第7章-有限单位冲激响应(FIR)数字滤波器设计课件

第七章

FIR滤波器的设计第七章

FIR滤波器的设计IIR数字滤波器： 可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性FIR数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性 因果稳定系统 可用FFT计算 但阶次比IIR滤波器要高得多IIR数字滤波器： 可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性主要内容线性相位FIR滤波器的特点窗函数设计法频率抽样设计法IIR与FIR比较主要内容线性相位FIR滤波器的特点7.1引言一、FIR滤波器的主要特点：单位冲激响应只有有限多项可以设计成线性相位系统只在原点处有极点，因此系统总是稳定的便于DSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）7.1引言一、FIR滤波器的主要特点：单位冲激响应只二、FIR与IIR相比较：首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点，这一点在通信等领域中要求却很重要；其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度问题；最后，FIR还可以FFT用来滤波。故FIR应用越来越多。二、FIR与IIR相比较：首先在相频特性控制上可以做到线性三、线性相位设计的重要性1、系统的相移会造成信号波形的改变时间t幅度原始信号时间t幅度相移90o时间t幅度相移180o三、线性相位设计的重要性1、系统的相移会造成信号波形的改变时2、系统非线性相移造成输出信号失真f1f2f时延f1f2f时延f1f2f()f1f2f()系统相位特性决定了信号不同频率的时延2、系统非线性相移造成输出信号失真f1f2f3、忽略相位信息的后果输入波形DFT变换忽略相位信息IDFT变换输出波形3、忽略相位信息的后果输入波形DFT变换忽略相位信息IDFT4、要求线性相位的例子通信系统：调制解调器、综合业务数据网（ISDN）等。希尔伯特变换器：要求输入输出信号正交。高保真音响系统：音乐的相位失真必须减到最小，尽可能逼真地重现原来的声音。理想微分器：……4、要求线性相位的例子通信系统：调制解调器、综合业务数据网（线性相位要求：5、线性相位的FIR滤波器设计基础----系统的群延迟线性相位要求：5、线性相位的FIR滤波器设计基础----7.2线性相位FIR滤波器特点

FIR滤波器的单位冲激响应：系统函数：在z平面有N–1个零点在z=0处是N–1阶极点

7.2线性相位FIR滤波器特点FIR滤波器的单位冲激响一．线性相位条件如果FIRDF的单位抽样响应h（n）为实数，而且满足偶对称h（n）=h（N-1-n），或满足奇对称h（n）=-h（N-1-n），其对称中心在处，可证明filter就具有准确的线性相位。

N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIRDF，如下所述。一．线性相位条件如果FIRDF的单位抽样响应h（n）为实数1、N为奇数的偶对称例如N=11，对称中心为n0123456789101、N为奇数的偶对称n0123456789102、N为偶数时的偶对称例如N=10，对称中心为n01234567892、N为偶数时的偶对称n01234567893、N为奇数时的奇对称例如，N=11，对称中心为

n0123456789103、N为奇数时的奇对称n0123456789104、N为偶数时的奇对称例如，N=10，对称中心为4.5，

n01234567894、N为偶数时的奇对称n0123456789有两类准确的线性相位，分别要求满足：其中τ、β均为常数因此有：令上两式实部虚部相等，则有：有两类准确的线性相位，分别要求满足：其中τ、β均为常数因此有若将前页的实部虚部相除：从而有：要使上式成立，必须：对另一相位形式，必须有：若将前页的实部虚部相除：从而有：要使上式成立，必须：对另一相二．线性相位频率响应特点命题：设FIR单位冲激响应h(n)为实序列，且满足偶对称（或奇对数）条件：则：二．线性相位频率响应特点命题：设FIR单位冲激响应h(n)为证明：1、偶对称时：即：证明：1、偶对称时：即：所以有：所以有：则为线性相位。其物理意义：该FIR有(N-1)/2个采样周期的群时延。则为线性相位。其物理意义：002．奇对称时即2．奇对称时即所以有：所以有：或则 为线性相位或则 为线性相位

