初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第22讲 园幂定理

PAGEPAGE3第二十二讲 园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：条相交弦使其交点在圆外的情况；熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】切⊙O于点交⊙O于ABCT交于点AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例；(2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；(4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例】如图，在平行四边形ABCD中，过ABC三点的圆交AD于点E，且与CD切，若AB=4，BE=5，则DE的长( )A．3 B．4 C．15

D．164 5思路点拨连AC，CE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．】如图，△ABC是过AB．是⊙O的切线；如果弦CD交AB于的延长线交PA3，求AB的长和∠ECB的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数xk处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找k的关系，建立xk的方程．】如图，是平行四边形AB的边AB与ACBC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．等积式是转化问题的桥梁．各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BEF∽△EAF，Rt△AEB入手．分析图形可从以下方面入手：多视点观察图形．如本例从D点看可用切线长定理，从F点看可用切割线定理．(2)角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练如图是的切线为切点是⊙O的割线，交于AB两点，交弦CD于点已知则PT的长为 ．如图PCD为⊙O的两条割线，若则AC：BD= ．如图是⊙O的直径是AB延长线上的一点是⊙O的切线为切点，点B作⊙O的切线交CD于点若AB=CD=2，则CE= ．如图，在中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC为直径作圆与斜边交于点则BP的长( )A．6．4 B．3．2 C．3．6 D．8如图，⊙O的弦AB平分半径OC，交OC于P点，已知、PB的长分别为方程222x212x240的两根，则此圆的直径( )2222A．82

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2O的直径Ab垂直于弦C，垂足为，点P是C点P不与C两点重合，连结PCPDADE在AP与AB交于点F，给出下列四个结论：①CH=AH·B；②D ⌒：③A2=DF·DP；④∠EPC∠APD，其中正确的＝AC个数是( )A．1 B．2 C．3 D．4BC切半圆于点BC于点D．若∠B=30°，问AB与AP?请说明理由；求证：PD·PO=PC·PB；若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的长．如图，已知PA切⊙O于点A，割线PBC于点BC，PD⊥AB于点AO的延长线相交于点E，连CE于点(1)求证：△PBD∽△PEC；(2)若AB=12，tan∠EAF=2，求⊙O的半径的长．3AB切⊙OB，PAC，PF、BC于EDG，且BEBD恰哈好是关于xx26xm24m13)0(其中m为实数的两根．3(1)求证：BE=BD；(2)若GE·EF=6 ，求的度数．3中，∠C=90°，OABOAB4相交于点E，与AC相切于点D，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．4PAGEPAGE8如图，已知ABD在同一个圆上与BD交于若且线段BEED为正整数，则BD= ．如图是半圆O的直径BC延长线上一点切半圆于点于若PB+PC=a(a>2)，则PH=( )A．2 B．1 C．a D．aa a 2 3如图是⊙O的内接正三角形弦EF经过BC的中点且若AB=2，则DE的长( )1

C． D．15 132 2 25 13如图，已知AB为⊙O上一点，延长BC至D，使E，BEF，AFCE于P为正方形，以D为半径的圆弧与以BC为直径的⊙O相交于PC两点，连结APCP，并延长CPAP分别交ABBC于EH、F三点，连结OF．(1)求证：△AEP∽△CEA；(2)判断线段AB与OF的位置关系，并证明你的结论；(3)求BH:HCPB是⊙OAB与PCPE