北京市房山区2022届高三数学二模试卷及答案

试卷第=page44页，共=sectionpages55页（19）（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的最小值．（20）（本小题15分）已知椭圆的一个顶点为，一个焦点为.（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）已知点，过原点的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为.若的面积等于，求直线的斜率.（21）（本小题14分）已知数集具有性质：对任意的，，使得成立．（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）已知，求证：；（Ⅲ）若，求数集中所有元素的和的最小值.房山区2022年高考第二次模拟考试参考答案高三年级数学学科一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910BCADCCBABD二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）（12）（13）（14）答案不唯一，满足或即可（15）②④三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（Ⅰ）方法一：在中，因为,所以由正弦定理可得因为，所以.所以.在中，，所以，所以. ………………6方法二：在中，因为,由余弦定理得，整理得所以，所以.………………6（Ⅱ）选条件②：由（Ⅰ）知因为在中，，所以又，所以所以.设边上高线的长为，则.………………14选条件③：因为所以，由余弦定理得所以.设边上高线的长为，则………………14（17）（本小题14分）（Ⅰ）设中点为，连接，易知为正方形，且，，所以，所以因为底面，底面，所以又，所以平面………………5（Ⅱ）因为底面，在正方形中所以两两互相垂直.如图建立空间直角坐标系，设则所以，，设平面的法向量为，则所以由（Ⅰ）知，平面的法向量为因为平面与平面的夹角为，所以解得设点到平面的距离为．则………………14（18）（本小题14分）（Ⅰ）方法一：记事件为“从所有调查学生中随机抽取1人，女生被抽到”,事件为“从所有调查学生中随机抽取1人，参加体育活动时间在”因此所以从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为………………4方法二：记事件为“从所有调查学生中随机抽取名学生，若已知抽到的是女生，该学生参加体育活动时间在”由题意知，从所有调查学生中随机抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45个，抽到女生且参加体育活动时间在所包含的基本事件共9个所以所以从该校随机抽取名学生，若已知抽到的是女生，估计该学生参加体育活动时间在的概率为………………4（Ⅱ）方法一：的所有可能值为0,1,2,记事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取人,抽到的是初中学生”，事件为“从参加体育活动时间在的学生中随机抽取人,抽到的是初中学生”.由题意知，事件、相互独立，且，所以所以的分布列为:012故的数学期望………………12方法二：的所有可能值为0,1,2,因为从参加体育活动时间在和的学生中各随机抽取人是相互独立，且抽到初中学生的概率均为，故所以所以的分布列为:012故的数学期望………………12（Ⅲ）………………14（19）（本小题14分）（Ⅰ）当时，所以所以曲线在处的切线方程为：………………4（Ⅱ）①当时，所以时，.所以在上是增函数.所以②当时，令解得，（舍）当即时，时，.所以在上是增函数.所以当即时，极小值所以当即时，时，.所以在上是减函数.所以综上，当时，当时，当时，………………14（20）（本小题15分）（Ⅰ）由题设，得，则所以椭圆的方程为.离心率………………5（Ⅱ）方法一：根据题意知，直线的斜率存在，直线的方程为由得解得设，根据题意同号，则，根据椭圆的对称性知，所以整理得解得，（满足）所以或………………15方法二:设直线的方程为由得解得设，则，根据椭圆的对称性知，设到直线的距离为，整理得解得，（满足）所以或………………15（21）（本小题14分）（Ⅰ）因为，所以，3，不具有性质．因为，，，所以，2，3，具有性质………………4（Ⅱ）因为集合，，，具有性质即对任意的，，，使得成立，又因为，，所以，，所以即，，，，，将上述不等式相加得所以；由于，………………9（Ⅲ）最小值为75．首先注意到，根据性质，得到所以易知数集的元素都是整数．构造，2，3，6，9，18，36或者，2，4，5，9，18，36，这两个集合具有性质，此时元素和为75．下面，我们证明75是最小的和假设数集，，，，，满足75（存在性显然，因为满足75的数集只有有限个）．第一步：首先说明集合，，，，中至少有7个元素：由（Ⅱ）可知，又，所以，，，，;所以第二步：证明，若，设，因为，为了使得最小，在集合中一定不含有元素，使得，从而；假设，根据性质，对，有，，使得显然，所以而此时集合中至少还有4个不同于，，的元素，从而，矛盾，所以，且；同理可证：根据性质，有，，使得我们需要考虑如下几种情形：①，，此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素，才能得到