可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。0可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个02．奇对称时即2．奇对称时即28所以有：所以有：29或则 为线性相位或则 为线性相位30

可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。0可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个031二．幅度特点1、h(n)偶对称，N为奇数对（1）式由于:得:二．幅度特点1、h(n)偶对称，N为奇数对（1）式由于:得:32由于得其中:由于得其中:33由于对是偶对称的。因此，对为偶对称。由于对34线性相位滤波器的幅度特点其中，2、h(n)偶对称，N为偶数对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数，项即为0，则线性相位滤波器的幅度特点其中，2、h(n)偶对称，N为偶数35由于时，且对呈奇对称。因此，对呈奇对称。并有:由于时，363、h(n)奇对称，N为奇数所以有：为奇对称的，即：3、h(n)奇对称，N为奇数所以有：为奇对称的，即：37代入式:代入式:38其中,由于在均为0并对这些点呈奇对称。其中,由于在39其中：对（2）式4、h(n)奇对称，N为偶数其中：对（2）式4、h(n)奇对称，N为偶数40线性相位滤波器的幅度特点由于在处为0。因此，对呈奇对称。线性相位滤波器的幅度特点由于在线性相位滤波器的幅度特点总结：（1）第1，2种一般为低通特性；第3，4种一般为高通、带通特性。（2）当N，h(n)均为偶（或奇）时，H(w)为奇对称。 当N，h(n)为一奇一偶时，H(w)为偶对称。线性相位滤波器的幅度特点总结：四、系统函数H（Z）的零点分布情况

1、零点的分布原则所以，如果是零点，则也一定是H（Z）的零点，h（n）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即也一定是H（Z）的零点，也一定是H（Z）的零点。四、系统函数H（Z）的零点分布情况所以，如果2、零点的位置（1）既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，102、零点的位置（1）既不在实轴上，也不在单位圆上(2)不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的倒数就是它们本身，如01(2)不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的0（3）在实轴上，不在单位圆上，实数零点，没复共轭；只有倒数。例如，01（3）在实轴上，不在单位圆上，实数零点，01（4）既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。N为偶数时的偶对称为其零点；N为偶数奇对称H（0）=0，有Z=1零点；N为奇数奇对称有零点Z=1，和Z=-1。（4）既在实轴上也在单位圆上。此时，N为偶数时的§7-3窗函数设计法一、设计方法

1、设计思想先给定理想filter的频响，所要求设计一个FIR的filter的频响为，使逼近

2、设计过程设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应，然后加时间窗对截断，以求得FIRfilter的单位抽样响应h(n)。§7-3窗函数设计法48例如，低通filter0是矩形的，则一定是无限长的且是非因果的。例如，低通filter0是矩形的，则49二、窗函数对频响的影响

1、理想LF的单位抽样响应理想低通filter的频响为100为群延时二、窗函数对频响的影响100为群延时50因为其相位，所以是偶对称，其对称中心为，这是因为时，即为其最大，故为其对称中心。又是无限长的非因果序列因为其相位，所51nn0......1nn0......1522、加矩形窗加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口看，称为窗口函数。其他n值因h（n）是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h（n）可写作h（n）=n为其他值2、加矩形窗其他n值因h（n）是偶对称的。长度533、h（n）的频响

h（n）的频响可通过傅式变换求得，为了便于与的频响相比较，利用卷积定理(1)对于矩形窗的频响3、h（n）的频响(1)对于矩形窗的频响54其中，为幅度函数，为相位函数。（2）对于理想LF的频响

其中，为幅度函数，为相位函数。其中，55（3）h（n）的频响其中，为幅度函数，为相位函数。4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:（3）h（n）的频响其中，56（1）时，也就在到全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。0（1）时，也就570058（2）时，正好与

的一半相重叠。这时有。（2）时，59(3)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。（4）时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。(3)时60（5）当时，随增加，

