2022年中考数学复习新题速递之三角形（2022年2月含解析及考点卡片）

2022年中考数学复习新题速递之三角形一、选择题（共io小题）（2021秋•吴兴区期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A.3>5»8B.3,3,6C.10,8,7D.1,2,4（2021秋•万州区期末）如图，在AA8C和ADE/中，AC//DF,点A、。、B、E在一条直线上，下列条件不能判定AABCmADEF的是（ ）A.ZC=ZF B.ZABC=ZDEFC.AB=DED.BC=EF（2021秋•思明区校级期末）如图，是AABC的角平分线，CE1AD,垂足为尸.若ZC4B=4O°,ZB=50°,则N80E•的度数为（ ）A.35° B.40° C.45° D.50°（2021秋•泉州期末）如图，在RtAABC中，NC=90。，点G是AABC的重心，GEYAC,垂足为E,若GE=3,则线段CB的长度为（ ）AA9A.10 B.9 C.6 D.-2（2021秋•曲靖期末）如图，在AAB。中，ZBAC=128°,[是AABC的内角NABC的平分线与外角NACE的平分线。夕的交点；P2是4BP.C的内角ZP.BC的平分线BP2与外角N[CE的平分线CP2的交点；鸟是^BP2C的内角/匕BC的平分线BP、与外角N?CE的平分

TOC\o"1-5"\h\z线C鸟的交点；依次这样下去，则/己的度数为（ ）A.2° B.4° C.8° D.16°（2021秋•密山市期末）如图，是AABC的中线，CE是AACD的中线，DF是ACDE的中线，若4^=4,则等于（ ）（2021秋•两江新区期末）如图，在AABC中，AB=5,AC=3,A£＞为8c边上的中线,则与AAC£）的周长之差为（ ）（2021秋•巢湖市期末）如图，AAC8三△4CB',ZBCB,=30°,则NAC4'的度数为（）（2021秋•巴南区期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上“根木条，这里的〃=（ ）A.0 B.1 C.2 D.3（2021秋•巴南区期末）下列说法错误的是（ ）A.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等B.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等C.有两个角为60。的三角形是等边三角形D.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合二、填空题（共7小题）（2021秋•兴义市期末）如图所示，AD是AABC的中线.若AB=7cm,AC=5cm,则和AADC的周长的差为cm.（2021秋•通道县期末）一副分别含有30。角、45。角的三角板，拼成如图所示的图形,其中NC=90。，ZB=45°.ZE=30°,则N8/D的度数是 •（2021秋•南安市月考）如图，已知AD是AABC的中线，AE=EF=FC,下面给出三个关系式：①AG:A£>=1:2：②G£:8E=1:3:③BE:BG=4:3,其中正确的为—.（填序号）（2021秋•环江县期末）如图，为使人字梯更为巩固，在梯子中间安装一个横向“拉杆”,所根据的数学原理是

（2021秋•甘井子区期末）如图，ZB=42°,NA+1O°=NC,则NA=A（2021秋•包河区期末）不等边AA8C的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是—.（2021春•宜兴市月考）某工艺店打算制作一批两边长分别为34〃，6dm,且周长为偶数（单位：力”）的不同规格的三角形木框，若每种木框只制作一个，则制作这些木框（忽略接头）共需要dm-三、解答题（共8小题）（2021秋•长丰县期末）如图，在AABC和ACDE中，点、B、O、C在同一直线上，已知NACB=NE,AC=CE,ABUDE,求证：MJBC^ACDE.（2021秋•武汉期末）如图：A、D、B、F四点在同一条直线上，若NA=NEDF,（2021秋•卧龙区期末）体育课上，小明和小聪突然争论起来，他们都说自己比对方身体长的高，这时善于思考的小慧走过来，笑着对他俩说「‘你们不要争了，其实你们一样高,看看地上，你俩的影子一样长”（假设太阳光线是平行的）.小明和小聪不太明白，小慧给他们讲了其中的道理.小慧说我们先对该问题进行数学抽象：如右图，直线“表示地面，AB,8分别表示你俩的身高，PM和QN表示太阳光线，是平行的，和ON表示你俩身高的影长，是一样长的.然后小慧用所学的数学知识解决了该问题.下面给出了小慧解决该问题的一部分内容，请你将已知，求证补充完整，并给出证明：（1）已知：如图，A3J_a于点5,C£）_La于点£>,, ；（2）求证：；

（3）证明:（3）证明:（2021秋•思明区校级期末）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”.如图I,AABC中，AC=1,BC=9,AB=W,P为AC上一点，当AP=时，AABP与AC8P是偏等积三角形；问题解决：（2）如图2,四边形MED是一片绿色花园，A4CB、ADCE是等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°（0<NBCE<90°）,①AAC。与ABCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知8£=60〃?，AA8的面积为2100加.如图3,计划修建一条经过点C的笔直的小路CF,尸在BE边上，尸C的延长线经过AD中点G.若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价.图3图122.（图3图122.（2021秋•南山区校级期末）ZMON=90°,点4,8分别在射线OM、ON上运动（不与点。重合）.（1）如图①，AE.况分别是N8AO和NA8O的平分线，随着点A、点B的运动，/4£8=（2）如图②，若BC是ZABN的平分线，8c的反向延长线与NQ4B的平分线交于点£）.①若ZfiAO=60。，贝l」NO=②随着点A,B的运动，ND的大小是否会变化？如果不变，求/£>的度数；如果变化，请说明理由.

