2021-2022学年福建省福州市八县（市）协作校高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年福建省福州市八县（市）协作校高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）.已知角a的终边与单位圆交于点（—当,— 则sina的值为（）A.一直 B.-- C.3 D.；2 2 22.下列叙述正确的是（）A.互斥事件定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件B.若事件A发生的概率为P（A）,贝iJO<尸（A）<1C,频率是稳定的，概率是随机的D.5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小.已知复平面内的点A,B分别对应的复数为Zi=2+i和Z?=—1—2i,则向量编对应的复数为（）A.1—i B.—1—i C.—3—3i D.3+3i.已知点。是△ABC所在平面上一点，且满足前=一［就，则而=.（）A.-AB--AC B.-AB+-AC C.--AB+-AC D.-AB--AC2 2 2 2 2 2 2 2.某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5,为了解学生的视力情况,现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为巳的样本，若样本中男生比女生多12人,则n=（）A.990 B.1320 C.1430 D.1560.四边形4BCC中，如果而=沅，且|而|=|前则四边形48。。为（）A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形.记函数/（x）=sin（3x+"）（其中3>0,|W|<》的图像为C,已知C的部分图像如图所示，为了得到函数g（x）=sins:,只要把C上所有的点（）

A.向右平行移动?个单位长度A.向右平行移动?个单位长度

6B,向左平行移动g个单位长度6C.向右平行移动盘个单位长度D.向左平行移动最个单位长度.A,B,C,。是半径为4的球面上的四点，已知^8=5,BC=3,cos^BAC=当AD取得最大值时，四面体4BCD的体积为（）A.6V13 B.2V13 C.6739 D.2V39二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.若角a为钝角，且sma+cosa=-a则下列选项中正确的有（）A. 4 n 4A.sina=- B.cosa=--C.tana=-- u,smacosa= 3 2S成绩吩10.某校拟从甲、乙两名同学中选一人参加“网络安全知识竞赛”，于是抽取了甲、乙两人最近同时参加校内竞赛的卜次成绩，将统计情况绘制成如图所示的折线图,根据该折线图，下列结论正确的是（）成绩吩第十次第九次第第十次第九次第八次第七次一第六次一第五次乙第四次第•.次第二次：次数A.乙的成绩的极差为7B.甲的成绩的平均数与中位数均为7C.甲的成绩的方差大于乙的成绩的方差D.甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率11.一艘轮船航行到A处时看灯塔8在A的北偏东75。，距离12后海里，灯塔C在4的北偏西30。，距离为12国海里，该轮船由人沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔8在其南偏东60。方向，下面结论正确的有（）

B.CD=12B.CD=12C.Z.CDA=60。或“DA=120°D.Z.CDA=60°12.正方体ABC。-AiBiGCi为棱长为2，动点P，Q分别在棱BC,CQ上，过点4,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S,设BP=x,CQ=y,其中x,yG[0,2],下列命题正确的是()A.当x=0时，S为矩形，其面积最大为4B.当x=y=1时，S的面积为T4C.当x=l,ye(1,2)时，设S与棱G5的交点为R,则D.当y=2时，以当为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值三、填空题(本大题共4小题，共20.0分).已知复数z满足(l+2i)z=4+3i,则z的虚部是..某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y=a+Acos《(x-6)](x=1,2,3，…,12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28。