东北大学岩石力学讲义第四章 广义虎克定律

第四章广义虎克定律在应力分析中，已经从纯力学的基本定律出发，引入了9个应力分量，它们满足三个运动或平衡微分方程(由动量守恒定理推出)和剪应力双生互等定理(由动量矩守恒定理推出)，由此得到应力张量对称的结论，因此独立的应力分量只有六个。在应变分析中，从物体的几何连续性观点出发，研究物体变形，得到三个位移分量和九个应变分量，这九个应变分量中只有六个是独立的，位移分量和应变分量之间满足六个变形协调方程，这样我们总共引入了十五个变量，它们满足的方程只有九个其中是已知的体力。从数学分析的角度，上述方程是不封闭的，因此没有唯一的一组解，必须补充六个方程，将方程组封闭起来。从力学的角度，不同的材料，在同样载荷作用下，其变形是不同的，本构方程或者说应力—应变关系就是反映不同材料力学性质差异的适当的数学描述，因此本构方程是材料的一种力学特性。在弹性力学的发展史上，一维条件下的应力应变关系是从实验总结出来的。均匀各向同性弹性体的三维应力—应变关系是根据一维虎克定理，经适当推广得到的。这种来自于经验的定理非常实用，但是它是否具有普遍意义，即对任何均匀各向同性的弹性体都成立，却是人们心头挥之不去的阴影。实际上这个问题，在弹性力学发展史上曾产生很大争议，直到格林(1838年)和托马斯(1855年)从热力学出发，从宏观的角度证明均匀的极端各向异性的弹性体的弹性常数有21个，均匀各向同性弹性体的弹性常数有2个，才平息了争议。因此本章从热力学的角度，运用热力学第一、第二定律，导出弹性体的三维应力应变关系。从微观角度也可以研究弹性体的弹性常数。虽然Caochy和Poisson用分子论(微观角度)，对均匀弹性体弹性常数的研究是错误的。这并不表明无法从分子论研究弹性常数。用近代物质构造理论，玻恩在1915年，完成了这样的工作。1941年中国的彭桓武具体地计算了几种单晶体的弹性系数，他们的工作与实验吻合。第一节热力学基本定律与弹性体应变能(函数)弹性体是一种热力学物质，弹性力学仅研究宏观运动和宏观变形，只需要了解反映材料物质结构差异的总体响应的方程，不涉及物质结构，因此可以从热力学的角度建立弹性应力应变关系。热力学基本定律与状态函数按照热力学，一个物体任意部分的能量包括宏观动能量和内能。从微观的角度，物体的内能无非是物体内部所有分子的动能和势能式中N为分子总数，mi、vi分别是第i个分子的质量与速度。是第i个分子与第j个分子相互作用的势能。在叠加时，计算了两次，因此要乘上。上式右端第一项，其宏观表现即是物体的温度，因此较容易度量。右端第二项，往往在宏观上不表现出来，因此测量和计算是很困难的。从上面的介绍可以看出，物体内每个分子的动能和物体整体的动能是两个概念，物体还可以有宏观势能，比如重力场中物体的重力势能。热力学中有两类变量，一类与过程相关，比如物体吸收(或放出)的热量，不仅与物体自身温度有关，也与环境温度有关，只有当系统与环境之间存在温差时，才有可能与外界交换热量。这类量不是物体固有的量，不能反映物体的状态。物体的固有量可以反映物体的状态，这类变量称为状态变量或状态函数。物体的内能是状态函数与状态改变的路径无关。证明如下：按照热力学第一定律，物体总能量的变化等于外力对物体所做的功和物体吸收的热量。假如在过程中，物体的宏观动能不变化，则内能的增量，即是物体总能量的变化，可以表示为(4-1)式中A是初态，B是终态，UA和UB分别是状态A和状态B的内能，q是流入物体的热量，W是外力对系统所做的功。上式就是这种特殊情况下的能量守恒定律。考虑物体由两条不同的路径从状态A变到状态B，如下图所示状态A状态A状态B图4.1封闭循环ABA经由路径I，物体内能的变化为。经由路径II，物体内能的变化为。考虑物体的封闭循环，即物体沿路径I由状态A变到状态B，再沿路径II由状态B变回状态A。显然，在这个过程中物体内能的变化为。如果内能的变化与路径有关，则，这样在这个封闭循环中。