2020年九年级数学中考综合复习2：综合题复习讲义

综合复习二.数学综合题&.综合评述：代数和几何是初中数学的两大主线，有着各自的特点和解题方法，同时它们又是紧密联系，不可分割的整体，数学综合题是中考的重要题型，主要分为三类：代数综合题、几何综合题、代数几何综合题。一、代数综合题代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题，主要镖客方程、函数、不等式等内容，常用到数学方法有：化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等.解代数综合题注意归纳整理代数中的基础知识、基本技能、基本方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，加强知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的。二、几何综合题几何综合题是中考热点之一，一般难度较大，解法灵活，主要综合了圆、相似三角形、四边形等相关知识，对于学生的思维能力要求较高，几何综合题表面上会给人一种无从入手的感觉，但实际上往往有很多线索可供选择，解答这类问题关键是灵活运用分析法和综合法找好解题思路，有时题设和结论的关系较为隐蔽，常常需要添加辅助线来解答。除此之外，还应注意以下几点：（1）学会复杂图形简单化、不规则图形规则化，找出图形中的基本图形；（2）总结常规的证题方法和思路；（3）运用方程思想解决几何计算问题，运用转化的思想解决几何的证明问题。三、代数几何综合题代数几何综合题是代数与几何知识的综合，是数与形的有机结合，主要的考查内容包括：1.以几何知识为主线，运用方程思想解决方程与几何有关的综合题；2.运用数形结合的思想解决坐标与几何的综合题；3.利用几何图形的性质和函数知识，解决函数与几何的综合题；4.运用数形结合的思想建立几何变量之间的函数关系式，其解题步骤是灵活运用函数、方程、数形结合思想，由形导数，以数促形，综合应用代数和几何知识解题。&.典型例题剖析：§.例1、已知方程2/+31-1=0,求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数.思路点拨：本题考查一元二次方程根与系数的关系，可从原方程根与系数入手，具体解法为：解：设2/+3x-1=0的两根为阳，x厂则新方程的两根为」•，—x2? 1由根与系数的关系得：七+工2=-］，X\X2=-2则'+'=^^=3,—.—=—=-2X.X.X,X, X.X,X,X.故新方程为y2_3y_2=0规律总结：解决一元二次方程的综合题，必须灵活应用根的判别式，根与系数的关系，及一元二次方程的各种解法。常见错误：（1）忽略一元二次方程or?+法+。=0中awO的条件；（2）忽略方程有解时根的判别式△=尸-4ac的检验。§.例2、已知关于x的方程m2/+（2机+3卜+1=0的两个实数根的和为-1,而关于x的另一个方程/+2（“+帆）％+20-m2+6m-4=0有大于0且小于5的实数根，求a的整数值。思路点拨：本题考查一元二次方程根与系数的关系与不等式的综合运用。具体解法为：解：设x~+（2/h+3,+1=0的两根为%19X2»Xj+x2=—1■n・・ 2m+3乂.X]+x2= 2”=3=7,解得町=一],m2=3又当/«=—I时，A=（2m+3）2-4m2=l2m+9=-30.此时方程无解=舍去，m=3把加=3代入x2+2（。+in）x+2a—Tn?+6m-4=0得：x2+2（a+3）x+2a+5=0・，・（x+2n+5Xx+l）=0,解得X]=-l,x2=-2a-5•・•此方程有大于0且小于5的实数根Oy-2a-5y5,解得：-5yqy-W2又为整数，a=Y或一3规律总结：涉及一元二次方程的综合题，必须会灵活应用一元二次方程的解法及根与系数的关系和根的判别式，涉及不等式的综合题，必须熟悉不等式的解法。常见错误：（1）忽略根的判别式的检验，如本题若不检验ANO,帆=-1便不能排除；（2）找不准不等式的整数解，避免此种错误可借助数轴。§.例3、（2019年海淀模拟试题）一次函数丫=&/+6和反比例函数y=&的图象相交于X点尸（机一1,〃+1）.点。（0,a）在函数y= +b的图象上，且m、〃是关于X的一元二次方程ax2_（3a+l）x+2（a+l）=0的两个不相等的整数根，其中。为整数，试求一次函数和反比例函数的解析式。思路点拨:本题是由函数与方程组成的综合题，解答本题的关键是求出一元二次方程的整数根。具体解法为：解：解关于x的一元二次方程ar?-（3a+0x+2（a+l）=O,得•••方程有两个不相等的整数根，且a为整数<*.<2=—1»此时々=0（。=1时，％=2不合题意）工机=0,〃=2或机=2,〃=0工尸点坐标为（一1,3）或（1,1）又•点、Q（0,a）在函数y=+b的图象上

