两条直线的位置关系-课件

要点梳理1.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为

k1,k2,则有l1∥l2

.特别地，当直线l1、

l2的斜率都不存在时，l1与l2.§9.2两条直线的位置关系k1=k2平行基础知识自主学习§9.2两条直线的位置关系k1=k2平行基础知识自1(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2k1·k2=-1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直.2.两直线相交交点：直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有

，交点坐标就是方程组的解；平行方程组

；重合方程组有

.唯一解无解无数个解(2)两条直线垂直唯一解无解无数个解23.三种距离公式（1）点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离:|AB|=

.（2）点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离:

d=

.（3）两平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）间的距离为d=

.3.三种距离公式3基础自测1.（2019·全国Ⅱ文，3）原点到直线x+2y-5=0的距离为（）A.1B.C.2D.解析D基础自测D42.（2019·福建文，2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析当a=1时,直线x+y=0与直线x-y=0垂直成立；当直线x+y=0与直线x-ay=0垂直时，a=1.所以“a=1”是“直线x+y=0与直线x-ay=0互相垂直”的充要条件.C2.（2019·福建文，2）“a=1”是“直线x+y=0和C53.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A（2，1），则它的另一个端点B的坐标是（）

A.（-3，1）或（7，1）B.（2，-3）或（2，7）C.（-3，1）或（5，1）D.（2，-3）或（2，5）

解析设B（x，1），则由|AB|=5，得（x-2）2=25，∴x=7或x=-3.∴B点坐标为（7，1）或（-3，1）.A3.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个A64.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点

A（3，2）、B（a，-1），且l1与l垂直，直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A.-4B.-2C.0D.2

解析

l的斜率为-1，则l1的斜率为1,

kAB==1,a=0.由l1∥l2,b=-2,所以a+b=-2.B4.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点B75.已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1），

Q（3，m），若l1⊥l2，则实数m=

.

解析由已知得l1的斜率k1=1,l2的斜率k2=.∵l1⊥l2，∴k1·k2=-1.

-65.已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1），-8题型一两条直线的平行与垂直【例1】已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标.（1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）；（2）∠MPN是直角. ∠MOP=∠OPNOM∥PN，∠MPN是直角MP⊥NP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得.思维启迪题型分类深度剖析题型一两条直线的平行与垂直思维启迪题型分类深度剖析9解设P（x，0），（1）∵∠MOP=∠OPN，∴OM∥NP.∴kOM=kNP.又kOM==1，∴x=7，即P（7，0）.（2）∵∠MPN=90°，∴MP⊥NP，∴kMP·kNP=-1.又kMP=（x≠2），kNP=（x≠5），∴=-1，解得x=1或x=6,即P（1，0）或（6，0）.解设P（x，0），10探究提高（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1∥l2k1=k2,l1⊥l2k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.（2）注意转化与化归思想的应用.探究提高（1）充分掌握两直线平行与垂直的条11知能迁移1已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.解设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，∴kAB·kBC=0≠-1，即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.知能迁移1已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0）12（1）若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3.又kAD=kBC，∴=0，即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为（3，3）.（2）若AD是直角梯形的直角边，则AD⊥AB，AD⊥CD，kAD=，kCD=.由于AD⊥AB，∴·3=-1.又AB∥CD，∴=3.（1）若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，13解上述两式可得此时AD与BC不平行.故所求点D的坐标为综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或解上述两式可得此时AD与BC不平行.14题型二两直线的交点【例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解.解

方法一先解方程组得l1、l2的交点（-1，2），再由l3的斜率求出l的斜率为-，于是由直线的点斜式方程求出l:即5x+3y-1=0.思维启迪题型二两直线的交点思维启迪15方法二由于l⊥l3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过l1、l2的交点（-1，2），故5×（-1）+3×2+C=0，由此求出C=-1，故l的方程为5x+3y-1=0.方法三由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x+2y-1+（5x+2y+1）=0中的一条，将其整理，得（3+5）x+（2+2）y+（-1+）=0.其斜率解得=，代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.方法二由于l⊥l3，故l是直线系5x+3y+C=0中的16探究提高