左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积

也随着的旁瓣在通带内的面积

变化而变化，故将围绕着零值而波动。（5）当61(6)当时，的右边旁瓣将进入的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动。100.5(6)当时，625、几点结论（1）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度（2）在处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。（3）吉布斯（Gibbs）效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是8.95%，这种现象称作吉布斯效应。5、几点结论63三、各种窗函数

1、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求

a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。

b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。

2、矩形窗时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：三、各种窗函数643、三角形（Bartlett）窗时域表达式：1012343、三角形（Bartlett）窗10165频谱：第一对零点为，即，所以主瓣宽度，比矩形宽一倍。频谱：第一对零点为664、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将变形为又由于其中又考虑到，这里4、汉宁窗（升余弦窗）67所以有当时，，窗谱分析可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为所以有当时，68汉宁窗是时，特例汉宁窗是时，695、海明窗，又称作改进升余弦窗其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为其主瓣宽度仍为，（旁瓣峰值/主瓣峰值）〈1%有99.963%的能量集中在主瓣内。海明窗是下一类窗的特例5、海明窗，又称作改进升余弦窗706、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为

其主瓣宽度为，是矩形窗的三倍。6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗717、五种窗函数的比较（1）时域窗布拉克曼三角矩形海明（2）各个窗的幅度函数，如P.340，图7-11，注意图中是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）如P340，图7-12所示。7、五种窗函数的比较布拉克曼三角矩形海明（2）各个窗的幅度函72四、窗函数法的设计

1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数基本参数表（P202表3）确定窗的形式及N的大小（4）最后求及

2、设计举例例1：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的

FIR低通滤波器，具体要求：其他并画出相应的频响特性四、窗函数法的设计例1：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相73解：（1）由于是一理想LF，所以可以得出

（2）确定N

由于相位函数，所以呈偶对称，其对称中心为，因此

（3）加矩形窗则有解：（1）由于是一理想LF，所以74可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心75n1224由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以n1224由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以76例如H（0）=0.94789，可以计算的值，画如下图例如H（0）=0.94789，可以计算77（4）加汉宁窗由于

可以求出序列的各点值通过可求出加窗后的h（n）（4）加汉宁窗通过78相应幅度函数可用下式求得：相应幅度函数可用下式求得：79如H（0）=0.98460，图如下如H（0）=0.98460，图如下80例2.设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为，通带截止频率为，阻带起始频率为，阻带衰减不小于-50dB.幅度特性如图所示。解：（1）求对应的数字频率：通带截止频率为：阻带起始频率为：例2.设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为81（2）求：设为理想线性相位滤波器（2）求：设82（3）求窗函数：由阻带衰减确定窗形状，由过渡带确定N。查表7-3知可选海明窗。所要求的过渡带宽（数字频域）：又海明窗的过渡带满足：由此求得：所以：（3）求窗函数：由阻带衰减确定窗形状，由过渡带确定N。查表783（4）求h(n)：由海明窗的w(n)确定FIR滤波器的h(n)。所以：（4）求h(n)：由海明窗的w(n)确定FIR滤波器的h(n847-4、凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。一、凯泽窗凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗函数。凯泽窗定义为：1。定义7-4、凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计85其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，，是一个可自由选择的参数。2.特点其中，为86可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加；相当于矩形窗;通常选择，它们相当于旁瓣与主瓣幅度为3.1%-0.047%；凯泽窗随变化的曲线如下图：可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，窗越窄。频谱旁瓣87注：第一类零阶修正贝塞尔函数为注：第一类零阶修正贝塞尔函数为88由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,即3.凯泽经验公式该公式可使filter设计人员根据filter的设计指标,估算出值和N值。且，由图可以看出,为对称89：通带截止频率，由定;：止带截止频率，由定.过渡带宽度：通带截止频率，由90第7章-有限单位冲激响应(FIR)数字滤波器设计课件914.设计举例利用凯泽窗设计一FIR低通filter，要求解：4.设计举例利用凯泽窗设计一FIR低通filter，要求解：92取38将N=38,=5.653代入表达式，得取38将N=38,=5.653代入930370.01.0000.02040.021361.83362.0300.04150.042352.55683.3450.07040.078294.654819.960.40820.413343.0865.2510.10740.114333.51117.4410.15220.155323.865610.110.20670.216314.167813.100.26790.297304.428616.440.33620.340370.09417205.635048.030.98220.989284.851223.830.48730.4910275.021527.730.56710.5711265.168231.720.64890.6512255.293135.330.72250.7213245.398039.010.79780.8014235.483841.930.85750.8615225.551544.670.91350.9116215.601746.740.95580.9618195.651548.901.01.0017205.63509504812161819252933372104812161819252933372196n012345637363534333231-0.01220.01290.0139-0.01458-0.015590.016940.018480.020.040.070.110.150.210.27-0.000240.0005160.00096-0.0016-0.00230.00350.0049

