省送课下乡优质课正方形的性质与判定课件

正方形的性质和判定最强的动态展示和最理想证明效果正方形的性质和判定最强的动态展示和最理想证明效果1情景一新知探究情景一新知探究2情景一新知探究情景一新知探究3情景一新知探究情景一新知探究4情景一新知探究情景一新知探究5情景一新知探究情景一新知探究6情景一新知探究情景一新知探究7情景一新知探究情景一新知探究8

创设情景☞情景一问题:

从这个图形中你想到了什么？创设情景☞情景一问题:从这个图形中你想到了什么？9ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究10ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究11ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究12ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究13ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究14ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究15ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究16ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究17ABCDAB情景二当CD移动到位置，且时，此时的图形还是矩形吗？2图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）1问题ABCDAB情景二当CD移动到位置，且18邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形新知探究邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形新知探究19菱形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？新知探究菱形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？新知20两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等四边形平行四边形矩形菱形回忆如何在平行四边形的基础上来定义正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等四边形平行四边形21平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角给正方形下个定义定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角22菱形矩形平行四边形正形方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。菱形矩形平行四边形正形方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系23菱形性质矩形性质菱形性质矩形性质24回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列对边平行且相等四条边相等对边平行且四条边相等对角相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形图形性质分类正方形类比归纳回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列对边平行且相25对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.=菱形性质矩形性质正方形的性质对角线：相等边:对边平行角：四个角都是直角图形的对称26

你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是正方形有哪些方法？）你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是27平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形28①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边29对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等性质正方形菱形矩形平行四边形图形小结√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直30四边形之间的关系四边形之间有何关系？特殊的平行四边形之间呢？还记得它们与平行四边形的关系吗?能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等等腰梯形腰与底垂直直角梯形四边形之间的关系四边形之间有何关系？特殊的平行四边形之间呢？31正方形的性质定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.∵四边形ABCD是正方形,ABCD已知:四边形ABCD是正方形.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求32正方形的性质定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;∵四边形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO正方形的性质定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,33正方形的判定定理:有一组邻边相等的矩形是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AB=BC.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形，可转化为证明有一角是直角的菱形或对角线相等的菱形)即可.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形.∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=90°.ABCDO∴四边形ABCD是正方形.正方形的判定定理:有一组邻边相等的矩形是正方形.已知:四边形34正方形的判定定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.证明:∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=900.∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO正方形的判定定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形35正方形的判定定理:有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.证明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD正方形的判定定理:有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形36正方形的判定定理:对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.证明:∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.ABCDO正方形的判定定理:对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形AB375种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结5种识三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边38√√√×(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形（）√快速反应判断题:√√√×(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的√快速39（6）正方形一定是矩形．（）（7）正方形一定是菱形．（）（8）菱形一定是正方形．（）（9）矩形一定是正方形．（）(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形．（）√√√××（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴()(13)四个角都相等的四边形是正方形()(14)四条边都相等的四边形是正方形()×××（6）正方形一定是矩形．（）√√√××（12）正方40正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等. BD选择题:正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）2.正方形具有413、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形B、四条边都相等的四边形是正方形C、对角线相等的平行四边形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形D3、下列命题正确的是（）D42

4．四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D平行四边形

5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是：（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDB．AD∥BC∠A＝∠CC．AO＝COBO＝DOAB＝BCD．AC＝BD

CA4．四个内角都相等的四边形一定是（）5．在四边形A436．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形

A6．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（441、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为

cm。

ABCDEGF7.5试一试1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周45

4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=

,正方形的面积S=______.

练一练2246365.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，面积S=________.则边长AB＝______,

4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点465、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（）⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（）⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（）⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（）⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（）菱形矩形矩形矩形正方形5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点47如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？ABCDE解：BE=DE.因为对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点，所以BE=DE如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE48已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。求证：△ABO≌△BCO≌△CDO≌△ADO例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。求证：49

3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要证明BM＝CN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等?

MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。你能完成证明吗???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°条件够吗？

还需要的条件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：

3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，50例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。证明：∴OA－OM＝OB－ON∴OM＝ON∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°又∵MN∥AB∠1＝∠2＝∠3＝45°∴OA＝OBAB=BC∵四边形ABCD是正方形即：AM=BN∴△ABM≌△BCN∴BM=CN例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB51例3、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。ABCDEF∴四边形ABCD是正方形（)∴DE=DF()DE⊥AC，DF⊥BC∵CD平分∠ACB∴四边形ABCD为矩形()而∠ACB=90°∴∠DEC=90°，∠DFC=90°证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB有三个角是直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形例3、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE524．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°

分析：欲证∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证_____=_____要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?

