圆锥曲线大题集锦

圆锥曲线大题集锦圆锥曲线大题集锦圆锥曲线大题集锦圆锥曲线大题集锦编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:圆锥曲线大题集锦1．在平面直角坐标系中，F是椭圆的右焦点，已知点（0，－2）与椭圆左顶点关于直线对称，且直线AF的斜率为．（1）求椭圆的方程；（2）过点Q（－1，0）的直线l交椭圆于M，N两点，交直线＝－4于点E，，证明：为定值．2已知定圆：，动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为。（1）求轨迹的方程；（2）设点，，在上运动，与关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线的方程。3.已知，分别是椭圆：的两个焦点，是椭圆上一点，且，，成等差数列．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知动直线过点，且与椭圆交于两点，试问轴上是否存在定点，使得恒成立若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）假设在轴上存在点，使得恒成立．①当直线的斜率不存在时，，，由于（，解得或；4.已知定点C(－1，0)及椭圆x2＋3y2＝5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．（1）若线段AB中点的横坐标是－eq\f(1,2)，求直线AB的方程；（2）在x轴上是否存在点M，使为常数若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)，将y＝k(x＋1)代入x2＋3y2＝5，消去y整理得(3k2＋1)x2＋6k2x＋3k2－5＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由线段AB中点的横坐标是，得，解得都满足所以直线AB的方程为或（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．（ⅰ）当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知x1＋x2＝－eq\f(6k2,3k2＋1)，x1x2＝eq\f(3k2－5,3k2＋1)．③所以＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(x1－m)(x2－m)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝(k2＋1)x1x2＋(k2－m)(x1＋x2)＋k2＋m2．将③代入，整理得＝eq\f((6m－1)k2－5,3k2＋1)＋m2＝＝m2＋2m－eq\f(1,3)－eq\f(6m＋14,3(3k2＋1))．注意到是与k无关的常数，从而有6m+14=0，此时，此时．（ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标分别为(，)、(，)，当时，也有．综上，在x轴上存在定点使为常数．5设椭圆C：(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2＝4eq\r(3)y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e＝eq\f(1,2)，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝－2，求直线l的方程；（3）若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：eq\f(|AB|2,|MN|)为定值．(1)解由题意知，椭圆的一个顶点为(0，eq\r(3))，即b＝eq\r(3)，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)解由题意可知，直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．由，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝eq\f(8k2,3＋4k2)，x1x2＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)，eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝eq\f(4k2－12,3＋4k2)＋k2(eq\f(4k2－12,3＋4k2)－eq\f(8k2,3＋4k2)＋1)＝eq\f(－5k2－12,3＋4k2)＝－2，解得k＝±eq\r(2)，故直线l的方程为y＝eq\r(2)(x－1)或y＝－eq\r(2)(x－1)，即eq\r(2)x－y－eq\r(2)＝0或eq\r(2)x＋y－eq\r(2)＝0．(3)证明设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(2)可得|MN|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(1＋k2[\f(8k2,3＋4k2)2－4\f(4k2－12,3＋4k2)])＝eq\f(12k2＋1,3＋4k2)，由,消去y并整理得x2＝eq\f(12,3＋4k2)，|AB|＝eq\r(1＋k