&12月份的月平均气温最低，为18久，则10月份的平均气温值为℃..如图：在三棱柱A8C-4B1G中，已知4411面ABC,BC=CQ,当底面4B1G满足条件时，有ABilBCr(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)..若点P是AABC内的一点，且满足腐+而+定= ・丽=丽•同=定.PA=-1>则S-bc= -四、解答题(本大题共6小题，共70.0分).己知向量d=(1,2),b=(3,x).c=(2,y),且d〃B，ale.(1)求另与小(2)若沅=2五一B，n=d+c,求向量沆，元的夹角的大小..已知函数/(x)=sin(2x-}).(1)求该函数的单调递增区间；(2)用“五点法”作出该函数一个周期的图像..如图，在直三棱柱4BC-41B1G中，。为棱8c上一点.(1)若4B=4C,。为棱BC的中点，求证：平面ACCi_L平面BCGBi；(2)若〃平面求黑的值..为普及抗疫知识，弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛，比赛分两轮进行，每位选手都必须参加两轮比赛，若选手在两轮比赛中都胜出，则视为该选手赢得比赛.现已知甲、乙两位选手，在第一轮胜出的概率分别为在第二轮胜出的概率分别为匚p甲、乙两位选手在一轮二轮比赛中是否胜出互不影响.(I)在甲、乙二人中选派一人参加比赛，谁赢得比赛的概率更大？(H)若甲、乙两人都参加比赛，求至少一人赢得比赛的概率..某滨海城市沙滩风景秀丽，夏日美丽的海景和清凉的海水吸引了不少前来游玩的旅客.某饮品店通过公开竞标的方式获得卖现制饮品的业务.为此先根据前一年沙滩开放的160天的进入沙滩的人数做前期的市场调查，来模拟饮品店开卖之后的利润情况.考虑沙滩承受能力有限，超过1.4万人即停止预约，以下表格是160天内进入沙滩的每日人数的频数分布表.

人数(万)[0,0.2)[0204)[0.4,0.6)[060.8)[0.84.0)[1.0J.2)[1.2,1.4]频数(天)88162424a32(1)绘制160天内进入沙滩的每日人数的频率分布直方图，并求a和这组数据的65%分位数;2.001.751.501.251.000.750.500.25-(2)据统计，每10个进入沙滩的游客当中平均有1人会购买饮品，X(单位：个)为该沙滩的人数(X为10的倍数，如有8006人，则X取8000).每杯饮品的售价为15元，成本为5元，当日未出售饮品当垃圾处理.若该店每日准备1000杯饮品，记丫为该店每日的利润(单位：元)，求y和x的函数关系式.以频率估计概率，求该店在16。天的沙滩开放日中利润不低于7000元的概率..已知函数f(x)=V3sin(wx+<p)+2或/(竺手)—1(3>0,0<*<兀)为奇函数,且当/■(/)</-(%)</(X2)时，\Xi-x2\min=p(1)求/'(X)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移?个单位长度，再把横坐标缩小为原来的“纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，记方程g(x)=拉xG白书上的根从小到大依次为X], …试确定几的值，并求无1+2%2+2无3+…+2%n.i+f的值.答案和解析.【答案】B【解析】【分析】本题考查任意角的三角函数定义，考查学生的计算能力，属于基础题.由任意角的三角函数定义，可得结论.【解答】解：•••角a的终边与单位圆交于点二由任意角的三角函数定义易知：sina=-故选B..【答案】B【解析】解：互斥事件可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误；若随机事件4发生的概率为P(A),则OWP(A)W1,故8正确；频率是随机的，概率是稳定的，故C错误；5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，两个人抽到有奖奖券的可能性相等，故。错误；故选：B.根据概率的基本概念，逐一分析四个答案结论的真假，可得答案.本题以命题的真假判断为载体，考查了概率的基本概念，难度不大，属于基础题..【答案】D【解析】解：•.•复平面内的点4B分别对应的复数为为=2+»和Z2=-l-2i,•••4(2,1),6(-1,-2),.-.BA=(3,3)，•••向量以对应的复数为3+3i.故选：D.根据已知条件，结合复数的几何意义，以及向量的坐标运算法则，即可求解.本题主要考查复数的几何意义，以及向量的坐标运算法则，属于基础题..