运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0（m∈R且m≠C）（2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0（m∈R）（3）过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0（∈R），但不包括l2.探究提高运用直线系方程，有时会给解题带来17知能迁移2过点P（3，0）作一直线l，使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程.解方法一当l⊥x轴时，方程为x=3，此时A（3，4），B（3,-6）.线段AB的中点为（3,-1）不合题意，当l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k(x-3),将此方程分别与l1,l2的方程联立，知能迁移2过点P（3，0）作一直线l，使它被两将此方程分18将此方程分别与l1,l2的方程联立，解之，得xA=和xB=∵P（3，0）是线段AB的中点，∴xA+xB=6，即解得k=8.故所求的直线l为y=8(x-3),即8x-y-24=0.将此方程分别与l1,l2的方程联立，19方法二设l1上的点A的坐标为（x1,y1）,∵P（3，0）是线段AB的中点，则l2上的点B的坐标为（6-x1,-y1）,∴解这个方程组，得∴点A的坐标为由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.方法二设l1上的点A的坐标为（x1,y1）,20题型三距离公式的应用【例3】已知点P（2，-1）.（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.思维启迪题型三距离公式的应用21解（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，-1），可见，过P（2，-1）且垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在，其方程为x=2.若斜率存在，设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得=2，解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.解（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标22（2）作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP=-1，所以由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.（2）作图可得过P点与原点O距离最大的直线是23探究提高

（1）注意讨论斜率不存在的情况.（2）数形结合是解决解析几何问题特别要注意的一种思想方法.知能迁移3已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.探究提高（1）注意讨论斜率不存在的情况.24解(1)l2即为2x-y-=0,∴l1与l2的距离∵a＞0,∴a=3.解(1)l2即为2x-y-=0,25(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上，且即C=或C=，若P点满足条件③，由点到直线的距离公式(2)假设存在这样的P点.26即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P点在第一象限，∴3x0+2=0不满足题意.联立方程联立方程∴假设成立，P即为同时满足三个条件的点.即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，27题型四对称问题【例4】（12分）求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.转化为点关于直线的对称，利用方程组求解.解题示范解方法一由知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），2分∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.3分在直线l上任取一点（1，2），思维启迪题型四对称问题思维启迪28由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，5分由点到直线的距离公式得8分解得k=(k=2舍去)，10分∴直线l2的方程为x-2y=0.12分方法二设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点在直线l上.6分由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，5分29∴变形得8分代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,10分整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.12分∴30探究提高

对称问题是解析几何中的一个重要题型，是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决.求点P（x0,y0）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q（x1,y1）的坐标，可利用PQ⊥l及线段PQ被l平分这两个条件建立方程组求解,本题方法二就是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题，这是解这类问题的一个通法.探究提高对称问题是解析几何中的一个重要题31知能迁移4光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解方法一由得∴反射点M的坐标为（-1,2）.又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P′(x0,y0)，由PP′⊥l可知,kPP′=-=

知能迁移4光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直32而PP′的中点Q的坐标为Q点在l上，∴3·-2·+7=0.由根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.而PP′的中点Q的坐标为33方法二设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y),则又PP′的中点在l上，

方法二设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关34可得P点的坐标为代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,所以所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.可得P点的坐标为35方法与技巧1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2k1=k2；l1⊥l2k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.失误与防范在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑.思想方法感悟提高失误与防范思想方法感悟提高36一、选择题1.若点（5，b）在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间，则整数b的值为（）A.5B.-5C.4D.-4

解析把x=5代入6x-8y+1=0得y=，把x=5代入3x-4y+5=0得y=5,∴＜b＜5.又∵b为整数，∴b=4.定时检测C一、选择题定时检测C372.光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）A.y=3x-3B.y=-3x+3C.y=-3x-3D.y=3x+3

解析点M关于x轴的对称点M′(2,-3)，则反射光线即在直线NM′上，∵∴y=-3x+3.B2.光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射383.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（）A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

解析令y′=4x3=4,得x=1,∴切点为（1，1），

l的斜率为4.故l的方程为y-1=4(x-1)，即4x-y-3=0.A3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，A394.光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被y=x反射后的光线所在的直线方程为（）A.B.C.D.