另一方面，在这样一个封闭循环中，物体的初态与终态都是A，则按能量守恒方程(4-1)式。如果，就表明当物体回到原来的状态时，内能有增加或减小，这违背了以(4-1)式表示的热力学第一定律，因而是不可能的。在封闭循环中，表明从状态A到状态B，物体内能的变化与路径无关，即物体的内能U是状态函数。凡是与路径无关的函数都满足沿闭路上的积分为零的条件(4-2)按照状态函数的意义，还可以知道状态函数存在全微分。弹性应变能函数在外力作用下物体一定发生位移(刚体运动、变形，两者兼而有之，或者有其一)，并从一个平衡态变到新的平衡态，在这个过程中，外力(体力和面力)对物体做功(如果是纯热力学过程，则外力不做功，但物体与外界有热量交换)。同时，物体的宏观动能和内能也发生相应的变化。热力学第一定律告诉我们，在平衡态变化过程中，物体总能量的增加等于外力对物体施加的功和接受的热量之和。(4-3)式中K是物体的宏观动能，U是内能，A是外力的功，Q是接受的热量。K和U是状态函数，它们的改变与路径无关，存在全微分，因此用“”表示它们的变化，A和Q的变化不仅与状态有关，还与过程有关，因此用“D”表示它们的变化，以示区别。现在我们从物体中取出一个微元体，计算它在平衡状态变化过程中各种量的变化，设该微元体的体积为V，表面积为S。在直角坐标系中微元体的位移为，位移速度为，位移加速度为，物体所受体力为，面力为。若过程变化的时间极小，则在平衡状态变化过程中，可以认为体力和面力不变。因此在单位时间内外力对物体所做的功为(4-4)式中，A1是体力的功，A2是面力的功。(4-5a)(4-5b)按照斜面应力公式按Gauss公式，上式变为重新整理上式(4-6)迭加(4-5a)和(4-6)得到外力的功为(4-7)若物体的密度为，物体单位体积的宏观动能为，则利用运动(平衡)方程，(4-7)可写为(4-9)另一方面，物体的宏观动能为在时间内物体宏观动能的改变为(4-10)对比(4-9)和(4-10)，可得(4-11)从(4-3)式可导出即，(4-12)如果是绝热过程，则，这相当于物体极快地由一个平衡态，变化到另一个平衡态，因此来不及吸收和释放热量。此时对比(4-11)和(4-12)，可得(4-13)如果是等温过程，这相当于物体平衡状态的变化极慢，如果单位体积中的内能是W1，则在全部的体积内内能为因此(4-14)对比(4-13)和(4-14)，可得(4-15)也是空间点的函数，若固定空间点不变，则在dt时间内，内能的变化(注意：不是变化率)为(4-16)上面的讨论已经指出，内能是状态函数与路径无关，因此将W1对时间积分，从t0时刻积分到t时刻，其积分值只与初态和终态有关，与积分路径无关。(此处是与积分的时间历程无关)，如果还有初始状态下内能W=0，则有(4-17)(注：上面推导的最后一步用到了积分变量的变化，但这个变换是基于力学的，而非数学的原理。)从(4-17)可以得到(4-18)(4-18)给出了应力与应变的关系，具有(4-18)这样性质的函数W称为应变能量函数，简称应变能。由(4-18)式确定的应力叫广义应力，(4-18)式也称格林公式。从格林公式的推导过程我们可以看出，W表示为了克服物体内质点间的相对变形，应力分量在应变分量上的功，当外力去除后，该能量被释放出来，使物体恢复原来的形状。热力学第二定律告诉我们，机械能总是可以转化为热能，但如果没有功的消耗，热能不会自动地从较冷的物体流向较热的物体。热力学第二定律也可以定量地表示为(4-19)式中S叫做熵，T是绝对温标。在等温状态，我们有(4-20)等温过程相当于外力十分缓慢地施加于物体上，使得物体的平衡状态十分缓慢地由一种状态变为另一种状态。从(4-12)式和上式，可以得到(4-21)内能W是状态函数，按热力学，熵S也是状态函数，而T=const，因此W-TS是状态函数，同时由(4-11)式知道因此，从上式和(4-21)式可得(4-22)按上面同样的推导过程，我们也可以证明在等温条件下应变能函数W/的存在，且广义应力为(4-23)(4-18)和(4-23)是6个应力分量与6个应变分量之间的关系，对弹性体而言，这就是所需要的6个补充方程。