n012345637363534333231-0.0122097

78910111213143029282726252423-0.01965-0.021520.02379-0.02659-0.03013-0.034770.041090.050220.340.410.490.570.650.720.800.86-0.0067-0.00880.0120.015-0.0196-0.0250.03290.043

7891011121314302928272625242981516171822212019-0.06451-0.090400.15070.45200.910.960.981.00-0.059-0.0870.1480.45的图形如下所示1516171822212019-0.06451-0.09099第7章-有限单位冲激响应(FIR)数字滤波器设计课件1007-5、频率取样设计法一、设计思想窗函数设计法是从时域出发，把理想的用一定形状的窗函数截取成有限长的，以来近似从而使频响近似理想频响。频率取样法是从频域出发，对理想的频响进行等间隔取样，以有限个频响采样去近似理想频响，即：，7-5、频率取样设计法一、设计思想窗函数设计法是从时域出发，101等间隔取样并且二、利用N个频域采样值重构FIR的系统函数与频响1.重构FIR的的单位抽样响应h(n)根据频域抽样理论（p99），由N个频域采样点可以唯一确定h(n),即对H(k)进行IDFT等间隔取样并且二、利用N个频域采样值重构FIR的系统函数与频1022.重构系统函数H(Z)2.重构系统函数H(Z)1033.FIR的频响将代入表达式可得其中,为大家所知的内插函数.3.FIR的频响将代入104分析可知，当时（采样点）有：这说明，重构的频响，在采样上严格等于H(k),而在采样点之间，频响则由加权的内插函数延伸叠加而成。三、线性相位的约束条件以h(n)为偶对称，N为奇数的情况进行分析.1.FIR的频响具有线性相位的一般表达式分析可知，当105当h(n)为偶对称，N为奇数时，则（P191，表6-1）而且幅度函数应为偶对称，即2.采样值H(k)具有线性相位的约束当h(n)为偶对称，N为奇数时，则（P191，表6-1）而且106其中，表示采样值的模（纯标量），表示其相角。因此，在采样点上具有线性相位的条件应为：而且，必须满足偶对称，即其中，表示采样值的模（纯标107四.设计步骤1.根据指标要求，画出频率采样序列的图形；2.依据的对称特点，可以使问题得以简化；3.根据线性相位的约束条件，求出；4.将代入FIR的频响表达式；5.由的表达式画出实际频响。四.设计步骤1.根据指标要求，画出频率采样序列的图形；2108四.设计举例[例]试用频率采样法，设计一个具有线性相位的低通FIR数字filter，其理想频率特性为：已知，采样点N=33.四.设计举例[例]试用频率采样法，设计一个具有线性相位的109由于h(n)为偶对称，且N=33为奇数，所以对于是偶对称。所以上图可画一半（到）截止频率，即[解]：由于h(n)为偶对称，且N=33为奇数，所以110相位约束条件：而为将代入FIR的频响，得相位约束条件：而为将111考虑到时，，所以将负频部分加进去有：考虑到时，112的图形如下所示：0的图形如下所示：0113第七章

