为/\ACD,4ABD的外心.求证：A,E,QF,S五点共圆.【析】如图，由题意知S,Q,K三点共线，下面证明S,E,C三点共线.易知SCCK,DCKECDKSCECDKACECD1802KACKAC KAC90KAC902所以S,E,C三点共线，同理S,F,B三点共线.设ADB,那么由F是ABD的外心可知BFA360 2在AQK中，AQK1802QKA1802( 90)3602在AEC中，AEC2ADC3602所以AFB AQK AEC所以AFS AOS AES所以结论得证.37.过B,C作^ABC的外接圆的切线交于D,B、B关于AC对称，C、C关于37.过B,C作^ABC的外接圆的切线交于的外心，求证：AOBC.DBC360DBC2ABC360A2ABC2CA..… ,__'同理可得DCB2CA所以DBCDCB..__一.'''' 1'—' 又因为DB=DC且CBCBBC所以DBCDCB,DCDB,CBDBDC-一^ t t -一^ _ tt所以CDBBDC所以DBC~DCB取DBC的外心F,则DFB~DOBTOC\o"1-5"\h\z由于CAC2A2DBC2DBC COD所以CAC~COD ACCOCD, ACO CCD(AO,CD)OCDFBDFDC「ACOC z…(AO,CD)OCDFBDFDC且一T——T所以CAO~CCD,所以CCDC所以AODFBCAOBC三角形的重心三角形三条中线的交点称为三角形的重心性质1:设G是AD2-(AB2

2性质2：设G性质1:设G是AD2-(AB2

2性质2：设G为AGGD=2:1且AC2)-BC24ABC的重心，P为ABC内任一点，则(1)AP2BP2CP2AG2BG2CG23PG2__2_2__21.2 _2_2⑵GA2GB2GC23SB2BC2CA2)证明：(1)设D为BC边上的中点，则对APG和DPG分别应用余弦定理可得_2 _2 23PG2APAGPG2AGPGcosAGP,PD2DG2PG22DGPGcosDGP而AG2DG,cosAGPcosDGP,于是，AP22PD2AG22DG又因为PDDG分别是BPC的BC边，BGC的BC边上的中线，有2PD2PB2PC21BC2,2DG2BG2CG2-BC23PG2从而AP2BP2CP2AG2BG2CG23PG2TOC\o"1-5"\h\z“、9_2 1 2 7 1-29” 1 2 -2 1”(3)-AG2 (AB2AC2) BC2,BG2(AB2 BC2)AC24 2 4 4 2 49o1oo1o-CG2-(BC2AC2)-AB2,此三式相加整理得4 2 4_2 _2 2 1 2 _2 _2GA2 GB2 GC2 -(AB2 BC2 CA2)38.证明：以锐角三角形各边为直径作圆，从相对的顶点作切线，得到的六个切点共圆【析】如图，设ABC的三边分别为a,b,c,圆O是以BC为直径的圆，AT切圆O于T点.(由AO垂直平分ST可知目标圆圆心在AO上，同理其他两组也在对应中线上，所以探究重心是可行的了)1c CC连AO在AO上取点G使得A62GO则G为ABC的重心，连结OTGT由AO-v'2b22c2a2,2 2 2 2 TG OTOG2OTOGcosTOA「 一 OT__1__1一及cosTOA,OT-a,OG-OA,OA2 3,o1,0.0o. 1.0.0o.有TG2—(a2b2c2)为定值，同理其他五个切点到G的距离的平方均为一(a2b2c2),证18 18毕..证明：任意三角形的垂心H重心G和外心O三点共线，且H32GO法1:如图1,设M为AB中点，连结CM则G在CM上，且CG2GM连结OM则OMg直平分AB延长OGiUH，使得HG2GO,连ZCH,因为CGHMGO，所以CHG〜MOG,