b=a=-1当P点坐标为（T,3）时，根据题意得:解得占=-4如解得占=-4如=-332-1故y=Tx-l和反比例函数y=—X当尸点坐标为（1,1）时，根据题意得:占=2k2=1占=2k2=1k,,解得3=上1故y=2x-l和反比例函数y=-X...一次函数的解析式为：y=Yx-l或y=2x-l;反比例函数的解析式为：y=口或y=1.X X规律总结：函数与方程的综合题，其联系点往往是交点与方程的解，注意函数的性质与方程有关知识的综合应用，另外求函数解析式时，往往利用待定系数法转化成方程（组）解决。常见错误：（1）审题不清，忽略关键条件出错，如忽略“方程有两个不相等的实数根，且a为整数”会导致问题多解：（2）分析问题不透，导致问题遗漏出错.如"、〃是方程的两根，2、0也是方程的两根，此时胆、”的值应有有两种情况，忽略其中一种，便导致出错。§.例4、（2019年天津）已知一次函数％=2x,二次函数y?=犬+1.（1）根据表中给出的x的值，计算对应的函数值%、力，并填在表格中：X-3-2-10123M=2xy2=x2+1（2）观察（1）问表中有关的数据，证明如下结论：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值凹＜y2均成立；（3）试问是否存在二次函数%=◎?+法+c,其图象经过点（—5,2）,且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值必4y34y2均成立？若存在，求出函数％的解析式；若不存在，请说明理由。思路点拨：本题是由函数与不等式组成的综合题，关键是从函数问题中列出相应的不等式.具体解法是：解：（1）填表如下：X-3-2-10123必=2x-6-4-20246y2=x2+\105212510（2）因为％-%=2X-3+l）--+2x-l=-（x-iy40,所以对于x取任何实数，都有必＜y2

均成立：（3）由已知二次函数%=以2+版+<?的图象经过点（-5,2）,得25a-5b+c=2®当x=l时，>\=%=2，乃=a+b+c,若对于自变量x取任何实数时，都有必4y34y2成立，则有2Va+A+c42,所以a+6+c=2②由①②联立得关于6、c的方程组，解得人=4«,c=2-5ay3=ax~+40r+2—5a当丫14%时，W2x<ax2+4ax+2-5a,HPax2+（4a-2）x+（2-5«）>0若二次函数X=如2+4ox+2-5a对于一切实数x,yNO恒成立，则必有TOC\o"1-5"\h\zaA0 fa>0 ,i,（ £ \，即｛/ \2得a=-（4a-2）--4a（2-5a）40 ［（3a-l）2<0 3,,4 …1..b=,c=2—5a=—3 3存在二次函数%=1/+-x+-在实数范围内对于任意x的同一值，yt<y34y2均成立.规律总结：涉及二次函数的综合题应密切关注抛物线的开口方向、对称轴、顶点、与坐标轴的交点与系数的关系，另外二次函数与一元二次方程有密切联系，应学会两者之间问题的转化。常见错误：（1）忽略二次函数解析式y=ar2+6x+c中awO的条件；（2）审题不清，思维混乱导致乱解或错解。§.例5、（2019年南京）如图1,在AABC中，AB=AC,以AC为直径的。。与河相交于点E,与BC相交于点。，点尸是的的中点。（1）求证：OR是。O的切线；（2）若他=14,8c=12,求5尸的长。思路点拨：本题考查圆的切线的判定及切割线定理的灵活应用。具体解法为：（1）证明：连结Of）,AD'：AC为。0的直径：.ZADC=90°,^ADIBC fl\\.”=AC：.NB=NC,ZBAD=ZCAD又•・•四边形血心内接于G）O 图1:./BED=ZC，ZBDE=ZBAC：.ZB=ZBED:.DE=DB•・•点/是应:的中点ADF±ABfZBDF=ZFDE：.NBDF=-NBDE=-NBAC2 2又；OD=OA：.ZADO=NCAD=-ZBAC2