试一试看能不能完成证明???△CMD≌△ADF4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线53例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，

求证：∠MFD＝45°证明：∴DM=DF∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS)又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠∴∠1＝∠2∵∠CMD＝∠AME∴∠ADC＝∠AEM＝90°∵CE⊥AF四边形ABCD是正方形∴∠MFD＝45°例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一541、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。

求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

练一练1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一552、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。

求证：∠CEA＝∠ABG

证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。

∴AE＝ABAG＝AC∠1＝∠2＝90°

又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∴∠EAC＝∠BAG

∴△AEC≌△ABG(SAS)∴∠CEA＝∠ABG2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连563、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？D`C`B`A`DCBAABCDEFG4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，57ABDCFE5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。ABDCFE5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上586、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,591、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）课外拓展：1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小60

如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）

请你当设计师如何设计花坛？请你当设计师61

1已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，如图(2)。

求：AC的长及正方形的面积S。

EFG矩形EFCG的周长。

1求：AC的长及正方形的面积S。62省送课下乡优质课正方形的性质与判定课件636、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠EAO=150，求∠BOE的度数。OABCDE6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE647、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。ABCDEPF7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE658、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=668、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDMN8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=679、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E，①求证：四边形ADCE是矩形。②当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是正方形，说明理由。ABCEMND9、已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点6810、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。ABCEFDGADBGFEC10、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与C6911、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N。（1）求证：MD=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。ABCDMENFABCDENMP●●11、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上70思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于MN，试判断线段AM于BN之间的关系.探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。思考题：如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个71探究四：

如图，有两个大小不等的两个正方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？探究三:若正方形OEFG继续旋转时，AM与BN之间的关系是否还成立？探究四：如图，有两个大小不等的两个正方形，其中小正方形的72构建与证明ODCBA如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD求证：四边形ABCD是正方形。八年级数学第十九章四边形构建与证明ODCBA如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条73数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多（）个（）个（）个（）个第n个图中正方形有

个3n-1长见识八年级数学第十九章四边形数一数图中正方形的个数，你发现了什么？多多多（）个（74四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数．8解：∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD∠AOB=900

∠BAC=∠DAC∴∠OAB=450

ABCDOEF(2)若AC=4，则正方形边长;正方形的面积是4㎝(3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方形一边的距离2√2四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点O75

AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且AB=AE，EF⊥AC交BC于F.请说明：EC=EF=FBABCDEF┌解：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=900,∠ACB=450

∵∠AEF=900AB=AE∴△ABF≌△AFE(HL）∴BF=EF又∵∠FEC=900,∠ECF=45°∴∠EFC=45°

∴EC=EF（等角对等边）∴BF=EF=ECAC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且762.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别是点E、F.求证：DP=EFFEPDCBA2.在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，77

成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。------爱迪生在科学上从没有平坦的大道，只有不畏艰险勇于攀登的人，才能达到光辉的顶点------马克思成功就是99%的血汗，加上1%的灵感。782、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，若中间最小的一个正方形边长为1，你能求这矩形色块的面积吗？课外拓展：2、如图所示是一块在电脑屏幕上出现矩形色块图，由6个颜色不同79正方形的性质和判定最强的动态展示和最理想证明效果正方形的性质和判定最强的动态展示和最理想证明效果80情景一新知探究情景一新知探究81情景一新知探究情景一新知探究82情景一新知探究情景一新知探究83情景一新知探究情景一新知探究84情景一新知探究情景一新知探究85情景一新知探究情景一新知探究86情景一新知探究情景一新知探究87

创设情景☞情景一问题:

从这个图形中你想到了什么？创设情景☞情景一问题:从这个图形中你想到了什么？88ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究89ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究90ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究91ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究92ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究93ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究94ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究95ABCD情景二新知探究ABCD情景二新知探究96ABCDAB情景二当CD移动到位置，且时，此时的图形还是矩形吗？2图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）1问题ABCDAB情景二当CD移动到位置，且97邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形新知探究邻边相等的矩形想一想：正方形是怎样的矩形？矩形正方形新知探究98菱形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？新知探究菱形正方形一个角是直角的菱形想一想：正方形是怎样的菱形？新知99两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等四边形平行四边形矩形菱形回忆如何在平行四边形的基础上来定义正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等四边形平行四边形100平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角一内角是直角平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角给正方形下个定义定义：一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形平行四边形正方形矩形菱形一组邻边相等一组邻边相等一内角是直角101菱形矩形平行四边形正形方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。菱形矩形平行四边形正形方平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系102菱形性质矩形性质菱形性质矩形性质103回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列对边平行且相等四条边相等对边平行且四条边相等对角相等四个角都是直角四个角都是直角对角线互相平分对角线相等对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角对角线相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角中心对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形既是中心对称图形又是轴对称图形图形性质分类正方形类比归纳回顾平行四边形，矩形，菱形的性质，完成表格前三列对边平行且相104对角线：相等互相垂直平分每条对角线平分一组对角。边:对边平行四边相等角：四个角都是直角图形的对称性：既是轴对称图形,又是中心对称图形.=菱形性质矩形性质正方形的性质对角线：相等边:对边平行角：四个角都是直角图形的对称105