FIR滤波器的设计第七章

FIR滤波器的设计IIR数字滤波器： 可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性FIR数字滤波器： 可以严格线性相位，又可任意幅度特性 因果稳定系统 可用FFT计算 但阶次比IIR滤波器要高得多IIR数字滤波器： 可以利用模拟滤波器设计 但相位非线性主要内容线性相位FIR滤波器的特点窗函数设计法频率抽样设计法IIR与FIR比较主要内容线性相位FIR滤波器的特点7.1引言一、FIR滤波器的主要特点：单位冲激响应只有有限多项可以设计成线性相位系统只在原点处有极点，因此系统总是稳定的便于DSP实现（并可用立即数乘加指令编程，节约存储器）7.1引言一、FIR滤波器的主要特点：单位冲激响应只二、FIR与IIR相比较：首先在相频特性控制上可以做到线性相位，IIR而不能做到这一点，这一点在通信等领域中要求却很重要；其次，FIR不存在稳定性问题，其非递归结构不会产生极限环现象等有限精度问题；最后，FIR还可以FFT用来滤波。故FIR应用越来越多。二、FIR与IIR相比较：首先在相频特性控制上可以做到线性三、线性相位设计的重要性1、系统的相移会造成信号波形的改变时间t幅度原始信号时间t幅度相移90o时间t幅度相移180o三、线性相位设计的重要性1、系统的相移会造成信号波形的改变时2、系统非线性相移造成输出信号失真f1f2f时延f1f2f时延f1f2f()f1f2f()系统相位特性决定了信号不同频率的时延2、系统非线性相移造成输出信号失真f1f2f3、忽略相位信息的后果输入波形DFT变换忽略相位信息IDFT变换输出波形3、忽略相位信息的后果输入波形DFT变换忽略相位信息IDFT4、要求线性相位的例子通信系统：调制解调器、综合业务数据网（ISDN）等。希尔伯特变换器：要求输入输出信号正交。高保真音响系统：音乐的相位失真必须减到最小，尽可能逼真地重现原来的声音。理想微分器：……4、要求线性相位的例子通信系统：调制解调器、综合业务数据网（线性相位要求：5、线性相位的FIR滤波器设计基础----系统的群延迟线性相位要求：5、线性相位的FIR滤波器设计基础----7.2线性相位FIR滤波器特点

FIR滤波器的单位冲激响应：系统函数：在z平面有N–1个零点在z=0处是N–1阶极点

7.2线性相位FIR滤波器特点FIR滤波器的单位冲激响一．线性相位条件如果FIRDF的单位抽样响应h（n）为实数，而且满足偶对称h（n）=h（N-1-n），或满足奇对称h（n）=-h（N-1-n），其对称中心在处，可证明filter就具有准确的线性相位。

N又分为偶数和奇数两种情况，所以有4种线性相位FIRDF，如下所述。一．线性相位条件如果FIRDF的单位抽样响应h（n）为实数1、N为奇数的偶对称例如N=11，对称中心为n0123456789101、N为奇数的偶对称n0123456789102、N为偶数时的偶对称例如N=10，对称中心为n01234567892、N为偶数时的偶对称n01234567893、N为奇数时的奇对称例如，N=11，对称中心为

n0123456789103、N为奇数时的奇对称n0123456789104、N为偶数时的奇对称例如，N=10，对称中心为4.5，

n01234567894、N为偶数时的奇对称n0123456789有两类准确的线性相位，分别要求满足：其中τ、β均为常数因此有：令上两式实部虚部相等，则有：有两类准确的线性相位，分别要求满足：其中τ、β均为常数因此有若将前页的实部虚部相除：从而有：要使上式成立，必须：对另一相位形式，必须有：若将前页的实部虚部相除：从而有：要使上式成立，必须：对另一相二．线性相位频率响应特点命题：设FIR单位冲激响应h(n)为实序列，且满足偶对称（或奇对数）条件：则：二．线性相位频率响应特点命题：设FIR单位冲激响应h(n)为证明：1、偶对称时：即：证明：1、偶对称时：即：所以有：所以有：则为线性相位。其物理意义：该FIR有(N-1)/2个采样周期的群时延。则为线性相位。其物理意义：002．奇对称时即2．奇对称时即所以有：所以有：或则 为线性相位或则 为线性相位