一般而言，这6个方程是非线性的。第二节线性弹性物质的应力应变关系各向异性弹性体的应力应变关系(广义虎克定律)(4-18)，(4-23)是从热力学第一定律和第二定律导出的，除了等温和绝热的条件外，没有其它的限制，因此可以适用于大变形、非均匀和绝对各向异性。(4-18)或(4-23)是一共是6个式子，展开后为(4-23)因为小变形假设，各个应变分量都远小于1，即，因此可将(4-23)在处展开，可以得到，(4-24)式中是应变为零时的初始应力。由于无初应力假设，式中是在处的导数值，是常量，因此(4-24)可写为(4-25)，从左式和(4-25)式可得到从(4-18)式和(4-25)式可得到(a)而(b)由于已经假设位移和应变有三阶以上的连续偏导数，因此二阶交叉导数与求导顺序无关，这样从(4-18)式可得到(c)这样从(a)、(b)和(c)可得到。按类似的方法还可以得到(4-26)这表明(4-25)式中的36个系数是对称的，因此在(4-25)中，只有21个参数是独立的。在条件(4-26)下的应力应变关系是绝对各向异性弹性材料的应力—应变关系(或广义虎克定律)。从(4-18)可以得到(4-27)(4-27)右端是应变能密度。如果弹性应力应变关系是线性的，如(4-25)所示，在这种情况下(4-26)式变为(4-28)(4-27)的两个指标“i”、“j”是重复的，按爱因斯坦求和约定，对重复指标需要在所有可能的取值范围内求和，考虑到(4-27)式，叠加(4-28)的6个式子可以得到。(4-29)(4-29)是实的齐次二次多项式，按照线性代数的相关知识(4-29)式是一个二次型，若记这个二次型为，则=，用矩阵表示为上式可以简记为=(4-30)从(4-29)、(4-30)、(4-27)和(4-18)可以看出即(4-31a)因此(4-31b)在这种情况下(即线弹性小变形的情况下)，还可以得到(4-18)式对偶形式(4-32)(4-32)式称为卡斯提也努公式，它只有在线性弹性应力应变关系(4-25)式成立时才成立。综合以上弹性应变能的讨论，我们得到以下结论：1、在等温和绝热情况下，弹性应变能函数W存在，这种应变能是内能，因此是状态函数；2、弹性应变能函数W是单值的，其积分与路径无关，因此dW是全微分，而3、在小变形假设下，弹性应力应变是线性的。4、当线性弹性应力应变关系成立时，弹性应变能函数W是二次型，并且存在弹性应力应变关系的对偶形式各向同性弹性体的应力应变关系弹性体弹性性质的对称性是指在对称方向上弹性性质是相同的。由于弹性性质是用弹性应力应变关系表示的。因此对称性就是指在对称方向上弹性应力应变关系相同。具有一个弹性对称面的材料。假设过弹性体中任一点的与oxy面平行的面是对称面，则z轴垂直于该对称面，假设在这种情况下沿z轴方向和-z轴方向看弹性关系不变。令第一次看的坐标系为oxyz，第二次看的坐标系为ox/y/z/，则两个坐标系的关系如下所示图4-1图4-1表4-1表4-1xyzx/100y/010z/00-1按照应力分量的坐标变换关系，在坐标系中的应力为(4-33a)同理(4-33b)而，(4-33c)按应力分量的坐标变换关系可类似地得到，用旧坐标系中的应变表示的新坐标系中的应变分量(4-34a)(4-33b)在新坐标系和旧坐标系中弹性关系不变，意味着在新坐标系和旧坐标系中弹性应力应变关系(4-25)都成立，因此在新坐标系中(4-25)式中的第一式为将(4-33a)和(4-34)代入上式得到上式与(4-25)式的第一式应完全相同，比较两式可以得到考虑到对称性(4-25)的其它各式，在新坐标系中也成立，将(4-33)和(4-34)代入这些方程有将上面5个方程与(4-25)的其余5个方程比较，便得出考虑到对称性，还有这样在存在一个对称面的情况下，(4-25)式的36个系数中有16个为零，非零系数只有20个。