(2021秋•金水区校级期末)”三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ABC。是长方形，尸是延长线上一点，G是Cr上一点，且NACG=NAGC,NGAF=NF.请写出NEC8和NAC8的数量关系，并说明理由.(2021秋•崇明区期末)如图，在A4BC中，点尸为AABC的重心，联结AF并延长交于点。，联结3尸并延长交AC于点E.(1)求海空的值；^AABF(2)如果通=&,AC=b,用］、5表示屁和通.如图所示，点。，A,E在一条直线上，AADC^AAEB,点。和点E是对应顶点,Zft4C=3O°,ND=45°.(1)求的度数；(2)求N8W?的度数.2022年中考数学复习新题速递之三角形参考答案与试题解析一、选择题（共10小题）（2021秋•吴兴区期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（ ）A.3,5,8 B.3,3,6 C.10,8,7D.1,2,4【答案】C【考点】三角形三边关系【专题】推理能力；三角形【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析.【解答】解：根据三角形的三边关系，得，43+5=8,不能组成三角形，不符合题意：83+3=6,不能够组成三角形，不符合题意；C.7+8>10,能够组成三角形，符合题意；£>.1+2<4.不能组成三角形，不符合题意.故选：C.【点评】此题考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数.（2021秋•万州区期末）如图，在和AD肝中，AC//DF,AC=DF,点A、D、B、E在一条直线上，下列条件不能判定AABC三ADEF的是（ ）CFA.ZC=ZF B.ZABC=^DEFC.AB=DED.BC=EF【答案】D【考点】全等三角形的判定【专题】图形的全等；推理能力【分析】先利用平行线的性质得到/4=/血，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断.【解答】.AC//DF,.-.ZA=ZFDE,:AC=DF,当添加NC=N尸时，根据“ASA”可判断AABC三ADEF；当添加NABC=N£>EF时，根据“AAS”可判断AABC岂ADEF；当添加舫=£）£时，根据“SAS”可判断AABC三ADEF.故选：D.【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键.选用哪一种判定方法，取决于题目中的已知条件.（2021秋•思明区校级期末）如图，4）是AABC的角平分线，CELAD,垂足为尸.若ZC4B=4O°,ZB=50°,则N瓦宏的度数为（ ）A.35° B,40° C.45° D.50°【答案】B【考点】三角形内角和定理【专题】图形的全等：三角形：推理能力；几何直观【分析】根据三角形的内角和求出N4C8=90。，利用三角形全等，求出DC=£>E,再利用外角求出答案.【解答】解：「NGAS=40°,ZB=50°,.-.z64CB=180o-40o-50o=90o,-.CE±AD,：.ZAFC=ZAFE=90°,AD是AABC的角平分线，Z.CAD=ZE4D=1x40°=20°,2又•.•AF=AF,・•・MCF^AAEF(ASA)AC=AE，vAD=AD,ZC4T)=ZE4D,/.MCD^AAED(SAS)，:.DC=DE,:.ZDCE=ZDEC,・・・NACE=90。_20。=70°,.・.ZDCE=ZDEC=ZACB-ZACE=90°-70°=20°，：.ZBDE=ZDCE+ZDEC=2U+2(f=4(r,故选：B.【点评】考查角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识，根据三角形的内角和求出相应各个角的度数是解决问题的关键.(2021秋•泉州期末)如图，在RtAABC中，NC=90。，点G是AABC的重心，GE±AC,垂足为E,若GE=3,则线段CB的长度为( )9A.10 B.9 C.6 D.-2【答案】B【考点】三角形的重心【专题】应用意识；三角形；图形的相似【分析】延长AG交BC于O,如图，利用三角形重心的性质得到CD=8E>,AG=2GD,再证明GE//CD,则可判断然后利用相似比可求出8的长，进而得到线段C8的长度.【解答】解：延长AG交BC于O,如图，•.•点G是AABC的重心，:.CD=BD=-BC,AG=2GD,2.GELAC,