【答案】D【解析】【分析】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题.将已知化为而一荏=一：（前一荏），由此即可求解.【解答】解：因为前=一［就，所以同一四=一］（而一荏）,化简可得：AD=^AB-^AC.故选：D..【答案】B【解析】解：某校有高一学生n名，其中男生数与女生数之比为6：5,按分层抽样的方法抽取•个样本容量为巳的样本，样本中男生比女生多12人，设男生数为6匕女生数为5k,则（6k+5k=n（0.6k-0.5k=12解得k=12,n=1320./.n=1320.故选：B.设男生数为6匕女生数为弘，利用分层抽样列出方程组，由此能求出结果.本题考查高一学生数的求法,考查分层抽样等基础知识,考查运算求解能力，是基础题..【答案】C【解析】解：四边形4BCD中，如果血=灰，则四边形ABCD为平行四边形.再由14cl=|8。|,可得平行四边形的对角线相等，故四边形是矩形，故选：C.由费=反，可得四边形ABCC为平行四边形，再由|AC|=|BD|,可得此平行四边形是矩形，从而得出结论.本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量共线的定义，属于基础题..【答案】A【解析】解：根据函数/(x)=sin3x+尹)(3>0,切<今的图象，可得;•生=答—刍则3=2,40) 12 3再根据五点法作图可得2《+,=兀，所以9=或所以/'(x)=sin(2x+W>把/(x)上所有的点向右平行移动3个单位长度，可得函数g(x)=f(x-,)=sin[2(x-*)+g=sin2x的图象.故选：A.由周期求出3,由五点法作图求出9的值，可得/(%)得解析式，再利用函数y=Asin(a)x+中)的图象变换规律，得出结论.本题主要考查由函数y=Asin(a)x+w)的部分图象求解析式，函数y=Asin(a)x+w)的图象变换规律，属于基础题..【答案】D【解析】解：在aABC中，由余弦定理得BC2=ac2+ab2-2AC-4B-cos/BAC,又4B=5,BC=3,rn^BAC=7.=4C2+25-10AC-,解得AC=4,5AC2+BC2=AB2,即4clBC,设球心到平面ABC的距离为d,则d=心一(|)2=耳,当4。为球的直径时，4。取得最大值，此时。到平面4BC的距离为2d=V39，四面体ABC。的体积为V=1xix3x4xV39=2739.故选：D.由已知求解三角形可得AC18C,求出球心到平面ABC的距离，可得当4D为球的直径时,4。取得最大值，得到。到平面ABC的距离，再由棱锥体积公式求解.本题考查多面体的外接球，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题..【答案】BD【解析】【分析】本题考查同角三角函数间的基本关系，考查运算能力，是基本知识的考查.根据sina+cosa=+2a=1,角a为钝角，求得a的三角函数值.5Olli UvJo【解答】解：•••角a为钝角，・•・sina>0,cosa<0,f.0* 0__三Isina=-TOC\o"1-5"\h\z联立方程组+COS。_5,解得｛ 54，I-2a =iIcoscc=—sin" 丁cos V 5sina 3 . 12・•・tana= =—,sina-cosa= .cosa 4 25观察选项，选项BO符合题意.故选BD..【答案】BD【解析】解：对于A,将乙十次的成绩从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10,所以乙的成绩的极差为8,故选项A错误；对于B,甲的十次成绩从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9,所以中位数为7,平均数为7,故选项8正确；对于C,从折线图可以看出，乙的成绩比甲的成绩波动更大，所以甲的方差小于乙的方差,故选项C错误；对于D,从折线图可以看出，甲从第二次到第三次成绩的上升速率要大于乙从第六次到第八次的上升速率，故选项。正确.故选：BD.利用题中给出的折线图中的数据信息以及变化趋势，对四个选项逐一分析判断即可.本题考查了折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键,属于基础题..【答案】ABD【解析】解：如图,, .—、、 ADAB12^6c/PTdcc，在A4BD中，B=45。，由正弦定理有诉/=痂7=丁=24,2,40=24.2在AACD中，余弦定理有=AC2+AD2_2ACx4。xcos30°,因4c=1275,4。