2022年中考数学压轴题附答案解析

2022年中考数学压轴题.抛物线y=f+(m+2)x+4的顶点C在x轴正半轴上，直线y=x+2与抛物线交于4B两点(点4在点8的左侧).(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是抛物线上一点，若SA附b=2S”bc，求点尸的坐标：(3)将直线48上下平移，平移后的直线与抛物线交于H,夕两点(4在8的左侧)，当以点4,®和(2)中第二象限的点尸为顶点的三角形是直角三角形时，求，的值.(△=(m+2)2-16=o•I-华＞。解得m=-6.工抛物线的函数表达式是歹=/-4x+4；(2)如图1,过点C作CE〃48交y轴于点£,设直线48交y轴于点由直线43：y=x+2,得点H(0,2).设直线CE：y=x+b."：y=x2-4x+4=(x-2)：.C(2,0)..*.2+6=0,则b=-2.:.HE=4.由S^fHB=1S^ABCy可在y轴上且点〃上方取一点尸，使FH=2HE,则尸(0,10).过点F作FP//AB交抛物线于点尸1、Pi.此时满足S®b=2Smbc，设直线尸卜尸2的函数解析式为：,:F(0,10)在直线尸卜P2上，二直线Pl、尸2的函数解析式为：V=X+1O.联立(y=x4—4%4-4解得户二1,产=3(71=9 (J2=16综上，满足条件的点尸的坐标是Pi(-1,9),尸2(6,16)；(3)设4'(xi.y\).B'(X2,”)，显然，NRTB'#90°.(I)如图2,当NHB'P=90°时，过点夕作直线MN〃丁轴，A'MLMN于M,PNLMN于N.•..直线4'B'的解析式是y=x+t,:.NB'AM=45°.

进一步可得到夕△尸夕N都是等腰直角三角形.:.PN=NB',.•.X2+1=9-yif即42+>2=8①又N2=X2+Z，②TOC\o"1-5"\h\z/ 1x2=4一t联立①②解得｛ \.）2=4+于11 1 1将点（4—,，4+2t）代入二次函数解析式，得4+/=（4-t—2）2解得八=0,,2=10（此时点/T与点P重合，舍去）：②如图3,当NA'PB'=90°时，过点尸作E/〃y轴，A'ELEF于E,B'尸_LE尸于则△{'EPs^PFB'..PF"'~pe=FF'・X1+1=丫2-9"9-yi x2+l'.'.xix2+(xi+x2)+1=9Cyi+y2)~yiy2-81.令x2-4x+4=x+f,贝(Ix2-5x+4-r=0.则Xl+X2=5,X1X2=4-t.yi+y2=(-x\+t)+(x2+f)=xi+x2+2t=5+2t.y\yz=(x)+z)(xa+z)=x\xi+t(xi+xa)+t2=t2+4t+4....(4-r)+5+1=...(4-r)+5+1=9(5+2r)解得t\=5,/2=10(舍去).综上所述，，的值是0或5.2.已知直线A：y=-x+b与x轴交于点4,直线，2：y= 竽与x轴交于点8,直线人、/2交于点C,且C点的横坐标为1.(1)如图1,过点/作x轴的垂线，若点P(x,2)为垂线上的一个点，0是y轴上一动点，若S&cpq=5,求此时点。的坐标；(2)若尸在过力作x轴的垂线上，点。为y轴上的一个动点，当CP+PQ+Q/l的值最小时，求此时。的坐标；(3)如图2,点E的坐标为(-2,0),将直线八绕点C旋转，使旋转后的直线/3刚好过点E,过点C作平行于x轴的直线乐点、M、N分别为直线为、/4上的两个动点，是否存在点M、N,使得△8MN是以M点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.图1 图2解：(1)直线/2：y=gx-竽，令x=1>则y=-4,故C(1,-4),把C(1,-4)代入直线/1：y=-x+b,得：b=-3,则人为：y--x-3,所以/I(-3,0),所以点P坐标为(-3,2),如图，设直线4c交歹轴于点设尔尸…得:此也+：解哪二3：.ypc=-1.5x-2.5,即M(0，-2.5).S^cpq=jeA/X(xc-xp)=1(yc+2.5)X4=5,解得：y°=0或-5,二。的坐标为(0,0)或(0,-5)；

