第一章集合与常用逻辑用语、第二章一元二次函数、方程、不等式 知识手册-高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

集合与常用逻辑用语一元二次函数、方程和不等式课标要求：以义务教育阶段数学课程内容为载体，结合集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式等内容的学习，为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡。内容包括：集合、常用逻辑用语、相等关系与不等关系、从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。1.集合(1)集合的概念与表示①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系。②针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合。③在具体情境中，了解全集与空集的含义。(2)集合的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集。②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集。③能使用venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。2.常用逻辑用语(1)必要条件、充分条件、充要条件①通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系。②通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。③通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系。(2)全称量词与存在量词通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义。(3)全称量词命题与存在量词命题的否定①能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定。②能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定。3.相等关系与不等关系(1)等式与不等式的性质梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。(2)基本不等式掌握基本不等式的内容，结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题。从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式(1)从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系。(2)从函数观点看一元二次不等式①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义。能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集。②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。知识梳理：教材《必修一》一、集合与常用逻辑用语1.元素与集合的概念（教材P2-3）(1)一般地，我们把研究对象统称为______，把一些元素组成的总体叫做______(简称为集)。(2)集合中元素的特性：_______、_______、_______。(3)只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是_______的。(4)元素与集合的关系：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作：_______；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作：_____________。(5)常用数集及表示符号：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法2.集合的表示（教材P4）(1)列举法把集合的所有元素_____________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。(2)描述法设A是一个集合，把集合A中所有具有_____________P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}。具体步骤：①在花括号内写上表示这个集合的元素的_____________(或变化)范围。②画一条竖线。③在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。集合间的基本关系（教材P7-8）子集的概念：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中_____________元素，都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作：_________(或B⊇A)。Venn图：我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为________图。(2)集合相等一般地，如果集合A中的___________元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B_______，记作A＝B，也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B。(3)真子集的概念如果集合A⊆B，但______元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的________，记作A___B(或B___A)。(4)空集一般地，我们把__________的集合叫做空集，记作∅。规定：空集是任何集合的子集。(5)集合间关系的性质任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A。对于集合A，B，C：①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC；③若A⊆B，A≠B，则AB。4.集合的运算（教材P10-13）(1)并集文字语言：由所有属于集合A______属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的_____。符号语言：A∪B＝__________________________。图形语言：___________________________(2)交集文字语言：由所有属于集合A____属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的______。符号语言：A∩B＝___________________。图形语言：_________________________(3)并集与交集的运算性质并集的性质①A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝eq\a\vs4\al(B∪)A。②A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)。③A⊆B⇔A∪B＝B。交集的性质①A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝eq\a\vs4\al(B∩)A。②(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)。(4)补集①全集定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的_________，那么就称这个集合为全集。记法：全集通常记作____。②补集自然语言对于一个集合A，由全集U中_______集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作_______。