ZBDF^ZADO：.NODF=ZADF+ZADO=ZADF+ZBDF=ZADB=90°又；O£>是。O的半径二短尸是。O的切线（2）解：设M=x,则8E=28k=2x又；BD=CD=-BC=62由切割线定理得：BEAB=BDBC2x（2x+14）=6x12,解得：项=2,x2--9（不合题意，舍去）故即的长为2.规律总结：几何圆中的综合题一是注意弦角的转换，二是切割线定理、相交弦定理、切线长定理、勾股定理与方程的综合应用，其解题关键是通过分析找出已知与所求之间的关系。常见错误：（1）推理不严密，如证明。尸是。。的切线，需证明两个条件，一是O。，。尸；二是OD是。。的半径，两者缺一不可，如忽略其中一个条件，则推理不严密；（2）分析问题的条件与结论时与相关知识联系不上，导致问题无从下手，无法解决。§.例6、（2019年四川）如图2,AB是。。的直径，C是朋延长线上的一点，CP切。O于点P,弦PD工AB于点E,过点8作8Q_LC尸于点。，交。。于点“，G是A8上一点，且BG=~AB,连结AG交P£>于尸，连结M,若PD=66，tanZ.BFE=35/3.（1）求NC的度数；（2）求QH的长。思路点拨：本题条件中涉及圆的弦、切线、弧等，关键是垂径定理、切割线定理的灵活运用。具体解法为：又,.,BG=4AB 图23Zfi4G=30°在/&AAE/中，NR4G=30°,tanZBAG=—=—AE3:.ae=6ef又由垂径定理得：PE2=AE-BE：. =(>/3EF)-(3A/3EF),解得EF=6：.AE=3,BE=9,AB=12,OE=3OP=-AB=62

•：OPICP,PELAB：.4c=4OPE=9QP—乙POC在RtAOPE中,OE=、OP2，ZC=ZOPE=90°（2）在用ACOP中，NC=30。，OP=6：.CO=2OP=12：.AC=6,BC=18由勾股定理得：CP2=CO2-OP2=\22-62=6x18,得CP=66.在他ACBQ中，NC=30°,8c=18ABQ=-CB=9,CQ=BQ=班2 tan30°PQ=CQ-CP=3y/3又•••PQ2=QH-BQQH工班QH工班=3BQ9规律总结：圆中涉及三角函数的计算必须想办法构造直角三角形，另外分析问题时，注意结合条件选择有关性质来解题。常见错误：审题不清，思维混乱，导致解题无从下手。§.例7、(2019年自贡)如图3所示，已知直线y=-2x+2分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段他为直角边，在第一象限内作等腰直角AABC,NB4C=90。，过点C作C£>_Lx轴，垂足为D.(1)求点A、8的坐标和4)的长；(2)求A、B、C三点的抛物线的解析式。思路点拨：本题属于代数几何综合题，考查等腰直角三角形的性质及抛物线解析式的确定。具体的解法为：解：(1)在y=-2x+2中，当x=0时，y=2：当y=0时，x=l(1,0),B(0.2)VZOAB+ZC4£>=90°,ZOAB+ZOBA=9QP：.ZCAD=ZABO又：NAOBuNCDAuQO9,ba=ac：.RtMOB^RtACDA：.AD=OB=2（2）OD=OA+AD=[+2=3,由（1）知RtgOB三Rt/KDA：.ZOBA=tanZDAC,BP—=—=-OBAD2:.CD=\二。点的坐标为（3,0）,C点的坐标为（3,1）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c(ar0)