从而CH//OM,即CHAB,同理，AHBC,即H为垂心，命题得证法2：如图2,作出圆O,连结AO并延长交圆O于点N,连结NBNCBHHGGO因为NBAB,CHAB,所以NB//CH,同理，NC//BH所以四边形HBNC是平行四边形.所以C件NB,又因为OM是ABN的中位线，所以OM:NB1:2,所以OM:CH1:2HCGOMG,GM:GC1:2CHG〜MOGCGHMGO所以QG,H三点共线且HG2GO.已知^ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,ADEF是△ABC的任意内接三角形，试以a,b,c表示ADEF的三边平方和的最小值.【析】首先，证明一个结论：若G【析】首先，证明一个结论：若G为ABC内的任意一点,G到三边BCCAAB的距离分别为x,y,z,则当x:y:za:b:c时,2 2 2 2 2 2、2 2 2 2 2 2、(xyz)(abc)2 2(axbycz)4Sabc所以x22，一，•，z的最小值为所以x22，一，•，z的最小值为24SABC~~2 2abc设G为DEF的重心，则由中线长公式可知GD21[2(DE2DF2)EF2],GE2-[2(DE2EF2)DF2]9 9 2 1 2 2 2GF[2(EFDF)DE]9三式相加得DE2EF2FD23(GD2GE2GF2)从G点向ABC的三边BCACAB引垂线，垂足分别为D0,E0,F0,则DE2EF2FD23(GD02DD02GE02 2 2 2EEoGFoFFo 2 2 23(GDoGEo GFo)12sABC~ 7-2 2abc三角形的垂心三角形三边上的高线的交点称为三角形的垂心 ^性质1：设H为ABC的垂心，则BHC180A,CHA180三角形的垂心三角形三边上的高线的交点称为三角形的垂心 ^性质1：设H为ABC的垂心，则BHC180A,CHA180B,AHB180C性质2：设H为ABC的垂心，则H,AB,C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心（这样的四点组为一垂心组，且一个垂心组的四个外接圆的圆心组成另一垂心组）性质3：设H为ABC的垂心，则①H关于三边的对称点均在 ABC的外接圆上②ABC,ABH,BCH,ACH的外接圆是等圆③H关于三边中点的对称点均在 ABC的外接圆上性质4：在ABC中，H是垂心，L,MN分别为BCCAAB的中点，D,E,F分别为三高之垂足，P,Q,R分别是AHBHCH的中点，则L,MN,DE,F,P,QR九点共圆，称为ABC的九点圆.41. △ABC勺外心O与垂心H的连线段的中点恰是九点圆圆心.证明：九点圆半径是其外接圆半径的一半.【分析】如图，连结NPLRPRNL,PL因为NP是△ABH勺中位线，所以NP如图，由四边形HCXB是平行四边形可知，A,QX三点共线1 .且Y,H,L,X四点共线，由欧拉线性质可知PH-AHOL21_且因为PHHPTOLT,PHTLOTPHTLOTHAXTPOAABC242.设^ABC的内切圆与边BCCAAB分别相切于点△DEF的垂心H三点共线.D,E,F.求证：^ABC的外心Q内心I、【析】连结AI并延长交圆O于点M连结OMdhIDOI,IH,要证O,I,H三点共线，因为IDDHIMOMOIMihdOMIIDH2rsinFEDcosFDE八 DH2rcosFDE-sinFED IDDHOIMIHD所以原命题成立.IDIMBMOMOM2cosFDEIMOIHIHD而A2RsinA 22sinAR22cosAFE2sinA243.如图，设H为^ABC的垂心，L为BC边的中点，P为AH的中点，过L作PL的垂线交AB于G交AC的延长线于S求证：G,B,S,C四点共圆.ACBACB.OM，OA，【析】如图，要证 G，B，S，C四点共圆，只要证： BGS BCS，即要证： AGL由题意知PL是ABC的九点圆的直径，考虑作出 ABC的外心Q取AB的中点M连结那么AOMACB，由九点圆性质知： H，O，N三点共线，且N为OH中点，所以PNPNGLAOGLAGLAOMACB证毕.44.如图，AD, BE分别是锐角 4ABC边BC AC上的高，M是AB中点，AD, BE交于H,圆ABH使圆MDEFP,Q求证：MQEDPH^点，且交点在△ABC外接圆上.【析】分析：考虑用同一法，结合九点圆性质延长MQ分别交圆O圆ABHT点X,U连结M所双向延长交圆Q圆ABHT点Y,V.可以观察出X,Y地位等同，故只需证明D,E,Y三点共线便可完成第一步： MQF口DE交点在圆O上.