你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是正方形有哪些方法？）你觉得什么样的四边形是正方形呢?(判断一个四边形是106平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形2、一内角是直角矩形3、一组邻边相等正方形正方形的判定方法：(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）定义法菱形法矩形法平行四边形正方形一组邻边相等一内角是直角1、正方形菱形107①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边形正方形以四边形为基础：既是菱形又是矩形的四边形是正方形。①四条边相等，四个角都是直角②对角线互相垂直、平分且相等四边108对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直对角线互相平分四个角都是直角对角相等四条边都相等性质正方形菱形矩形平行四边形图形小结√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√对边平行且相等每条对角线平分一组对角对角线相等对角线互相垂直109四边形之间的关系四边形之间有何关系？特殊的平行四边形之间呢？还记得它们与平行四边形的关系吗?能用一张图来表示它们之间的关系吗?四边形平行四边形矩形菱形正方形两组对边分别平行有一个角是直角有一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等一组对边平行另一组对边不平行梯形两腰相等等腰梯形腰与底垂直直角梯形四边形之间的关系四边形之间有何关系？特殊的平行四边形之间呢？110正方形的性质定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求证:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=900.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=900,AB=BC=CD=DA.∵四边形ABCD是正方形,ABCD已知:四边形ABCD是正方形.正方形的定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.正方形的性质定理:正方形的四个角都是直角,四条边都相等.求111正方形的性质定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.求证:(1).AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2).AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.分析:因为正方形具有矩形和菱形的所有性质,所以结论易证.证明:∴四边形ABCD是平行四边形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD;∵四边形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四边形ABCD是正方形,AC,BD是它的两条对角线.ABCDO正方形的性质定理:正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,112正方形的判定定理:有一组邻边相等的矩形是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AB=BC.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形，可转化为证明有一角是直角的菱形或对角线相等的菱形)即可.证明:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,四边形ABCD是平行四边形.∵AB=BC,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=90°.ABCDO∴四边形ABCD是正方形.正方形的判定定理:有一组邻边相等的矩形是正方形.已知:四边形113正方形的判定定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或对角线相等的菱形)即可.证明:∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形.∵∠ABC=900.∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是矩形,且AC⊥BD.ABCDO正方形的判定定理:对角线互相垂直的矩形是正方形.求证:四边形114正方形的判定定理:有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.证明:∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.∴∠A=∠B=∠C=900.∴四边形ABCD是矩形.∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,∵AB=BC,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900.ABCD正方形的判定定理:有一个角是直角的菱形是正方形.求证:四边形115正方形的判定定理:对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形ABCD是正方形.分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可.证明:∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形.∵AB=BC,∵四边形ABCD是菱形,∴四边形ABCD是正方形.已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.ABCDO正方形的判定定理:对角线相等的菱形是正方形.求证:四边形AB1165种识别方法三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边相等或对角线垂直一组邻边相等或对角线垂直一个角是直角或对角线相等一个角是直角且一组邻边相等平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结5种识三个角是直角四条边相等一个角是直角或对角线相等一组邻边117√√√×(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形（）(2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）(3)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定是正方形（）(4)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它一定是正方形（）(5)四条边相等，且有一个角是直角的四边形是正方形（）√快速反应判断题:√√√×(1)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的√快速118（6）正方形一定是矩形．（）（7）正方形一定是菱形．（）（8）菱形一定是正方形．（）（9）矩形一定是正方形．（）(10)正方形、矩形、菱形都是平行四边形．（）√√√××（12）正方形是轴对称图形,一共有2条对称轴()(13)四个角都相等的四边形是正方形()(14)四条边都相等的四边形是正方形()×××（6）正方形一定是矩形．（）√√√××（12）正方119正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A、四个角相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角互补.D、对角线相等.2.正方形具有而菱形不一定具有的性质（）A、四条边相等.B、对角线互相垂直平分.C、对角线平分一组对角.D、对角线相等. BD选择题:正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）2.正方形具有1203、下列命题正确的是（）A、四个角都相等的四边形是正方形B、四条边都相等的四边形是正方形C、对角线相等的平行四边形是正方形D、对角线互相垂直的矩形是正方形D3、下列命题正确的是（）D121