考虑到对称性，在这种情况下，只有13个独立的弹性系数，用矩阵表示为即(4-25)式变为(4-35a)(4-35b)(4-35c)(4-35d)(4-35e)(4-35f)具有三个弹性对称面的材料如果弹性体既对oxy对称，同时也对oyz对称，此时x轴垂直于对称面，沿x方向和-x方向弹性关系也应该相同。设新系为ox/y/z/，则新旧坐标系的关系如下表所示xyzx/-100y/010z/001图4-2图4-2表4-2表4-2按坐标变换关系，在新、旧坐标系中应力分量之间的关系为(4-36a)在新、旧坐标系中应变分量之间的关系为(4-36b)利用对称性和应力应变的变换关系(4-36)式，即将(4-36)代入(4-35)中，可以得到此时独立的弹性常数只有9个，用矩阵表示为既对oxy面对称，又对oyz面对称的材料，必定对ozx面对称，因此有3个对称面的材料的弹性应力应变关系为(4-37a)(4-37b)(4-37c)(4-37d)(4-37e)(4-37f)具有各向同性面的弹性材料假如过弹性体中的任意点都有一个平面，在这个平面内，从各个方向看，弹性关系都相同，我们进一步假定oxy面和平行于oxy面的平面就是这样的各向同性面。z轴垂直于该面，而x、y轴位于该面内。讨论在这种情况下的弹性应力应变关系，最方便的是将x、y轴绕z轴旋转900，得到新的坐标系ox/y/z/，新系和旧系之间的关系如下表4-3图4-3表4-3图4-3xyzx/010y/-100z/001在这种情况下新旧坐标系之间，应力分量和应变分量的关系为(4-38a)(4-38b)利用(4-37)和(4-38)将以上诸式与(4-37)比较可得因此(4-37)变为(4-38a)(4-38b)(4-38c)(4-38d)(4-38e)(4-38f)独立的弹性常数有6个，用矩阵表示为然后将坐标系oxyz绕z轴转450，得到新坐标系ox/y/z/，新旧坐标系的关系如下图4-4图4-4xyzx/0y/0z/001表4-4表4-4按照同样的方法，可以得到因此(4-38)式变为(4-39a)(4-39b)(4-39c)(4-39d)(4-39e)(4-39f)具有一个各向同性面的弹性材料称为横观各向同性材料，这种材料的独立的弹性常数有5个。完全各向同性的弹性材料将oxyz坐标系绕x轴转900，新旧坐标系的关系如下所示xyzx/100y/001z/0-10图4-5图4-5表4-5表4-5可以得到此时(4-39)变为(4-40a)(4-40b)(4-40c)(4-40d)(4-40e)(4-40f)令，则这种弹性材料具有三个独立的弹性系数，用矩阵表示为应力应变关系为(4-41a)(4-41fb)(4-41c)(4-41d)(4-41e)(4-41)若再将oxyz绕y轴转900，得到ox/y/z/如下图所示图4-6图4-6不再得到新的结果，这表明由(4-41)确定的应力应变关于三个坐标方向都是弹性主方向。若令则(4-41)式可写为(4-42)式中现在将坐标系oxyz绕某轴(如z轴)旋转任意角度θ，得到新坐标系ox/y/z/，新旧坐标系的关系如下表4-6图4-7表4-6图4-7xyzx/cosθsinθ0y/-sinθcosθ0z/001利用坐标变换关系可以得到(2-++)(2-++)将(2-++)式和(2-++)式第一式代入(4-42)的第一式，并注意到是不变量，可得整理上式可得(4-43)由于角度可以取任意值，因此上式要求整理上式可得到由于可以取任意值，上式要求上面的结果与(4-42)的前两式相同。θ角任意还要求将(4-42)的前两式相减，可以得到上式，因此上面的结果与(4-42)式不矛盾。在θ角任意的情况下，下式必须成立将上式与(4-41)式的第6式相比，得到(4-44)这样我们得到了均匀各向同性的线弹性材料的应力应变关系(4-45)式中 称为拉梅系数。我们看到各向同性的线性弹性材料，只有2个独立的弹性常数。以上是从热力学导出的用应变表示应力的弹性应力关系。