由垂心的性质知圆O和圆ABH^等圆，所以MXMUMVMP所以MD2=M/?MB：MVM¥MF?MY所以^MDPAMYD所以/DPM/YDIM又因为/DPIMZDEM/DEH+ZMEH/DCH/ABH/MAH/ABH/MDHkECH/MDHZEDH/MDE所以/MDY/MDE所以D,E,Y三点共线；同理，X,D,E三点共线，所以MOTDE交点X在圆O上.设XH交圆MDEF点T,P,由九点圆的性质知XFTH而由圆哥定理知XT?XP=XQXM则2XT?XP=XCP2XM即XH?XP=XQXU,所以点P也在圆ABHLk所以P，P'重合，证毕 .三角形的旁心与三角形的一边外侧相切，又与另两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为三角形的旁心.…一 _ 1 _ _ 1 _ 性质1： B1AC 90 - A,BIbC BIcC - A(对于顶角B,C也有类似的式子)2 2性质- 1 _ 1C), |a|b|c2(AC)， |a|c|- 1 _ 1C), |a|b|c2(AC)， |a|c|b-(AB).以331c「c「a1(其中，p-(abc))BC CA AB性质3： rA rcot—cot—,rB rcot—cot—,rC rcot—cot—(其中，「a表小BC外侧相切的2 2 22 22旁切圆的半径，"Jc类推，r表示ABC的内切圆半径)【析】性质：2 ：易知ADAEp, SaD|aE prA ,而SADIaESABC SBDIaFSCEIaF SABCarA，1性质4: |bIaI1性质4: |bIaIc(B245.如图，OOi与。O2和△ABC的三边所在的直线都相切， 45.如图，OOi与。O2和△ABC的三边所在的直线都相切， E、F、GH为切点，直线EG与FH交于点P,求证：PABC.【析】易知Q,A,O2三点共线，设。1。2交EF于点D,连QE,OiB,BD,DHQ2HQ2F, _ 1… 1一由题意知CE=CGCEG90-C,BH=BF, BHF90-B2 2OiDE180ADE180 (360DAB1(90 -A)(180…90 -BO1BE又因为180ABEBED)1_B)(90 -C)所以O1,E,B,D四点共圆， O1DB90一—_ 1_又因为PDA O1DE90-B2BHF所以A,H,P,D四点共圆所以APHADH又因为02HBO2FB O2DB90所以B,D,H,O2,F五点共圆,即有ADH O2FH,所以PA//O2F所以PABC46.如图，QI分别为^ABC的外心和内心，AD是BC边上的高，I在线段ODk.求证：△ABC勺外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径.AO彳IEBC于E,4WFBC于F,设求证：△ABC勺外接圆半径等于BC边上的旁切圆半径.AO彳IEBC于E,4WFBC于F,设BCa,CAb,ABc,外接圆、旁切圆半径分别为R「A,再作ONAB于N,由三角形外心性质AONABD,BADOAN所以AI平分DAO,那么ROIADIDEFDEBFBEBEBD(bc)a2ac2ac2s

bca, 2 ,2acabcb2所以R aADbca证毕

.已知4ABC的内心为I,内切圆与BC边的切点为D, A所对的旁心为Ia,IaD所在直线与圆I交于另一点KsH是线段IaD的中点，求证：K,B,C,H四点共圆.【析】过1A作BC边的垂线，垂足为D',连结IK,ID,tanIDKtanD'IAK巴W「A所以cosKIDcos2IDK(bc)2—'J(bc) 'a所以KDv2r22r2cosKID型公S，即KDDHrrA.DIADH又因为——cotBD圆.证毕.aBD又因为——cotBD圆.证毕.aBDBDaD,所以BDCDr「AKDDH所以KB,C,H四点共.如图，已知/AC屋ZCDB90，点B在CE上，且CA=CB=CQ过A、CD三点的圆交AB于点F.求证：F为^CDE勺内心.A证明：连CRDFBD.AC=CB/ACB=90/BAC=ZCAB=45,，ZCDF=ZCAF=45，但/CDE=90,，DF是/CDE勺角平分线.CB=CDZCBD=/CDB但/CBF=ZCDF=45,•.ZFBD=/FDBBF=DR又.CB=CDCF=CF,BF=DF,•.ACBF^△CDF/BCF=/DCF即CF是/ECM平分线.F是4CDE勺内心..