可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。0可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个02．奇对称时即2．奇对称时即141所以有：所以有：142或则 为线性相位或则 为线性相位143

可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个900相移，这样就使得通过filter的所有频率都相移900，因此称它为正交变换网络。（相移900的信号与原信号为正交的）。0可见，其相位特性是线性相位，而且还产生一个0144二．幅度特点1、h(n)偶对称，N为奇数对（1）式由于:得:二．幅度特点1、h(n)偶对称，N为奇数对（1）式由于:得:145由于得其中:由于得其中:146由于对是偶对称的。因此，对为偶对称。由于对147线性相位滤波器的幅度特点其中，2、h(n)偶对称，N为偶数对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数，项即为0，则线性相位滤波器的幅度特点其中，2、h(n)偶对称，N为偶数148由于时，且对呈奇对称。因此，对呈奇对称。并有:由于时，1493、h(n)奇对称，N为奇数所以有：为奇对称的，即：3、h(n)奇对称，N为奇数所以有：为奇对称的，即：150代入式:代入式:151其中,由于在均为0并对这些点呈奇对称。其中,由于在152其中：对（2）式4、h(n)奇对称，N为偶数其中：对（2）式4、h(n)奇对称，N为偶数153线性相位滤波器的幅度特点由于在处为0。因此，对呈奇对称。线性相位滤波器的幅度特点由于在线性相位滤波器的幅度特点总结：（1）第1，2种一般为低通特性；第3，4种一般为高通、带通特性。（2）当N，h(n)均为偶（或奇）时，H(w)为奇对称。 当N，h(n)为一奇一偶时，H(w)为偶对称。线性相位滤波器的幅度特点总结：四、系统函数H（Z）的零点分布情况

1、零点的分布原则所以，如果是零点，则也一定是H（Z）的零点，h（n）为实数时，H（Z）的零点必成共轭对出现，即也一定是H（Z）的零点，也一定是H（Z）的零点。四、系统函数H（Z）的零点分布情况所以，如果2、零点的位置（1）既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，102、零点的位置（1）既不在实轴上，也不在单位圆上(2)不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的倒数就是它们本身，如01(2)不在实轴上，但在单位圆上，共轭对的0（3）在实轴上，不在单位圆上，实数零点，没复共轭；只有倒数。例如，01（3）在实轴上，不在单位圆上，实数零点，01（4）既在实轴上也在单位圆上。此时，只有一个零点，且有两种可能，或位于Z=1，或位于Z=-1。N为偶数时的偶对称为其零点；N为偶数奇对称H（0）=0，有Z=1零点；N为奇数奇对称有零点Z=1，和Z=-1。（4）既在实轴上也在单位圆上。此时，N为偶数时的§7-3窗函数设计法一、设计方法

1、设计思想先给定理想filter的频响，所要求设计一个FIR的filter的频响为，使逼近

2、设计过程设计是在时域进行的，先用傅氏反变换求出理想filter的单位抽样响应，然后加时间窗对截断，以求得FIRfilter的单位抽样响应h(n)。§7-3窗函数设计法161例如，低通filter0是矩形的，则一定是无限长的且是非因果的。例如，低通filter0是矩形的，则162二、窗函数对频响的影响