从上式可以导出用应力表示应变的弹性应力应变关系将(4-45)前三式相加，可得(4-46)即(4-47)将(4-47)代入(4-45)的第一式，可得以上各式中是剪切模量，以后我们总是记为G，而记泊松比为，因此考虑到上式，(4-45)变为(4-48)第三节各向同性弹性介质的弹性常数在各向同性介质中，除了弹性常数以外，为了便于实验测定还引入了其它弹性常数，比如考虑简单拉伸和纯剪切时的弹性模量(杨氏模量)，剪切模量和泊松比。设在简单拉压试验中，拉伸方向平行于x轴，则此时物体内的应力状态为从(4-48)式，此时(4-49a、b)另一方面，简单拉伸实验指出，一个平行六面体(弹性体)单向受拉时，x方向伸长与成正比，与之垂直方向则成比例缩短，同时保持直角不变，因此为方便起见，引入以下参数：(4-50a、b)比较(4-50)与(4-49)可得(4-51a)即(4-51b)由于拉应力产生拉应变，压应力产生压应变，即方程(4-51a)两端同号，因此E>0下面从(4-51a、b)解出，从(4-51b)将上式带入(4-51a)即因此(4-52b)由和上式可得因此(4-52a)从材料力学知道，广义虎克定律为(4-53)将(4-53)的前三式相加，得到由于球应力是仅产生体积变形的各向同性的应力，引入球应力，上式可写成(4-54)式中是体积应变，因此(4-55)是体积模量。K也可以用拉梅系数表示，从(4-47)可得即因此(4-56)现在考虑纯剪试验，设剪应力作用于x、y面，于是物体内的应力状态为同时，应变为这样由纯剪试验给出(4-57)这表明拉梅系数中的G是剪切模量。以上，我们引入了5个弹性常数，它们中只有两个是独立的。除了上面的关系以外，它们之间还有其它关系。在剪切试验中，正的剪应力产生正的剪应变(说明)，因此(4-57)两端同号，这要求G>0。而在静水压力试验中，各向同性体积应力产生各向同性的体积压缩，此时，这表明(4-54)的两端必须同号，因此K>0。这样，E、G和K都必须大于零，即由于E>0，上面的式子要求。因此，可以导出，即(4-58)在实际测试中，还没有发现的情况，以后用应变能的正负性可以证明。当时，从(4-55)可以看出，此时，这意味着体积不可压缩。因此是体积不可压缩的条件。第四节弹性应力应变关系的其它表示形式(4-45)是线弹性、小变形体的应力应变关系，是以应变表示应力。广义虎克定律(4-53)也称逆线性关系，用应力表示应变。弹性应力应变关系还有一种常用的表达方法。广义虎克定律可以改写为如下形式，比如从上式两端同时减去，并利用(4-54)可得到即同样可以导出其它两个关系式，这样广义虎克定律可表示为(4-59)用张量表示可得(4-60)因为已经利用了(4-54)，(4-59)和(4-60)形式上是6个方程，实际上只有5个方程是独立的，因此还要补充(4-54)由(4-60)和(4-54)组成的方程是弹性应力应变关系的第三种形式。在粘弹性力学中使用的本构方程与上面这组方程类似。第五节应变能的正定性热力学第二定律的三种表述(1)、开尔文表述：从单一热源吸收热量，使之完全转化为有用功而不产生其它影响的第二类永动机是不可能造成的。(2)、克劳修斯的表述：把热量从低温物体传到高温物体而不引起其它变化是不可能的。(3)、熵增原理：自然界中发生的一切热力学过程都不会使熵产减少。即(4-61)式中供熵，产熵(4-62)(4-63)从热力学第一定律，得到。而从，可以得到由于熵产，T是绝对温标，T>0，因此(4-64)等号仅在时成立。考虑到热力学第一定律上式变为(4-65)对于绝热过程，上式变为(4.66)对于等温过程，自由能为(4-67)注意到等温过程T=const，则从上式可以得到(4-68)将(4-68)代入(4-65)式得到(4-69)和(4-70)等熵(绝热)过程中，内能U是应变能，等温过程中，自由能F等于应变能，因此以上两个不等式可以统一地写为(4-71a、b)此处E是应变能，U也指应变能。