△ABC勺外心为O,AB=ACD是AB中点，E是△ACM重心.证明：OE±CD证明：设AM为高亦为中线，取AC中点F,E必在DF上且DEEF=2：1.设CD交AM于G,G必为△ABC1心.连GEMFMF交DC于K.…__ 1__.1 1易证：DGGK=-DC(——)DC=2：1...DGGK=DEEFGE/MF3 23OD±ABMF//AB,，OD1MFOD±GE但OG±DEG又是△OD叱垂心.易证OELCD. 4ABO一个锐角三角形， 过顶点B与外心O的一个圆分别与 BC BA交于点P, QPwB, gB).求证：？OPQ勺垂心在直线AC上.证明：作ODLPQ交PQT点D,交直线AC于点H连PH延长QO^PH于点E,连OAOBOCB,P,O,Q共圆 POE=QBP=ABC.OQP=OBP=90—BAC1OPQ=OBQ=90—qAOB=90—ACBPO屋ACBP,QH,C共圆.OPH=OCH=OCA=90—ABCOPE-POE=90 PHLQE即PH是OCfe上白^高.从而H为？OPQ勺垂心.Q分别是51.在平行四边形ABCDAv90）的边BC上取点T使得？ATD是锐角三角形.令Q分别是?ABT?DAT?CDT勺外心.求证：三角形OQQ的垂心位于直线AD上.证明：作OHI±QO,交AD于点H,连QHOH连OAOT,OD,OA,ODO,Q都在AT的中垂线上，故OQ是AT的中垂线.同理，QQ是DT的中垂线.如图位置有OOQ=180—ATDQOQ+OQQ=180—OQQ=ATD①又OH//TD（都与QQ垂直），AHO=ADT又，AOO=ADT=AHOA,H,O,O共圆.AOQ=TOQ=B.AHO=180—AOQ=180-B=C=OOD.H,Q,O,D共圆.・•.HOQ=HDO=90—ATD②由①②，QOO+HOO=OOO+OQO+HQC2=90QHLOQ.

五、等角共辗等角共钝AD的垂52.已知EF是圆内接四边形ABCD寸边ARCD勺中点，M是EF的中点，自E点分别作BC线，垂足记为P、Q证明：M展AD的垂先证明一个引理：l“光设P、Q是l真心同侧的两点，点A在直线l上，则称PA+PQ的最小值为P、Q两点关于直线路和”，即P与Q关于直线l的对称点Q洞的距离l“光设ARAQ是/AOB勺一对等角共轲线，则P、Q关于OAOB光路和相等.证明：如图分别作出P关于OAQ关于OB的对称点P。Q。则P、Q关于OA光路和为PQ,P、Q关于OB光路和PQ。易证△POQ陛△POQ,则PQ=PQ.即P、Q关于OAO班路和相等证明：点F、E关于BCAD两边的X擀^点PCQ£延长ADBC交于点K,由△KAEB^△KCD是KEKF是相似三角形的对应中线，KEKF关于/K的等角共轲线， FP黑F、E关于BC

“光路和"， FQ或F、E关于BC“光路和”，由引理知FP0FQCMF1FQC MQ=1FPC，Mf=MQ2 2等角共钝点53.如图，P、Q是△ABC勺等角共轲点(/PAB/QAC/PBB/QBA/PCB/QCA证明：AP・AQ・BGBP・BQ・AGC»CQAB=AB-BC*CA证明：设D是射线AQ上的点，且使得/AC®/APB又因为/APB>ZACB,则点D必在△ABC7卜部,/PAB/CAD•••△AP%△ACD故兀二不二不(1)AB蛙A//aHL-AB蛙.由/QABZPAC而二不可知△AB5△APCAS四抑,则 1./CDA/PBA：/QBCB、QCD四点共圆，心A&留（4）由托勒密(Ptolemy)定理，有BCDRBQ*CD-BDCQ心A&留（4）Bf'ACCP'AS由式（1）、式（2）,CD=f—、即4?将（4）中各式代入式（3）,得Aff■AC)丁一川即AP*AQ*BGBP*BQ*AGCPCQAB=AB・BCCA