=24,CD=12，由正弦定理有卫-=—^—,sin^CDA=乌故=60。或者=120°.sin300sinzCDiA 2因4。＞CC,故4C/M为锐角，所以4czM=60。，故选：ABD.根据题设中的方位角画出A4BD,△ACD,在A4BD中利用正弦定理可求出4。的长，在△ACD中利用余弦定理求出CD的长，利用正弦定理求的大小（即灯塔C的方位角）.本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题..【答案】BCD【解析】解：当x=0时，点P与点B重合，二481「（2，此时S为矩形,当点Q与点6重合时，S的面积最大，S=2x2企=4鱼.故A错误；当x=l,y=l时，PQ为ABCCi的中位线，PQ//BC1，•••BCJ/AC1，•••4CJ/PQ,「.S为等腰梯形APQDi，过P作PElADi于E,PQ=V2,ADr=2V2.AE=y.4P=y，二PE=罢,

•••S梯形4PQ5=4X3/x乎=£故B正确;Di Ci由图可设S与。。1交于点F,可得。/〃CCi，△CiQRs/kO/R,段=籍，4CQ=y,则CiQ=2-y,：•R。[=4一],故C正确；当y=2时，以Bi为定点,S为底面的棱锥为Bi-APCiH,^Bi-APCiH=2Vp-8[CiH=2x-x-x2x2x2=-,故£)正确.Di C\(Q)故选：BCD.由题意可知当x,y变化时，S为不同的图形，故可根据题意逐一判断即可.本题考查了立体几何的截面面积的相关知识点，以及棱锥体积公式.13.【答案】-1【解析】【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【解答】解：由(l+2i)z=4+3i,Z[I4+3i (4+3i)(l—2i) 4—8i+3i—6i2 10—5i) .得Z=,=(1+20(1-20=-—=~T~=2-t，••.z的虚部是一1.故答案为：—1..【答案】20.5【解析】解：据题意得28=a+A,18=a+Acos《(12-6)]=a-4,解得q=23,A=5,所以y=23+5cos碍(x-6)],令x=10得y=23+5cos[-(10-6)]=23+5cos—=20.5.“6 3故答案为：20.5.根据题意列出方程组，求出a，A,求出年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数，将x=10代入求出10月份的平均气温值.本题考查通过待定系数法求出三角函数的解析式，知解析式求函数值..(答案141cl_LB[C]【解析】解：当底面4/16满足条件&GJ.B1G时，有1BCX.理由如下：vAAX1面ABC,BC=CC],•••四边形BCG/是正方形，[BG1BC"CCJIAA[,：.4C11CCX.又AiG_LBiCi，CC[CB[C]=J,CC],BiGu平面BCCiB「&G1平面BCCMi，•••AC//AXCX,•••AC_L平面BCGBi，"BCic^-^BCCiBr，.,■BC11AC,

vAC>B[Cu平面ACB],:.BC]_L平面4cB「••・当底面4BiG满足条件&Ci1BiQ时，有AB11BCi.故答案为：4iQJ.B]Q.当底面&BiCi满足条件41cli81cl时，推导出BCiJ.BC&GJ_平面AC1平面BCC/i，Bq14C,从而Bq1平面4CBi，由此能证明当底面公务如满足条件为白1BiG.时,有AB】J.BC「本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题..【答案】逗2【解析】解：•.•而+两+方=0,.••点P是AABC的重心，又百？.丽=丽.无，丽.前=0即PB14C,同理，PCJ.4B,.•.点P为△4BC的垂心，二点P为△4BC的中心，从而△ABC为正三角形，由「4・「8=—1得，|PA||PB|cos4P8=-l，\PA\\PB\=2，S„ABP=：|西|西sing=圣Sa.c=3Sa®=咨答案为：当.根据同+而+正=6,而•丽=丽・正=正=-1，得到点P为△ABC的中心,从而求解.本题考查了向量的运算及解三角形，是中档题..【答案】解：（1）由题意可得，x-2x3=0,2+2y=0,所以％=6,y=-1,所以石=(3,6)，c=(2,-1)；(2)设向量沆，元的夹角的大小为仇由题意可得，m=2a-K=(2,4)-(3,6)=(-1,-2).n=a+c=(3,1),所以cos。所以cos。=mn_-1X3-2X1|m||n|-V5xVioV22因为0<0<7T,【解析】（1）由题意结合向量平行及垂直的坐标表示可求％,y,进而可求;（2）设向量沅，元的夹角的大小为仇先求出沆，n,然后结合向量夹角的坐标公式可求.