上式表示在可逆过程中，外界的功全部转化为物体的动能和应变能，而在不可逆过程中，只有一部分转化为应变能和动能，剩余部分将以热或声的方式耗散掉。若将加载前物体所处的热力学平衡态选为无应变的自然状态(有应变也无原则困难)，加载后的平衡态视为干扰状态和变形状态，现在来证明，只要自然状态(初始状态)是物体的稳定平衡态，则应变能是正定的(即总大于零)。考虑自然状态到变形态的准静态加载过程(这里指等温过程，不包括绝热过程或动力学过程)，此时动能dK=0，且过程是可逆的，因此dU=DA。而在这个过程中，应变能作正功DA>0，因此上式要求dU>0。自然状态下弹性体的应变能为零，则dU>0表示变形状态的应变能U总大于零，即应变能是正定的。应变能的正定性限制了弹性常数的取值范围。第六节各向同性弹性体的应变能在前面的讨论中，已经证明应变能函数为(4-31a，4-32)式中i、j遍历x、y、z，将其展开为分量形式，有(4-72)(4-31a)、（4-32）和(4-72)和表明，尽管和只有六个独立的分量，但它们实际是9个分量组成的整体。因此，在计算应力在应变上的功时，需要将所有的应力分量的贡献都计算上。(4-31a)、（4-32）和(4-72)是从热力学得到的，还可以采用更直观的方式，从力学角度导出应变能的上述表达式。讨论下图所示物体，该物体仅受的作用。图4-8图4-8设应力在空间上不变化，即物体两端面的应力相同，但在变形过程中应力是变化的。研究应力在物体变形上的功。由应力作用在AD边上的力为，AD边的位移为u，按位移分析，在BC边上的位移为，注意到在x正面上，即BC面上，力与位移方向相同，但在AD边上，力与位移方向相反。因此，由物体两端作用的应力对物体的功为式中和可称为元位移，之所以取元位移是考虑到在位移过程中是变化的，但按无限小分析的思想，可以认为只要元位移足够小，则在元位移上可以视为不变。这样，由应力作用在物体元位移上的总功为还会引起物体在y方向和z方向上的变形，由于垂直于v和w，因此，对这两个方向的位移，应力上不作功。此外，、对x方向的位移也有贡献。基于同样的理由，它们对x方向上元位移的功也为零。这样在物体的应变从零发展到的整个过程中，应力的功为(4-73)上式中积分变量是，是的函数，因此上面的积分可写为由于只需要考虑x方向的应变，可将一维应力应变关系代入上式积分，得到(4-74a)同样，可以得到(4-74b、c)aa、变形前b、变形后图4-9下面考虑剪应力在物体变形上的功，设在x正面和负面上的剪应力相同，但在位移过程中是变化的。在AD面和BC面上，剪应力产生的作用力为。AD面在y方向的位移为v，按位移分析，BC面在y方向上的位移为，v与y正向相同，因此在AD面上剪应力做负功，在BC面上剪应力做正功。这样在x的正、负面上，剪应力在元位移上的总功为(4-75a)在y的正、负面上剪应力引起的变形如下图所示图4-10图4-10在负y面上，与位移相反，在正y面上，与位移方向相同。因此，在y的正、负面上，剪应力在元位移上的功为(4-75b)迭加(4-75a、b)可得，在x的正、负面和y的正、负面上的一对剪应力和在元位移上的总功为在全部位移(应变)上的总功为将，代入上式后可得(4-76a)类似地可以得到(4-76b、c)这样，所有的应力分量，在单位体积上的功为(4-78a)在微元体dV上的功为(4-78b)(4-78a)式与(4-72)式相同，这样，我们从力学的角度，再次导出了(4-72)式。W0被称为应变能函数，也可称为应变能密度，表示在单位体积上，应力对应变的功，在全部的体积上，应力对应变的功为(4-79)将应力应变关系(4-45)代入(4-72)或(4-78a)，得到(4-80)将(4-53)代入(4-31)，得到(4-81)(4-80)和(4-81)式表明应变能密度是应力或应变的二次齐次式。将(4-80)式两端对应变求导，可得(4-82)将(4-81)式两端对求偏导，得到(4-83)再次得到了应力与应变之间的对偶关系。下面利