.-.ZA£G=90°,而NC=90°,:.GE//CD,.•.AA£gAAC£),,EGAG2"CD~AD~3,〜3EG3c92 2 2：.BC=2CD=9.故选：B.故选：B.【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.也考查了相似三角形的判定与性质.（2021秋•曲靖期末）如图，在AABC中，ZfiAC=128°,R是AABC的内角NABC的平分线与外角NACE的平分线CPt的交点；P2是4 的内角ZP,BC的平分线BP2与外角NQCE的平分线C£的交点；A是△BgC的内角的平分线与外角N^CE的平分线CW的交点；依次这样下去，则/己的度数为（ ）【答案】AC.【答案】AC.8°D.16°【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质【专题】三角形；推理能力【分析】根据角平分线的定义得NP5C='ZABC,ZPCE=-ZACE,再根据三角形外角性质得ZACE=ZA+ZABC"CE质得ZACE=ZA+ZABC"CE=ZPBC+"于是得到1(ZA+ZAeC)=ZPBC+ZP=-Z4BC+ZP,然后整理可得= 同理得到结论.【解答】解：•.•AASC的内角平分线族与外角平分线交于6，NRBC=-ZABC,NRCE=~幺CE,.-ZACE=ZA+ZABC,NnCE=NRBC+NR,-(ZA+ZABC)=Z^BC+Z^=-ZABC+Z^,ZP=-z^4=-xl28°=64°,12 2同理/6=1/<=32。，/.5=2。,故选：A.【点评】本题考查了三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180。是解答此题的关键.（2021秋•密山市期末）如图，A£）是AABC的中线，CE是AACZ）的中线，DF是&CDE的中线，若S3r=4,则5必1c等于（C.3C.32D.30【答案】C【考点】三角形的面积【专题】三角形；推理能力【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分.则可先求出Ss=3,再求出Sacae=6,然后求出5用0=12，从而得到Sm1c.【解答】解：:OF是△CDE的中线,,•*^adcf=S^ef=4，・・CE是AAC£＞的中线，0•^ACAE=S&cDE~8»・・AD是AABC的中线，・S故bd=^&adc=8+8=16»Saa”=16+16=32.故选：c.【点评】本题考查了三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键.（2021秋•两江新区期末）如图，在AABC中，AB=5,AC=3,A£＞为8c边上的中线,则AABZ）与AAC£）的周长之差为（ ）【答案】A【考点】三角形的角平分线、中线和高【专题】运算能力；三角形【分析】根据题意，4）是AABC的边上的中线，可得BZ）=C£）,进而得出的周¥z=AB+BD+AD,A48的周长=AC+8+4D,相减即可得到周长差.【解答】解：是AABC的中线，：.BD=CD,：.MBD与AACD的周长之差为：（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB+BD+AD-AC-CD-AD=AB-AC^5-3=2；故选：A.【点评】本题主要考查了三角形的中线、高和三角形周长的求法，熟练掌握三角形周长公式是解题的关键.（2021秋•巢湖市期末）如图，AAC8三△4CB',ZBCB,=30°,则NAC4'的度数为（A'AB CA.20° B.30° C.35° D.40°【答案】B【考点】全等三角形的性质【专题】图形的全等；推理能力【分析】根据全等三角形的性质得到= 结合图形计算，得到答案.【解答】解：•.•AACBmZXWCB',/.ZACB=ZACB',ZACB-ZACB=ZACff-Z/TC8,ZACA'=ZBCff=30P,故选：B.【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键.（2021秋•巴南区期末）木工师傅要使一个四边形木架（用四根木条钉成）不变形，至少要再钉上”根木条，这里的〃=（ ）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【考点】三角形的稳定性【专题】三角形；推理能力【分析】要使四边形木架（用四根木条钉成）不变形，钉上木条变成三角形即可.【解答】解：四边形木架，至少要再钉上1根木条，使四边形变成两个三角形；故选：B.【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用.三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此耍使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得.（2021秋•巴南区期末）下列说法错误的是（ ）A.一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等B.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等C.有两个角为60。的三角形是等边三角形D.等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合【答案】。【考点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形全等的判定【专题】推理能力；三角形；等腰三角形与直角三角形【分析】根据全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质解决此题.