解析由即直线过点（-1，-1）.又直线y=2x+1上一点（0，1）关于直线y=x对称的点（1，0）在所求直线上，∴所求直线方程为B4.光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被y=x反射后的405.已知直线l过点P(3,4)且与点A（-2,2）,B(4,-2)等距离,则直线l的方程为（）A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0

解析设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知，得∴k=2或k=-.∴所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.D5.已知直线l过点P(3,4)且与点A（-2,2）,B(4,416.已知直线l1,l2的方程分别为

x+ay+b=0,x+cy+d=0，其图象如图所示，则有（）A.ac＜0B.a＜c

C.bd＜0D.b＞d

解析直线方程化为

l1：y=-x-，l2：y=-x-.由图象知，-＜-＜0,-＞0＞-,∴a＞c＞0,b＜0,d＞0.C6.已知直线l1,l2的方程分别为C42二、填空题7.过点A（2，-3），且与向量m=（4，-3）垂直的直线方程是

.

解析与向量平行的直线斜率为-，则与其垂直的直线斜率为.∴直线方程为

y+3=(x-2),即4x-3y-17=0.4x-3y-17=0二、填空题4x-3y-17=0438.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y+2a=0,则

l1∥l2的充要条件是a=

.

解析-1得a=-1.8.已知直线l1:x+ay+6=0和l2:(a-2)x+3y449.从点（2，3）射出的光线沿与直线x-2y=0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为

.

解析由题意得，射出的光线方程为y-3=即x-2y+4=0，与y轴交点为（0，2），又（2，3）关于y轴对称点为（-2，3），∴反射光线所在直线过（0，2），（-2，3），故方程为

即x+2y-4=0.x+2y-4=09.从点（2，3）射出的光线沿与直线x-2y=0平行的x+245三、解答题10.已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线l′的方程.（1）l′与l平行且过点（-1，3）；（2）l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4；（3）l′是l绕原点旋转180°而得到的直线.

解（1）直线l:3x+4y-12=0，kl=-，又∵l′∥l,∴kl′=kl=-.∴直线l′:y=-(x+1)+3,即3x+4y-9=0.三、解答题46（2）∵l′⊥l,∴kl′=.设l′与x轴截距为b,则l′与y轴截距为b,由题意可知，S=|b|·=4，∴b=±.∴直线l′:（3）∵l′是l绕原点旋转180°而得到的直线，∴l′与l关于原点对称.任取点（x0,y0）在l上，则在l′上对称点为（x,y）.x=-x0，y=-y0,则-3x-4y-12=0.∴l′为3x+4y+12=0.（2）∵l′⊥l,∴kl′=.4711.已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0.求分别满足下列条件的a,b的值.（1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与l2垂直；（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1,l2的距离相等.

解（1）∵l1⊥l2，∴a（a-1）+（-b）·1=0，即a2-a-b=0. ①又点（-3，-1）在l1上，∴-3a+b+4=0 ②由①②得a=2,b=2.

11.已知两直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x48(2)∵l1∥l2，∴=1-a，∴b=，故l1和l2的方程可分别表示为：(a-1)x+y+=0,(a-1)x+y+=0,又原点到l1与l2的距离相等，∴∴a=2或a=,∴a=2,b=-2或a=,b=2.(2)∵l1∥l2，∴=1-a，∴b=，4912.光线通过点A（-2，4），经直线l:2x-y-7=0反射，若反射光线通过点B（5，8）.求入射光线和反射光线所在直线的方程.

解如图所示，已知直线l:2x-y-7=0,设光线AC经l上点C反射为

BC，则∠1=∠2.再设A关于l的对称点为

A′(a,b),则∠1=∠3.∴∠2=∠3，则B，C，A′三点共线.