(2)确定C关于过4垂线的对称点C(-7,-4)、/关于y轴的对称点/'(3,0),连接加c交过a点的垂线与点尸，交夕轴于点。，此时，cp+p0+0的值最小，图1将点/'、C点的坐标代入一次函数表达式：y=/x+b'得：则直线/C的表达式为：尸鼠4即点尸的坐标为(-3,一芥)，(3)将£、C点坐标代入一次函数表达式，同理可得其表达式为：①当点M在直线/4上方时，设点N",-4),点“(s,—玄一?)，点8(4,0),过点N、5分别作y轴的平行线交过点M与x轴的平行线分别交于点R、S,图2图2■:/RMN+/RNM=90°,NRMN+NSMR=90°,:./SMR=/RNM,/MRN=/MSB=90°,MN=MB,：・4MSB9ANRM(44S),:・RN=MS,RM=SB,

-4 8,„ “s=-4n=-16'一个s-s=-4n=-16'即，34a>解得：｛,即，s_n=_|s_|I；故点N的坐标为（-16,-4）,②当点刊在/4下方时,同理可得：N（一竽-4）,即：点N的坐标为（一竽，-4）或（-16,-4）.3.已知：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.直线48：y=mx+Sm（机#0）交x轴负半轴于儿交y轴正半轴于8,直线8C：y=nx+2n（n^O）交x轴负半轴于C,且NOAB=2NOBC.（2）点尸（/,0）是x轴上一动点，过尸作y轴的平行线，交48于0,交.BC于R,设QR=d,求"与f的函数关系式，并写出自变量f的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段0/上，且d=9时，作点。关于y轴的对称点7,连接CT,过B作BHLCT于H,在直线48上取点过M作〃。//交直线8c于点M点M若以。、H、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.解：（1）直线48：y=mx+Sm（加#0）,则点/、8的坐标分别为（-8,0）,（0,85）,则2〃=8m,"=4加，同理可得：点C（-2,0）,找点C关于y轴的对称点C'（2,0）,连接8C',过点C作C7/_L8C'于点”，设NO8C=a,则N8CC'=2a=N0AB,BC'=<4+64m2,在△BCC'中，S&BCC.=*C'XOB=^CHXBC',即：4X8m=CHXBC',则C〃=%,BC'则sinNC8。'则sinNC8。'32m=sin2a=色■尸BCV4+64m2一一 t 1在△0/8中，tanNO48=tan2a=m,则sin2a=.Vl+rn2故・32mm故・32mm=则”=3：(2)直线ZB：(2)直线ZB：^=|v+6,直线8C：y=3x+6,3则点0、R的坐标分别为（t,-t+6）,（/,3什6）,①当点尸在y轴左侧时,d=QR=*+6-3t-6=-②当点尸在y轴右侧时，d=4t，f-rt>t>0BP：d={4 ;(-.3tVO(3)①当点N在点8下方时，当d=9时，r=4,即点尸(-4,0),则点0(-4,3),点7(4,3),将点C、7的坐标代入一次函数表达式并解得:直线CT的表达式为：尸分+1…①，BHLCT,则直线48表达式中的人为-2,同理可得直线BH的表达式为：y=-2r+6…②,联立①②并解得：点〃（2,2）,过点〃作轴，则OK=K，=2,3设点M、N的坐标分别为(m,二加+6),N(〃，3〃+6),4故点M作y轴的平行线交故点N于x轴的平行线于点G,。、H、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则NG=MG=2,3BP：m-n=2,一6-3〃=2,4解得：M=-1.②当点M在点8上方时，同理可得：〃=g,- 220故点N(-»-);9 3216_220综上，点N(-q,—)或(g,—).4.如图，在RtZ\/8C中，ZJCS=90",。为48边上的一点，以4。为直径的。。交8c于点E,交AC于点F,过点C作CGL48交48于点G,交AE于点H,过点E的弦E尸交于点。(“不是直径)，点。为弦E尸的中点，连结8P,8P恰好为。。的切线.(1)求证：8c是0O的切线.(2)求证：EF=ED.3(3)若sinN/BC、，/C=15,求四边形C//QE的面积.(1)证明：连接OE,OP,•.7。为直径，点。为弦EP的中点,J.PELAB,点。为弦EP的中点，：.AB垂直平分EP,：.PB=BE,：OE=OP,OB=OB,:.△BEOQRBPO(SSS),•・/BEO=/BPO,・・80为。。的切线，：.ZBPO=90°,：.ZBEO=90°,：・OELBC,・・8C是O。的切线.(2)证明：•；NBEO=NACB=90°,：.AC//OEf：.ZCAE=ZOEA,：OA=OE,：.NEAO=/AEO,：・/CAE=NEAO,：.EF=ED.(3)解：・・1O为的。。直径，点。为弦EP的中点,J.EPLAB,〈CGLAB,:,CG〃EP,ZACB=ZBEO=90°,：.AC//OEf:・NCAE=/AEO,VOA=OE,:・/EAQ=/AEO,:・NCAE=NEAO,ZACE=ZAQE=90°,AE=AE,:・/\ACEq4AQE(JJS),:・CE=QE,ZJ£C+ZCJ£=ZEAQ^ZAHG=90°,:・/CEH=NAHG,NAHG=NCHE,:・4CHE=4CEH,:.CH=CE,:・CH=EQ,：.四边形CHQE是平行四边形，:CH=CE,•・四边形C//QE是菱形，AG3sinZJBC-sinZJCG——=~AC5VJC=15,・"G=9,：.CG=y/AC2-AG2=12,,/△ACEgAAQE,：.AQ=AC=\5,:・QG=6,,:H©=H0Qd:.H©=(12-HQ}2+62,1q解得：〃0=号，5.如图，ZX/IBC中，AB=AC,。。是△/8C的外接圆，8。的延长线交边/C于点O.(1)求证：NBAC=2NABD；(2)当△SCO是等腰三角形时，求N8CQ的大小；