集合语言=_____________图形语言性质①A∪()＝U，A∩()＝∅；②，5.充分条件与必要条件（教材P17-23）(1)充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q。这时，我们就说，p是q的________条件，q是p的__________条件。如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，我们就说p不是q的________条件，q不是p的_________条件。(2)充要条件①逆命题：将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“______________”，称这个命题为原命题的逆命题。②充要条件如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是__________，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作_____。此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为____________。6.全称量词与存在量词（教材P26）(1)全称量词与全称量词命题①短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“∀”表示。含有全称量词的命题，叫做______________。②全称量词命题的表述形式：对M中任意一个x，p(x)成立，可简记为______________。③全称量词命题的真假判断：要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)不成立，那么这个全称量词命题就是假命题。(2)存在量词与存在量词命题①短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做______________，并用符号“∃”表示。含有存在量词的命题，叫做______________。②存在量词命题的表述形式：存在M中的元素x，eq\a\vs4\al(px)成立，可简记为______________。③存在量词命题的真假判断：要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个存在量词命题是假命题。7.全称量词命题与全称量词命题的否定（教材P28-30）(1)全称量词命题的否定全称量词命题pp结论∀x∈M，p(x)_________________全称量词命题的否定是_____量词命题(2)存在量词命题的否定存在量词命题pp结论∃x∈M，p(x)_________________存在量词命题的否定是_____量词命题二、一元二次函数、方程和不等式1．等式性质与不等式性质（教材P38-41）(1)关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：a>b⇔_________；a＝b⇔_________；a<b⇔_________。(2)等式的性质：性质1如果a＝b，那么_________；性质2如果a＝b，b＝c，那么_________；性质3如果a＝b，那么_________；性质4如果a＝b，那么_________；性质5如果a＝b，c≠0，那么_________。(3)不等式的性质性质1如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。即_________；性质2如果a>b，b>c，那么a>c，即_________；性质3如果a>b，那么a＋c>b＋c。推论：_________；性质4如果a>b，c>0，那么__________；如果a>b，c<0，那么_________；性质5如果a>b，c>d，那么_________；性质6如果a>b>0，c>d>0，那么_________；性质7如果a>b>0，那么_________。2．基本不等式（教材P44-46）(1)∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立。特别地，如果a>0，b>0，我们用eq\r(a)，eq\r(b)分别代替上式中的a，b，可得eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，当且仅当__________时等号成立。通常称此不等式为基本不等式，其中，eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的________平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的_________平均数。(2)基本不等式表明：两个正数的算术平均数_________它们的几何平均数。(3)基本不等式与最值：已知x，y都为正数，则①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值________。②若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值________。3．二次函数与一元二次方程、不等式（教材P50-55）(1)一元二次不等式概念：我们把只含有______未知数，并且未知数的最高次数是___的不等式，称为一元二次不等式。一般形式是：________________或_____________________。(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数，我们把使实数x叫做二次函数零点。(3)“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系：Δ>0Δ＝0Δ<0的图象的根有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根的解集的解集参考答案：一、集合与常用逻辑用语1．元素与集合的概念(1)元素，集合(2)确定性、互异性、无序性。(3)相等(4)．a∈A，a∉A(5)常用数集及表示符号：名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集记法NN*或N＋ZQR2.集合的表示（教材P4）(1)一一列举出来(2)共同特征，一般符号及取值3.集合间的基本关系（教材P7-8）(1)任意一个，A⊆B(或B⊇A)，Venn图。(2)任何一个，相等。(3)存在真子集，记作AB。(4)不含任何元素。4.集合的运算（教材P10-13）(1)并集文字语言：或，并集符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}。图形语言：如图所示(阴影部分)。(2)交集文字语言：且，交集符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}。图形语言：如图所示(阴影部分)。(4)补集所有元素，U，不属于A，{x|x∈U，且x∉A}5.充分条件与必要条件（教材P17-23）(1)充分条件与必要条件：充分，必要，充分，必要。(2)充要条件：“若q，则p”，真命题，作p⇔q，充要条件。6.全称量词与存在量词（教材P26）(1)全称量词与全称量词命题全称量词，全称量词命题，∀x∈M，p(x)。(2)存在量词与存在量词命题存在量词，存在量词命题，∃x∈M，p(x)。7.全称量词命题与全称量词命题的否定（教材P28-30）(1)全称量词命题的否定全称量词命题pp结论∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)全称量词命题的否定是存在量词命题(2)存在量词命题的否定存在量词命题pp结论∃x∈M，p(x)∀x∈M，p(x)存在量词命题的否定是全称量词命题一元二次函数、方程和不等式1．等式性质与不等式性质（教材P38-41）(1)关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实：a－b>0，a－b＝0，a－b<0(2)等式的性质：性质1b＝a；性质2a＝c；性质3a±c＝b±c；性质4ac＝bc；性质5eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)。(3)不等式的性质性质1即a>b⇔b<a；性质2a