4．四个内角都相等的四边形一定是（）A、正方形B、菱形C、矩形D平行四边形

5．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是：（）

A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDB．AD∥BC∠A＝∠CC．AO＝COBO＝DOAB＝BCD．AC＝BD

CA4．四个内角都相等的四边形一定是（）5．在四边形A1226．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（）A．正方形B．菱形C．矩形D．平行四边形

A6．四个内角都相等，四条边也都相等的四边形一定是：（1231、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周长为

cm。

ABCDEGF7.5试一试1、如图：正方形ABCD的周长为15cm，则矩形EFCG的周124

4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，则AC=

,正方形的面积S=______.

练一练2246365.已知：在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，面积S=________.则边长AB＝______,

4.已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点1255、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（）⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（）⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（）⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（）⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（）菱形矩形矩形矩形正方形5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点126如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE和DE相等吗？为什么？ABCDE解：BE=DE.因为对角线AC所在的直线是正方形ABCD的对称轴，而点E在对称轴上，点B为点D关于AC的对称点，所以BE=DE如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，那么，BE127已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。求证：△ABO≌△BCO≌△CDO≌△ADO例1、求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。已知：如图正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O。求证：128

3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要证明BM＝CN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等?

MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。你能完成证明吗???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°条件够吗？

还需要的条件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：

3．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，129例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。证明：∴OA－OM＝OB－ON∴OM＝ON∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°又∵MN∥AB∠1＝∠2＝∠3＝45°∴OA＝OBAB=BC∵四边形ABCD是正方形即：AM=BN∴△ABM≌△BCN∴BM=CN例2、如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB130例3、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。ABCDEF∴四边形ABCD是正方形（)∴DE=DF()DE⊥AC，DF⊥BC∵CD平分∠ACB∴四边形ABCD为矩形()而∠ACB=90°∴∠DEC=90°，∠DFC=90°证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB有三个角是直角的四边形是矩形角平分线的定理有一组邻边相等的矩形是正方形例3、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE1314．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°

分析：欲证∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证_____=_____要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?

试一试看能不能完成证明???△CMD≌△ADF4．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线132例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，

求证：∠MFD＝45°证明：∴DM=DF∴Rt△CDM≌Rt△ADF(AAS)又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC=Rt∠∴∠1＝∠2∵∠CMD＝∠AME∴∠ADC＝∠AEM＝90°∵CE⊥AF四边形ABCD是正方形∴∠MFD＝45°例4、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一1331、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。

求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

练一练1、如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一1342、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。

求证：∠CEA＝∠ABG

证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。

∴AE＝ABAG＝AC∠1＝∠2＝90°

又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∴∠EAC＝∠BAG

∴△AEC≌△ABG(SAS)∴∠CEA＝∠ABG2、如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连1353、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，且ＡＡ`＝ＢＢ`＝ＣＣ`＝ＤＤ`.四边形Ａ`Ｂ`Ｃ`Ｄ`是正方形吗？为什么？D`C`B`A`DCBAABCDEFG4、如图，点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，BE=CF，探索图中AE与BF的关系。3、在正方形ＡＢＣＤ中，点Ａ`，Ｂ`，Ｃ`，Ｄ`分别在ＡＢ，136ABDCFE5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上，且CE=AC，AE交CD于F，则求∠AFC的度数。ABDCFE5、如图，在正方形ABCD中，E在BC的延长线上1376、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.1)试说明:DE=DF2)只添加一个条件,使四边形EDFA是正方形.请你至少写出两种不同的添加方法.(不另外添加辅助线,无需证明)6、在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,1381、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）课外拓展：1、在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小139

如何设计花坛？在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）

请你当设计师如何设计花坛？请你当设计师140

1已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝2cm，如图(2)。

求：AC的长及正方形的面积S。

EFG矩形EFCG的周长。

1求：AC的长及正方形的面积S。141省送课下乡优质课正方形的性质与判定课件1426、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，若∠EAO=150，求∠BOE的度数。OABCDE6、已知：如图矩形ABCD,对角线AC、BD相交于点O，AE1437、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。ABCDEPF7、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE1448、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求DN+MN的最小值。ABCDM