1、理想LF的单位抽样响应理想低通filter的频响为100为群延时二、窗函数对频响的影响100为群延时163因为其相位，所以是偶对称，其对称中心为，这是因为时，即为其最大，故为其对称中心。又是无限长的非因果序列因为其相位，所164nn0......1nn0......11652、加矩形窗加窗就是实行乘操作，而矩形窗就是截断数据，这相当于通过窗口看，称为窗口函数。其他n值因h（n）是偶对称的。长度为N，所以其对称中心应为，所以h（n）可写作h（n）=n为其他值2、加矩形窗其他n值因h（n）是偶对称的。长度1663、h（n）的频响

h（n）的频响可通过傅式变换求得，为了便于与的频响相比较，利用卷积定理(1)对于矩形窗的频响3、h（n）的频响(1)对于矩形窗的频响167其中，为幅度函数，为相位函数。（2）对于理想LF的频响

其中，为幅度函数，为相位函数。其中，168（3）h（n）的频响其中，为幅度函数，为相位函数。4、窗函数频响产生的影响从几个特殊频率点的卷积过程就可看出其影响:（3）h（n）的频响其中，169（1）时，也就在到全部面积的积分。因此，H（0）/H（0）=1（用H（0）归一化）。0（1）时，也就17000171（2）时，正好与

的一半相重叠。这时有。（2）时，172(3)时，的主瓣全部在的通带内，这时应出现正的肩峰。（4）时，主瓣全部在通带外，出现负的肩峰。(3)时173（5）当时，随增加，

左边旁瓣的起伏部分扫过通带，卷积

也随着的旁瓣在通带内的面积

变化而变化，故将围绕着零值而波动。（5）当174(6)当时，的右边旁瓣将进入的通带，右边旁瓣的起伏造成值围绕值而波动。100.5(6)当时，1755、几点结论（1）加窗后，使频响产生一过渡带，其宽度正好等于窗的频响的主瓣宽度（2）在处出现肩峰，肩峰两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的多少则取决于旁瓣的多少。（3）吉布斯（Gibbs）效应因为窗函数的频响的幅度函数为这是一个很特殊的函数，分析表明，当改变N时仅能改变的绝对值的大小，和主瓣的宽度，旁瓣的宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例，也就是说，不会改变归一化频响的肩峰的相对值。对于矩形窗最大相对肩峰为8.95%，不管N怎样改变，最大肩峰总是8.95%，这种现象称作吉布斯效应。5、几点结论176三、各种窗函数

1、基本概念（1）窗谱：窗函数的频响的幅度函数亦称作窗谱。（2）对窗函数要求

a）希望窗谱主瓣尽量窄，以获得较陡的过渡带，这是因为过渡带等于主瓣宽度。

b）尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度，这样可使肩峰和波纹减少。

2、矩形窗时域表达式：频域表达式（频谱）：幅度函数：三、各种窗函数1773、三角形（Bartlett）窗时域表达式：1012343、三角形（Bartlett）窗101178频谱：第一对零点为，即，所以主瓣宽度，比矩形宽一倍。频谱：第一对零点为1794、汉宁窗（升余弦窗）其窗谱可利用如下方法求出，将变形为又由于其中又考虑到，这里4、汉宁窗（升余弦窗）180所以有当时，，窗谱分析可知，它等于三部分之和，旁瓣较大程度地互相抵消，但主瓣加宽一倍，即为所以有当时，181汉宁窗是时，特例汉宁窗是时，1825、海明窗，又称作改进升余弦窗其窗函数为仿照汉宁窗的分析方法可以得其频响的幅度函数为其主瓣宽度仍为，（旁瓣峰值/主瓣峰值）〈1%有99.963%的能量集中在主瓣内。海明窗是下一类窗的特例5、海明窗，又称作改进升余弦窗1836、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗加上余弦的二次谐波分量，可以进一步抑制旁瓣相应的幅度函数为

其主瓣宽度为，是矩形窗的三倍。6、布拉克曼窗，又称二阶余弦窗1847、五种窗函数的比较（1）时域窗布拉克曼三角矩形海明（2）各个窗的幅度函数，如P.340，图7-11，注意图中是dB表示的。（3）理想LF加窗后的幅度函数（响应）如P340，图7-12所示。7、五种窗函数的比较布拉克曼三角矩形海明（2）各个窗的幅度函185四、窗函数法的设计

