初中数学竞赛辅导讲义从三角形的内切圆谈起

初中数学竞赛辅导讲义从三角形的内切圆谈起的内心，圆外切三角形、圆外切四边形有下列重要性质：形的三边距离相等；四边形是否有外切圆的主要方法．当圆外切三角形、四边形是特殊三角形时，就得到隐含丰富结论的下列图形：注：设Rt△ABC的各边长分别为a、b、c(斜边)，运用切线长定理、面积等知识可得到其内切圆半径的不同表示式：rabc；2r ab ．abc请读者给出证【例题求解】11Rt△ABC中，∠C=90°°，BC=5，⊙ORt△ABCABBCACDEF的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF只需求出AF(AD)即可．2】如图，以定线段AB为半圆上任意一点(A、B)POA、B两点的切线于DBDN点，连结ON，NP论：①四边形ANPD是梯形；②ON=NP：③DP·PC为定值；④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是( )A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键．2【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°，点B在CE上，CA=CB=CDA、C、DABF，求证：FCDE的内心．(全国初中数学联赛试题)思路点拨连CFF为△CDE分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．4】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CDE，连结OE长交ADF．问∠BOZ120°，并简要说明理由；证明△AOF∽△EDFDFDE1；OF OA 23求DF的长．思路点拨分解出基本图形，作出基本辅助线．(1)若∠BOZ=120°，看能否推出矛盾；(2)把计算与推理融合；(3)DFDF二次方程．ABCDAD+BC=CD应用广泛的两个性质：以边ABCD(2)以边CDAB类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用．【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC；△ACD、△BCD的角平分线的交点，求4证：(1)O1O⊥CO2；(2)OC=O1O2．(武汉市选拔赛试题)思路点拨角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相等．学力训练1．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于= cm．2．如图，在直角，坐标系中AB的坐标分别为则Rt△ABO内心的坐标是 ．如图，梯形ABCD中若以AB为直径的⊙O与DC相切于E，则DC= ．5为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于( )A．4 B．5 C．3 D．55 4 4 6如图，在梯形ABCDCD为直径的半圆OABE21cm220cmO的半径为()A．3cm B．7cm C．3cm或7cm D．2cm6．如图中，内切圆O和边BCAAB分别相切于D、EF，则以下四个结论中，错误的结论是( )A．点O是△DEF的外心 B．∠AFE=1(∠B+∠C)2C．∠BOC=90°1∠A D．∠DFE=90°一1∠B2 2是⊙OAD是⊙O的切线，切点分别6为B、PCADD，连结AO、(1)求证：△ABO∽△OCD；若ABCD是关于x的方程x25(m1)xm120的两个实数根，2△ 且SABO+SOCD=20，求m△ AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点DAD并延长，BC相交于点(1)若BC=3，CD=1，求⊙O的半径；取BEF，连结DF，求证：DF是⊙O的切线；过DDG⊥BC于与DGMDM＝GM．ABCD中BC=16cm，CD=5cm，AB为⊙OPADAD1cm／秒QCB方向从点CB2cm／秒PQAC两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．求⊙O的直径；PQCDyPQ运动时间t的函数关PQCDPQCP7是否存在某时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 002年烟台市中考题)已知在中为AB上的高，Ol、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则OlO2= ．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分线相于P点又PE⊥AB于点若BC=2AC=则AEB= 如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分那么该直线必通过这个三角形的( )A．内心 B．外心 C．圆心 D．重心13．如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点AB和BC相于点P，和ABAC分别交于点E，F，若BD=AE，且CF=b，则AF的长为( )A．D．1 3b2

1 5a2

B．1 3a2

C．1 5b28ABCDACO为△ABCOOE⊥ADEOF⊥CDFOFDE面积与矩形ABCD的面积的比值为()A．1 B．

C．

D．不能确定2 3 4(《学习报》公开赛试题)如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC=AB．在⌒D，作DE⊥CD，交直线AB于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．设AD是x°的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是 ；DAB=AC条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．如图，△ABCBC=1(AB+AC)，O、I分别2为△ABCBAC的外角平分线交⊙O于9的延长线交⊙O于D，DE交BC于H．求证：(1)AI=BD；(2)OI=1AE．2如图，已知AB是⊙O是⊙OADDDE⊥ABEACDE