12.光线通过点A（-2，4），经直线l:2x-y-7=0反50∵A′A⊥l且AA′中点在l上，解得a=10,b=-2,即

(10,-2).∴A′B的方程为y+2=(x-10)，即2x+y-18=0.∴A′B与l的交点为C∴入射光线AC的方程为即2x-11y+48=0.∴入射光线方程为2x-11y+48=0,反射光线方程为2x+y-18=0.返回∵A′A⊥l且AA′中点在l上，返回51要点梳理1.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为

k1,k2,则有l1∥l2

.特别地，当直线l1、

l2的斜率都不存在时，l1与l2.§9.2两条直线的位置关系k1=k2平行基础知识自主学习§9.2两条直线的位置关系k1=k2平行基础知识自52(2)两条直线垂直如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2k1·k2=-1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直.2.两直线相交交点：直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的公共点的坐标与方程组的解一一对应.相交方程组有

，交点坐标就是方程组的解；平行方程组

；重合方程组有

.唯一解无解无数个解(2)两条直线垂直唯一解无解无数个解533.三种距离公式（1）点A（x1，y1）、B（x2，y2）间的距离:|AB|=

.（2）点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离:

d=

.（3）两平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0（C1≠C2）间的距离为d=

.3.三种距离公式54基础自测1.（2019·全国Ⅱ文，3）原点到直线x+2y-5=0的距离为（）A.1B.C.2D.解析D基础自测D552.（2019·福建文，2）“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析当a=1时,直线x+y=0与直线x-y=0垂直成立；当直线x+y=0与直线x-ay=0垂直时，a=1.所以“a=1”是“直线x+y=0与直线x-ay=0互相垂直”的充要条件.C2.（2019·福建文，2）“a=1”是“直线x+y=0和C563.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个端点是A（2，1），则它的另一个端点B的坐标是（）

A.（-3，1）或（7，1）B.（2，-3）或（2，7）C.（-3，1）或（5，1）D.（2，-3）或（2，5）

解析设B（x，1），则由|AB|=5，得（x-2）2=25，∴x=7或x=-3.∴B点坐标为（7，1）或（-3，1）.A3.一条平行于x轴的线段长是5个单位，它的一个A574.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点

A（3，2）、B（a，-1），且l1与l垂直，直线l2:2x+by+1=0与直线l1平行，则a+b等于（）A.-4B.-2C.0D.2

解析

l的斜率为-1，则l1的斜率为1,

kAB==1,a=0.由l1∥l2,b=-2,所以a+b=-2.B4.已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点B585.已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1），

Q（3，m），若l1⊥l2，则实数m=

.

解析由已知得l1的斜率k1=1,l2的斜率k2=.∵l1⊥l2，∴k1·k2=-1.

-65.已知l1的倾斜角为45°，l2经过点P（-2，-1），-59题型一两条直线的平行与垂直【例1】已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标.（1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）；（2）∠MPN是直角. ∠MOP=∠OPNOM∥PN，∠MPN是直角MP⊥NP，故而可利用两直线平行和垂直的条件求得.思维启迪题型分类深度剖析题型一两条直线的平行与垂直思维启迪题型分类深度剖析60解设P（x，0），（1）∵∠MOP=∠OPN，∴OM∥NP.∴kOM=kNP.又kOM==1，∴x=7，即P（7，0）.（2）∵∠MPN=90°，∴MP⊥NP，∴kMP·kNP=-1.又kMP=（x≠2），kNP=（x≠5），∴=-1，解得x=1或x=6,即P（1，0）或（6，0）.解设P（x，0），61探究提高（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1∥l2k1=k2,l1⊥l2k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.（2）注意转化与化归思想的应用.探究提高（1）充分掌握两直线平行与垂直的条62知能迁移1已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.解设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，∴kAB·kBC=0≠-1，即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.知能迁移1已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0）63（1）若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3.又kAD=kBC，∴=0，即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为（3，3）.（2）若AD是直角梯形的直角边，则AD⊥AB，AD⊥CD，kAD=，kCD=.由于AD⊥AB，∴·3=-1.又AB∥CD，∴=3.（1）若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，64解上述两式可得此时AD与BC不平行.故所求点D的坐标为综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或解上述两式可得此时AD与BC不平行.65题型二两直线的交点【例2】求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点，且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程. 可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解.解