.设P是△ABS任一点，O、Oa、Ob、Oc分别是△ABCAPBCAPCA^PAB的外心.证明：QP关于△OaObOc是一对等角共轲点证明：如图，联结0A0、ObO、OcO,0AB、0AP、oacABC AAA则OaB=OaP=OaC.因为Oa、0均在BC的中垂线上，所以OaO平分DBOaC,令？POaOca,?POaObb,?OOaOba£则？BOaOca,?COaObb,故2a+(b-a)=a+b,2a=2a。••a=a德表明0AP、0A0关于DObOaOc是等角线，同理，另两角也如此，即OP关于V0A0B0C是一对等角共轲点..点P在AABB卜角平分线上的射影分别为S、S、S3,在内角平分线上白寸影分别是工、T2、飞.证明： S1T1、S2T2、S3T3三线共点 .证明：过点A作SI的平行线AQ因为四边形PGA］是矩形，所以DQAT1=DPS1T1=DPAT1,这表明，此平行线即为AP的等角线.记矩形PSA1的中心为Oi,并取点P关于△ABC勺等角共轲点Q则由中位线性质，知S1T1平分线段PQ即ST1经过PQ的中点M同理S2T2、S3T3也经过点M因此M即为这三线所共的点..设O是4ABC的外心，K是^BOC的外心，直线AB,AC分别交^BOC的外接圆于另一点M,N,L是K关于直线MN的对称点.求证：ALBC.【析】易知 MOAC,NOAB，所以。为4AMN垂心，ZXOMN与4AMN外接圆为关于MN对称的等圆.由K为△OMN的外心，知 L为△AMN的外心，于是 AO,AL为等角线.。为4ABC外心，故ALBC..△ABC的内切圆eI与三边相切于D,E,F,AD交el于点L,DE的中点为N,N关于AD的对称点为M.求证：LMC90o.【析】延长MN及LE交于点P,由EPN90PLD90 DEC ECN知E,P,C,N共圆，从而 CPE90.又LC为△LDE的陪位中线，M,N关于LD对称，故 CLE NLDMLD，MLCDLEDECMPC，于是M,L,P,C四点共圆，LMC180CPE90..设A是4ABC的BC边上的中点，A是BC边上另一点（异于端点），令BAAiAAA2 ,A2AC ，则 的充要条件是分别过B,C点的△ABC的外接圆的两切线的交点P及4、A三点共线.证明则由充分性.如图，当证明则由充分性.如图，当P,a,A三点共线时，设直线AP与eABC交于点△PBDs^pab,△PCDs^pac,有BDPBPCCD ,一一一一，即有ABCDBDAC.ABPAPAAC对四边形ABDC应用托勒密定理，有ABCDBDACBCAD,即有2ABCD2BAAD,亦即-AB-竺.BAiCD注意到ABA, ADC,则知^AB^s△ADC,从而BAA1 A2AC,故必要性.如图，当时，设直线AA2交4ABC的外接圆于D,联结BD,DC,则由△ABAis-ABAD△ADC,有————，必要性.如图，当时，设直线AA2交4ABC的外接圆于D,联结BD,DC,则由△ABAis-ABAD△ADC,有————，即2ABDC' BA1DC2BAADBCAD,亦即ABDCABDCBCAD.又对四边形ABDC应用托勒密定理，有ABD于是，ABDCBDAC.运用三角形正弦定理，有sinADBsinDBC延长BD交PC于点E,延长CD交BP于点F从而，有sinADBsinDCEsinDBFsin由于CBDACBCAD.sinBCDsinADC,贝UBCD DBF,ADC.CA2BFPESADCA2SABDCS\PDBA2BFPECSADA2BSACDPSABDCDCsinADCBPBDsinDBFBDsinADBCDCPsinDCEDCEDBC.(*)注意到（*）式及PBPC,则CA2BFFE1.A2BFPEC由塞瓦定理的逆定理，知A2P、BE、CF三线共点于D,即知直线A2P与AA2重合.故P、A2、A三点共线.注：其必要性也可这样来证：如图，由BAAi CAA2及A为BC中点，直线AA2交圆于D,由充分性中证明，知四边形满足条*AB件——BDACDC(**)设过B的切线与直线AD交于P,过C的切线与直线AD交于F2.由△ABPs△BDPi,有ABBDBP1空DP1BP于是同理AB2BRAPAPBD2DRBRDRAC2AP2DC2DP2.注意到（**）式有APAP2从而即注意到（**）式有APAP2从而即DP1APDP1DPAP2DP2DP2ADADDPDP2从而P与P2重合，亦与P重合.故A、A2、P三点共线..设A” A2是4ABC的BC边上（异于端点） 的两点，令 BAAi , AAA2 , A2AC ,则的充要条件是4AAA2的外接圆与^ABC的外接圆内切于点A.证明充分性.如图，当两个外接圆内切于点A时.过A作两圆的公切线AT,设△AA1A2的外接圆分别与A