1、设计步骤（1）给定频响函数（2）求出单位抽样响应（3）根据过渡带宽度和阻带最小衰减，借助窗函数基本参数表（P202表3）确定窗的形式及N的大小（4）最后求及

2、设计举例例1：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相位的

FIR低通滤波器，具体要求：其他并画出相应的频响特性四、窗函数法的设计例1：分别利用矩形窗与汉宁窗设计具有线性相186解：（1）由于是一理想LF，所以可以得出

（2）确定N

由于相位函数，所以呈偶对称，其对称中心为，因此

（3）加矩形窗则有解：（1）由于是一理想LF，所以187可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心可以求出h（n）的数值，注意偶对称，对称中心188n1224由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以n1224由于h（n）为偶对称，N=25为奇数，所以189例如H（0）=0.94789，可以计算的值，画如下图例如H（0）=0.94789，可以计算190（4）加汉宁窗由于

可以求出序列的各点值通过可求出加窗后的h（n）（4）加汉宁窗通过191相应幅度函数可用下式求得：相应幅度函数可用下式求得：192如H（0）=0.98460，图如下如H（0）=0.98460，图如下193例2.设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为，通带截止频率为，阻带起始频率为，阻带衰减不小于-50dB.幅度特性如图所示。解：（1）求对应的数字频率：通带截止频率为：阻带起始频率为：例2.设计一个线性相位FIR低通滤波器，给定抽样频率为194（2）求：设为理想线性相位滤波器（2）求：设195（3）求窗函数：由阻带衰减确定窗形状，由过渡带确定N。查表7-3知可选海明窗。所要求的过渡带宽（数字频域）：又海明窗的过渡带满足：由此求得：所以：（3）求窗函数：由阻带衰减确定窗形状，由过渡带确定N。查表7196（4）求h(n)：由海明窗的w(n)确定FIR滤波器的h(n)。所以：（4）求h(n)：由海明窗的w(n)确定FIR滤波器的h(n1977-4、凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计上述几种窗函数：矩形窗、汉宁窗、海明窗等，为了压制旁瓣，是以加宽主瓣为代价的。而且，每一种窗的主瓣和旁瓣之比是固定不变的，而凯泽窗可以在主瓣宽度与旁瓣衰减之间自由选择。一、凯泽窗凯泽在1966（1974）发现，利用第一类零阶修正（变形）贝赛尔函数可以构成一种近似最佳的窗函数。凯泽窗定义为：1。定义7-4、凯泽（Kaiser）窗及其滤波器设计198其中，为第一类零阶修正贝塞尔函数，，是一个可自由选择的参数。2.特点其中，为199可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，窗越窄。频谱旁瓣越小，而主瓣相应增加；相当于矩形窗;通常选择，它们相当于旁瓣与主瓣幅度为3.1%-0.047%；凯泽窗随变化的曲线如下图：可同时调整主瓣宽度与旁瓣;越大，窗越窄。频谱旁瓣200注：第一类零阶修正贝塞尔函数为注：第一类零阶修正贝塞尔函数为201由图可以看出,为对称中心，且是偶对称,即3.凯泽经验公式该公式可使filter设计人员根据filter的设计指标,估算出值和N值。且，由图可以看出,为对称202：通带截止频率，由定;：止带截止频率，由定.过渡带宽度：通带截止频率，由203第7章-有限单位冲激响应(FIR)数字滤波器设计课件2044.设计举例利用凯泽窗设计一FIR低通filter，要求解：4.设计举例利用凯泽窗设计一FIR低通filter，要求解：205取38将N=38,=5.653代入表达式，得取38将N=38,=5.653代入2060370.01.0000.02040.021361.83362.0300.04150.042352.55683.3450.07040.078294.654819.960.40820.413343.0865.2510.10740.114333.51117.4410.15220.155323.865610.110.20670.216314.167813.100.26790.297304.428616.440.33620.340370.020717205.635048.030.98220.989284.851223.830.48730.4910275.021527.730.56710.5711265.1682