方法一先解方程组得l1、l2的交点（-1，2），再由l3的斜率求出l的斜率为-，于是由直线的点斜式方程求出l:即5x+3y-1=0.思维启迪题型二两直线的交点思维启迪66方法二由于l⊥l3，故l是直线系5x+3y+C=0中的一条，而l过l1、l2的交点（-1，2），故5×（-1）+3×2+C=0，由此求出C=-1，故l的方程为5x+3y-1=0.方法三由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x+2y-1+（5x+2y+1）=0中的一条，将其整理，得（3+5）x+（2+2）y+（-1+）=0.其斜率解得=，代入直线系方程即得l的方程为5x+3y-1=0.方法二由于l⊥l3，故l是直线系5x+3y+C=0中的67探究提高

运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：（1）与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0（m∈R且m≠C）（2）与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0（m∈R）（3）过直线l1：A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+（A2x+B2y+C2）=0（∈R），但不包括l2.探究提高运用直线系方程，有时会给解题带来68知能迁移2过点P（3，0）作一直线l，使它被两直线l1:2x-y-2=0和l2:x+y+3=0所截的线段AB以P为中点，求此直线l的方程.解方法一当l⊥x轴时，方程为x=3，此时A（3，4），B（3,-6）.线段AB的中点为（3,-1）不合题意，当l不垂直于x轴时，设直线l的方程为y=k(x-3),将此方程分别与l1,l2的方程联立，知能迁移2过点P（3，0）作一直线l，使它被两将此方程分69将此方程分别与l1,l2的方程联立，解之，得xA=和xB=∵P（3，0）是线段AB的中点，∴xA+xB=6，即解得k=8.故所求的直线l为y=8(x-3),即8x-y-24=0.将此方程分别与l1,l2的方程联立，70方法二设l1上的点A的坐标为（x1,y1）,∵P（3，0）是线段AB的中点，则l2上的点B的坐标为（6-x1,-y1）,∴解这个方程组，得∴点A的坐标为由两点式可得l的方程为8x-y-24=0.方法二设l1上的点A的坐标为（x1,y1）,71题型三距离公式的应用【例3】已知点P（2，-1）.（1）求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；（2）求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，最大距离是多少？（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.思维启迪题型三距离公式的应用72解（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为（2，-1），可见，过P（2，-1）且垂直于x轴的直线满足条件.此时l的斜率不存在，其方程为x=2.若斜率存在，设l的方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.由已知，得=2，解得k=.此时l的方程为3x-4y-10=0.综上，可得直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.解（1）过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标73（2）作图可得过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由l⊥OP，得klkOP=-1，所以由直线方程的点斜式得y+1=2(x-2),即2x-y-5=0.即直线2x-y-5=0是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线.（2）作图可得过P点与原点O距离最大的直线是74探究提高

（1）注意讨论斜率不存在的情况.（2）数形结合是解决解析几何问题特别要注意的一种思想方法.知能迁移3已知三条直线l1：2x-y+a=0（a＞0）,直线l2:4x-2y-1=0和直线l3:x+y-1=0,且l1与l2的距离是.(1)求a的值;(2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件:①P是第一象限的点;②P点到l1的距离是P点到l2的距离的;③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶.若能,求P点坐标;若不能,说明理由.探究提高（1）注意讨论斜率不存在的情况.75解(1)l2即为2x-y-=0,∴l1与l2的距离∵a＞0,∴a=3.解(1)l2即为2x-y-=0,76(2)假设存在这样的P点.设点P(x0,y0),若P点满足条件②,则P点在与l1、l2平行的直线l′：2x-y+C=0上，且即C=或C=，若P点满足条件③，由点到直线的距离公式(2)假设存在这样的P点.77即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，∴x0-2y0+4=0或3x0+2=0；由于P点在第一象限，∴3x0+2=0不满足题意.联立方程联立方程∴假设成立，P即为同时满足三个条件的点.即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|，78题型四对称问题【例4】（12分）求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程.转化为点关于直线的对称，利用方程组求解.解题示范解方法一由知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1），2分∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.3分在直线l上任取一点（1，2），思维启迪题型四对称问题思维启迪79由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，5分由点到直线的距离公式得8分解得k=(k=2舍去)，10分∴直线l2的方程为x-2y=0.12分方法二设所求直线上一点P（x,y）,则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称.由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点在直线l上.6分由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等，5分80∴变形得8分代入直线l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,10分整理得x-2y=0.所以所求直线方程为x-2y=0.12分∴81探究提高