将A(l,0),B(0,2),C(3,1)代入，得:4+人+C=0C=2 f解得4=9,9〃+3b+c=1故过A、B、C三点的抛物线的解析式为：y=-x2-—x+26 6规律总结：（1）解答代数几何综合题，一定要注意数形结合，数与形的结合点往往在点的坐标上：（2）涉及函数解析式的题目一般采用待定系数法。常见错误：（1）审题不清，思维混乱，导致出错；（2）个别问题结论不唯一，因数形不统一，思考不周密而导致有遗漏。§.例8、（2019年重庆）如图4所示，在平面直角坐标系内，已知点A（0.6）,点B（8,0）,动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点5开始在线段84上以每秒2个单位长度的速度向点A移动。设点P、Q移动的时间为f秒。（1）求直线的解析式；（2）当，为何值时，A4尸。与A4OB相似？并求出此时点P与点。的坐标；74（3）当♦为何值时，AAPQ的面积为彳个平方单位。解得:10-2r10解得：解得:10-2r10解得：t=—II思路点拨：本题利用函数和相似知识解决动点问题。（1）求直线的解析式可用待定系数法；（2）若AAPQ与AAOB相似，只知是公共角，可分情况讨论：（3）可先求44尸。面积的函数解析式,然后利用方程求出f的值。具体的解法为：解：（1）设直线相的解析式为：y=kx+b,由题意得：3k=--,b=64故直线的解析式为：y=--x+64(2)由AQ=6,BO=8,得AB=10AAP=t,AQ=10-2t①如图5所示，当NAPQ=NAO3时，AAPQMOB故有p点坐标为（。，打），点。的坐标为蜜，-）②如图6所示，当N4QP=N4O8时，AA0PMOBt=\t=\0-2tIo"-6~,解得：，=二13故有P点坐标为（0，—）,点故有P点坐标为（0，—）,点Q的坐标为（上，—）13 13 13（3）过点。作QEJLAO于点E（如图7）.在HA4O8中，sinZBAO=-=-AB5A Q在用AAEQ中，QE=AQ-sinNS4O=-（10-27）=8--11>+4/=t解得：r=2或r=3规律总结：解动点题其关键是结合图形，分析题意，将运动的几何元素看作静止来加以解答，函数和方程是解决这类问题的重要工具。常见错误：思考不周密出现漏解，如AAP。与A4O8相似有两种情况，忽视其中一种必导致漏解。§.例9、如图8所示，在平面直角坐标系中，正方形的边长为a,O为原点，点B在x轴的负半轴上，点。在y轴的正半轴上。直线OE的解析式为y=2x,直线C尸过x轴上一点(--a,0)且与OE平行，现正方形以每秒色的速度匀速沿x轴正方向平行移动，设运动时间5 10为，秒，正方形被夹在直线OE和CF间的部分面积为S.(1)当04r44时，写出S与f的函数关系式；(2)当44/45时，写出S与f的函数关系式，在这个范围内S有无最大值？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由。思路点拨：这是一道动形问题，函数是刻画动形问题的最佳数学模型，此题应画出图形，分析图形运动过程中的变化规律，并以此为突破口。具体解法为：解：(1)当04,44时，如图9,由图可知设经过，秒后，正方形移动到处.1 2•・•当，=4时，BB.=OM=-ax4=-a1 10 5・••当0W/W4时，与在C点左侧夹在两平行线间的部分是多边形COQNG,其面积为：0copG的面积一AA/PQ的面积3VCO=-a,OD=a5JDCOPG的面积=CO・OO=』a?5又•.•点尸的坐标为（4,o）2由y=2由y=2x知，NQ=2NP•*-S,=gNPNQ=(卜在)(2)当44/45时，如图10所示.这时正方形移动到A|B[A/N处.TOC\o"1-5"\h\z7 1•.,当44145时，-a<BB,<-a5 2...当44r45时，B1在C点、O点之间夹在两平行线间的部分是gOQNGR,即OCOPG被切掉了&VPQ和后的剩余，其面积为：OCOPG的面积一&VP。的面积一ACBg的面积。仿照(1),同理可得OM=四，NP='-J10 210•••S…仁-副VCO=-a,CM=-a+—.B.M=a5 5 10/.CB,=CM-B,M=-a+—-a=---a' ' 5 10 105Sacmr=&CB|.B|R=(CB|)-=.•.当r=.•.当r=2时，s有最大值，此时S地人3,a2 1 119,-Cl X-= Cl5 1002200规律总结：解决这类问题，要从观察入手，抓住图形运动时各量之间的关系，通过归纳得出规律和结论。常见错误：图形运动过程中的关键图形找不准而导致出错。