(3)当40=2,CD=3时，求边8C的长.•；AB=AC,：.AB=AC,：.OAlBCf:・NBAO=/C4O,；O4=OB,：.NABD=NBAO,：.ZBAC=2ZABD.(2)解：如图2中，延长40交6c于从图2①若BD=CB,则NC=N5QC=NABO+N54C=3NZ8O,•；4B=AC,工NABC=/C,•・NDBC=2NABD,ZZ)BC+ZC+Z5Z)C=180°,A8ZJ^D=180°,：.ZC=3ZABD=67.5°.②若CD=CB,则NC5O=NC05=3N4B。，：・NC=4N4BD,VZMC+ZC+ZCDB=180°,・・・10N/8£)=180°,/.ZBCD=4ZABD=12°.③若DB=DC,则。与4重合，这种情形不存在.综上所述，NC的值为67.5°或72°.(3)如图3中，作/七〃8C交8。的延长线于£图3AEAD2则一=一=一，BCDC3AOAE4、.>=~~=g,设OB=OA=4a,OH=3a,OHdH3'：BH2=AB2-AH2=OB2-OH1.：.25-49a2=\6a2-9a2,2556-:.bhW，r万：.BC=2BH=翌..已知，如图：ZUBC是等腰直角三角形，NZ8c=90°,AB=\0,。为△43C外一点,连接40、BD,过。作£WJ_48,垂足为〃，交AC于E.(1)若△48。是等边三角形，求OE的长；(2)若BD=AB,且tan/，£>8=?求。E的长.【解答】解：（1）；△480是等边三角形，48=10,/.ZADB=60°,AD^AB=\0,■:DHL4B,：.AH=^AB=5,.,.DH=y/AD2-AH2=V102-5Z=5k,,.•△48C是等腰直角三角形，：.ZCAB=45°,即N4£77=45°,...△ZEH是等腰直角三角形，:.EH=AH=5,：.DE=DH-EH=5V3-5；7(2)・：DH：LAB,且tanN〃£>8=4,，可设5H=3瓦则可H=4匕工根据勾股定理得：DB=5k,U：BD=AB=\O,・・・5攵=10解得：k=2,:・DH=3,BH=6,AH=49又・：EH=AH=4,:・DE=DH-EH=4..如图，已知。。是△48C的外接圆，48是。。的直径，。是么8延长线上的一点，AEJ_OC交。C的延长线于E,交。。于点况且尻1="（1）试判断CE与。O的位置关系并加以证明：（2）若BZ）=最ZE=4,求N8C。的正切值.【解答】（1）OE是。。的切线（1分）证明：连接0C（如图）"：BC=CF,Z1=Z2（2分）:。。是△/8C的外接圆...点C在圆上:.OC=OA/.Z3=Z2Z3=Z1：.OC//AE（3分）'：AE±DE,;・NAED=90°：.ZOCD=90°：,OCLDC,BPOCLDE・・・OE是。O的切线（4分）（2）解：在△ZOE中，由（1）知