对称问题是解析几何中的一个重要题型，是高考热点之一.两条曲线关于一条直线对称常转化为曲线上的点关于直线对称来解决.求点P（x0,y0）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点Q（x1,y1）的坐标，可利用PQ⊥l及线段PQ被l平分这两个条件建立方程组求解,本题方法二就是利用这种方法结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题，这是解这类问题的一个通法.探究提高对称问题是解析几何中的一个重要题82知能迁移4光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直线l:3x-2y+7=0后反射，求反射光线所在的直线方程.解方法一由得∴反射点M的坐标为（-1,2）.又取直线x-2y+5=0上一点P（-5，0），设P关于直线l的对称点P′(x0,y0)，由PP′⊥l可知,kPP′=-=

知能迁移4光线沿直线l1:x-2y+5=0射入，遇直83而PP′的中点Q的坐标为Q点在l上，∴3·-2·+7=0.由根据直线的两点式方程可得所求反射光线所在直线的方程为29x-2y+33=0.而PP′的中点Q的坐标为84方法二设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关于直线l的对称点为P′(x,y),则又PP′的中点在l上，

方法二设直线x-2y+5=0上任意一点P（x0,y0）关85可得P点的坐标为代入方程x-2y+5=0中，化简得29x-2y+33=0,所以所求反射光线所在的直线方程为29x-2y+33=0.可得P点的坐标为86方法与技巧1.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1∥l2k1=k2；l1⊥l2k1·k2=-1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意.2.对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称.利用坐标转移法.失误与防范在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在.两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑.思想方法感悟提高失误与防范思想方法感悟提高87一、选择题1.若点（5，b）在两条平行直线6x-8y+1=0与3x-4y+5=0之间，则整数b的值为（）A.5B.-5C.4D.-4

解析把x=5代入6x-8y+1=0得y=，把x=5代入3x-4y+5=0得y=5,∴＜b＜5.又∵b为整数，∴b=4.定时检测C一、选择题定时检测C882.光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射光线所在的直线方程为（）A.y=3x-3B.y=-3x+3C.y=-3x-3D.y=3x+3

解析点M关于x轴的对称点M′(2,-3)，则反射光线即在直线NM′上，∵∴y=-3x+3.B2.光线自点M（2，3）射到N（1，0）后被x轴反射，则反射893.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，则l的方程为（）A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

解析令y′=4x3=4,得x=1,∴切点为（1，1），

l的斜率为4.故l的方程为y-1=4(x-1)，即4x-y-3=0.A3.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直，A904.光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被y=x反射后的光线所在的直线方程为（）A.B.C.D.

解析由即直线过点（-1，-1）.又直线y=2x+1上一点（0，1）关于直线y=x对称的点（1，0）在所求直线上，∴所求直线方程为B4.光线沿直线y=2x+1射到直线y=x上,被y=x反射后的915.已知直线l过点P(3,4)且与点A（-2,2）,B(4,-2)等距离,则直线l的方程为（）A.2x+3y-18=0B.2x-y-2=0C.3x-2y+18=0或x+2y+2=0D.2x+3y-18=0或2x-y-2=0

解析设所求直线方程为y-4=k(x-3),即kx-y+4-3k=0,由已知，得∴k=2或k=-.∴所求直线l的方程为2x-y-2=0或2x+3y-18=0.D5.已知直线l过点P(3,4)且与点A（-2,2）,B(4,926.已知直线l1,l2的方程分别为

x+ay+b=0,x+cy+d=0，其图象如图所示，则有（）A.ac＜0B.