【解答】解：A.由一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形得这个两个直角三角形中有两个角相等且一条边相等，根据A4S或者A5A推断出这两个直角三角形全等，那么A正确，那么A不符合题意.B.根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，那么3正确，故8不符合题意.C.根据三角形的内角和定理，由三角形的两个内角等于60。，得这个三角形的三个内角均为60。.根据等边三角形的判定，这个三角形是等边三角形，那么C正确，故C不符合题意.D.根据等腰三角形“三线合一”的性质，等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高相互重合，那么。错误，故。符合题意.故选：D.【点评】本题主要考查全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质是解决本题的关键.二、填空题（共7小题）（2021秋•兴义市期末）如图所示，AD是AA8C的中线.若AB=7cm,AC=5cm,则和AADC的周长的差为2cm.【答案】2.【考点】三角形的角平分线、中线和高【专题】推理能力；运算能力；三角形【分析】根据三角形中线的定义得到80=8,求得AABD和MCD的周长差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC,于是得到结论.【解答】解：:A。是边上的中线，BD=CD，••.△46£）和^4。。的周长差=（45+4£>+8。）一（4。+也+。£））=钻一4。，AB=lcm»AC=5cnifAAB£>和AACZ）的周长差=7-5=2s.故答案为：2.【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形中线的定义是解题的关键.（2021秋•通道县期末）一副分别含有30。角、45。角的三角板，拼成如图所示的图形，其中NC=90。，ZB=45°,ZE=30°,则NWD的度数是_15。_.E【答案】15°.【考点】三角形的外角性质【专题】推理能力；三角形【分析】由题意可得NC4B=45。，ZE=30°,利用三角形的外角性质可求得NA/话=15。，再由对顶角相等即可求得NW0的度数.【解答】解：由题意得：NC4B=45。，ZE=30°.NC钻是AAE尸的外角，：.ZAFE=ZCAB-ZE=15°,：.^BFD=ZAFE=\5°.故答案为：15。.【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质并灵活运用.（2021秋•南安市月考）如图，已知A£>是AABC的中线，AE=EF=FC,下面给出三个关系式：①AG:A£>=1:2;②GE:BE=1:3;③BE:BG=4:3,其中正确的为①③.（填序号）【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心【专题】应用意识；图形的相似；三角形【分析】根据已知对各个关系式进行分析，从而得到正确的选项.【解答】解：•.•/!£>是AABC的中线，BD=DC,・・・EF=FC,DF为AC8E的中位线，：.df//be9・•・△CDFsbCBE, ,.\GE:DF=AG:AD=l:2,DF:BE=1:2,:.GE:BE=\:4,.\BE:BG=4:3,・・.①③正确.故答案为：①③.【点评】本题考查了三角形的中位线的性质定理，平行线分线段成比例定理的推论，本题的关键是证明：DF//BE.（2021秋•环江县期末）如图，为使人字梯更为巩固，在梯子中间安装一个横向“拉杆”,所根据的数学原理是 三角形具有稳定性.【答案】三角形具有稳定性.【考点】三角形的稳定性【专题】三角形；推理能力【分析】根据三角形的稳定性解答即可.【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加梯子使用时的安全性，这样做的道理是三角形具有稳定性，故答案为：三角形具有稳定性.【点评】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答.（2021秋•甘井子区期末）如图，ZB=42°,ZA+10°=ZC,则/4=_64。_.【答案】64°.【考点】三角形内角和定理【专题】三角形；应用意识【分析】利用三角形内角和定理解决问题即可.【解答】解：•.•NA+NB+NC=180。，又•.•ZB=42。，ZA+10°=ZC..•.ZC-10°+42°+ZC=180°,，NC=74。，：.ZA=M0,故答案为：64°.【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理，学会构建方程解决问题.（2021秋•包河区期末）不等边AABC的两条高的长度分别为4和12,若第三条高也为整数，那么它的长度最大值是5.【答案】5.【考点】三角形的面积【专题】推理能力；三角形【分析】先设长度为4、12的高分别是a,b边上的，边c上的高为〃，AABC的面积是S,根据三角形面积公式，可求至，b=—,c=—,结合三角形三边的不等关系，可得TOC\o"1-5"\h\z4 12 〃关于〃的不等式，解即可.