&.综合巩固练习：一、课改区中考试题练习TOC\o"1-5"\h\z（2019年黄冈）已知x,y为实数，且Jx-1+3（y-21=0,则x-y的值为（ ）A、3 B.-3 C、1 。、一1（2019年北京）已知2工一3=0,求代数式《一一3+/（5-％）-9的值。L 1（2019年海淀）已知反比例函数y=2的图象经过点A（4.-）,若一次函数y=x+l的x 2图象经过平移后经过该反比例函数图象上的点8（2,m）,求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标。（2019年北京）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点。顺时针旋转9（T得到直线。.直线，与反比例函数y=A的图象的一个交点为A（a,3）,试确定反比例函数的解析式。X（2019年海淀）已知抛物线y=ar2-皿+m一2.（1）求证：此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2）若m是整数，抛物线丫二以？-"7X+2与x轴交于整数点，求m的值。（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A,抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为3.若M为坐标轴上一点，且= 求点M的坐标。k（2019年荷泽）如图11,直线y=-2x-2与双曲线y=-交于点A,与x轴、y轴分别相交x于点B、C,A£）J_x轴于点£）,如果=Sacob，求女的值。7.（2019年海淀）如图12所示，一根长为2a的木棍（）,斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P.若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。7.（1）请判断木棍滑动的过程中，点尸到点O的距离是否变化？并简述理由；（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，AAOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值。（2019年北京）已知：如图13,在梯形ABC。，AD//BC,ZABC=90P,ZC=45°.BELCD于点E,AD=1,C£>=2及.求班■的长。（2019年河南）如图14,正方形ABCE）的边长为々th,点尸是边上不与B、C重合的任意一点，连结过点P作PQLAP交。C于点Q,设BP的长为X5i,CQ的长为

(1)求点P在BC上运动过程中y的最大值:(2)当丫=』£(1)求点P在BC上运动过程中y的最大值:(2)当丫=』£7«时，求X的值。410.图14NP=90。，PM=PN,MV=&7",矩形ABC。的长和宽分别为8cm和2s,C点和M点互相重合，8c和MN在一条直线上.令mAPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒kw的速度移动(如图16),直到C点与N点重合为止.设移动x秒后，矩形ABC£＞与R/APMV重叠部分的面积为ye%],求y与x的函数关系式。A21BP4d/^图1611.(2019年武汉)如图17,在平面直角坐标系中，点01的坐标为(T,0),以点01为圆心，8为半径的圆与x轴交于A、8两点，过点A作直线0与x轴负方向交成60。角。以。2(13,5)为圆心的圆与x轴相切于点。.(1)求直线。的解析式；(2)将。。2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，同时直线，沿x轴向右平移，当。第一次与OOi相切时，直线0也恰好与。。2第一次相切，求直线0平移的速度；(3)如图18所示，将。Q沿)轴向右平移，在平移过程中与x轴相切于点E,EG为。。2的直径，过点A作。的切线，切。O?于另一点F，连结AO?、FG,那么FGSO?的值是否变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。(2019年黄冈)如图19,已知。O的弦垂直于直径CD,垂足为尸，点E在AB上，且E4=EC.(1)求证：AC2=AEAJBi(2)延长EC到点P,连结PB,若PB=PE,试判断依与。O的位置关系，并说明理由。

(2019年长沙)如图20,把一个直角三角尺AC8绕着3"角的顶点8顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合。(1)三角尺旋转了多少度；(2)连结8,试判断AC8。的形状；(3)求NBDC的度数。(2019年荷泽)如图21,在。。中，弦4?与DC相交于点E,AB=CD.(1)求证：AAECsADEB；(2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由。图22图22(2019年荷泽)如图22,在正方形ABC。中，AB=2,E是A£)边上一点(点E与点A、。不重合).BE的垂直平分线交AB于点M,交DC于点N.(1)设AE=x,四边形4JNM的面积是S,写出S关于x的函数关系式；(2)当AE为何值时，四边形ADMW的面积最大？最大值是多少？(2019年荷泽)如图23,在直角坐标系中，。是原点，A、B、C三点的坐标分别为4(18,0),B(18,6)