本题主要考查了向量平行及垂直的坐标表示，还考查了向量夹角的坐标表示，属于中档题..【答案】解：(1)由2々兀一542%——<2kji+ k£Z,得2k7i4--<2x<2kn+?，kEZ,即/nr4--<x<k7r+—,kEZ,4 4 8 8即函数/(x)的单调递增区间为即+，k兀+争，keZ.(2)五点作图法列表如下：c 37r2x 40n2713n~227rX3n857r877r89n8lln8y010-10对应的图像为:JT【解析】(1)根据三角函数的单调性进行求解即可.(2)利用五点法进行作图即可.本题主要考查三角函数的图像和性质，根据正弦函数的单调性以及五点法作图进行求解是解决本题的关键，是中档题..【答案】解：(1)证明：r/lB=4C,点。为BC中点，二ADIBC,•••直三棱柱中，BBi1平面4BC,4。u平面48C,BBiLAD,'•BBrC\BC=B,二4。J■平面BCC1B1,•••ADu平面ACCi，平面ACCi_L平面BCCiBj(2)连接&C,交AG于0,连接。£>,则。为4cl中点，R•・• 〃平面AOG，u平面平面40C1n平面48C=。0,:,AiB"OD,・・・。为4cl中点，。为BC中点，BD-：,=1.DC【解析】(1)推导出/W1BC,BB1J./W,从而4。1平面BCC1B1，由此能证明平面/WQ1平面BCG%；(2)连接AC交AQ于。，连接0D,则。为4cl中点，推导出48〃0。，由此能求出言勺值.本题考查线面垂直的性质与判定、面面垂直的判定定理、线面平行的性质定理等基础知识，考查推理论证能力，是中档题.20.【答案】解：(I)设事件4表示“甲赢得比赛”，事件B表示“乙赢得比赛”，310C/C、131P(B)=~x-=-•••甲、乙二人中选派一人参加比赛，甲赢得比赛的概率更大.(H)甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的对立事件是两个人都没有嬴得比赛,•••甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的概率为:P=1-[1-P(i4)][l-P(B)]7 3=1 x-10419=而,【解析】(I)利用相互独立事件概率计算公式分别求出甲赢得比赛和乙赢得比赛的概率,由此能求出甲赢得比赛的概率更大.

(II)利用相互独立事件概率计算公式能求出甲、乙两人都参加比赛，至少一人赢得比赛的概率.本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.21.【答案】解：(1)由总人数为160,则a=48,由图表知道人数在1.0以下的是50%,在1.2以下的是80%,我们不妨假设1.0到1.2是均匀分布的，1.0+0.2x鬻关=1.1,所以65%分位数是1.1；0.O—0.5画出频率分布直方图如图所示：2.001.752.001.751.501.251.000.750.500.25-11*।।1*।i1j*i1।।।iI।1I»1।।(■t*I1•।•1•।•।•I1।।।।।।।।।।।।।।।।।*ii*•।*t । 1 1 iI;;;;;;;।i1।0.20.40.60.81.01.21.4(2)由题意知，当XN10000时,y=10x1000=10000元；当X<10000时,r=^x10-(1000一9x5=1.5X-5000.所以y=00000,(X>10000)所么丫一(1.5X-5000,(0<X<10000/设销售的利润不