【解答】解：设长度为4、12的高分别是a,6边上的，边c上的高为〃，AAfiC的面积是S,顼为25,2S 2S刃I，么a=—,b=—,c=—>4 12 A^•：a-b<c<a+b,2S2S 2S2S <c<一+一,412 412BnS2S2S3h3解得;/=4或万=5,也=5♦故答案为：5.【点评】本题考查了三角形的面积，解题的关犍是掌握三角形任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边差小于第三边.（2021春•宜兴市月考）某工艺店打算制作一批两边长分别为3M2,6dm，且周长为偶数（单位：力”）的不同规格的三角形木框，若每种木框只制作一个，则制作这些木框（忽略接头）共需要30dm.【答案】30.【考点】三角形三边关系【专题】三角形；推理能力【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数.【解答】解：三角形的第三边x满足：6-3<x<3+6,即3Vx<9.•.•周长为偶数，第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7.故则制作这些木框（忽略接头）共需要2x（6+3）+5+7=30dm,故答案为：30.【点评】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.三、解答题（共8小题）（2021秋•长丰县期末）如图，在AABC和ACDE中，点8、。、C在同一直线上，己知NACB=NE,AC=CE,AB!/DE,求证：AABC=ACDE.【答案】证明过程见解答.【考点】全等三角形的判定【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；图形的全等【分析】根据平行线的性质得出N8=/TOC,根据全等三角形的判定定理AAS推出即可.【解答】证明：•」他//£）£：,;.NB=ZEDC,在AABC和ACDE中，ZACB=NE；NB=NEDC,AC=CEAABC=^CDE（AAS）.【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和平行线的性质，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有S45,ASA,A4S,SSS,两直角三角形全等还有乩等.（2021秋•武汉期末）如图：A、。、B、/四点在同一条直线上，若NA=NEDF,NC=NE,AD=BF.求证：AC=DE.EADBF【答案】见解析过程.【考点】全等三角形的判定与性质【专题】推理能力；图形的全等【分析】由“A45”可证AABC三ADFE,可得AC=DE.【解答】证明：•.•A£>=BF,：.AB=DF,在AABC和AD/话中，ZA=ZEDF<NC=NE,AB=DFAABC=ADFE(AAS),AC=DE.【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形的判定和性质是解题的关键.(2021秋•卧龙区期末)体育课上，小明和小聪突然争论起来，他们都说自己比对方身体长的高，这时善于思考的小慧走过来，笑着对他俩说：“你们不要争了，其实你们一样高,看看地上，你俩的影子一样长”(假设太阳光线是平行的).小明和小聪不太明白，小慧给他们讲了其中的道理.小慧说我们先对该问题进行数学抽象：如右图，直线a表示地面，AB,CD分别表示你俩的身高，和。N表示太阳光线，是平行的，8M和ON表示你俩身高的影长，是一样长的.然后小慧用所学的数学知识解决了该问题.下面给出了小慧解决该问题的一部分内容，请你将已知，求证补充完整，并给出证明：(1)已知：如图，于点CZ5_La于点£>, AM//CN,^.PM/ZON,；(2)求证：；(3)证明：.【答案】AM//CN(或尸M//QN),BM=DN;AB=CD:・・AB_La,CDLa.:.ZABM=NCDN=骄.•.•AM//CN,:.乙\MB=4CND・・•BM=DN、在AAW与Aaw中，NA8M=NCDN<BM=DN,/AMB=NCND.・.AABM=ACDN(ASA).AB=CD.【考点】平行投影；全等三角形的应用【专题】推理能力；应用意识；图形的全等【分析】根据垂直的定义得到ZABM=ZCD7V=9O°.根据平行线的性质得到NAM8=NCND根据全等三角形的性质即可得到结论.【解答】解：(1)已知：如图，A8_La于点B,。£>_1_。于点。，AMUCN(或PMUQN),BM=DN.(2)求证：AB=CD.(3)证明：•.•AB_La,CDLa,ZABM=NCDN=90°.-,-AM//CN,：.ZAMB=ZCNDNABM=£CDN<BM=DN，NAMB=ZCNDMBM=^CDN（ASA）.AB=CD，故答案为：AM//CN（或PM/IQN）,BM=DN;AB=CD;・.AB_La,CDta,.・.ZABM=NSV=90°.•.•AM//C7V,:.ZAMB=ZCND・；BM=DN,在MBM与tsCDN中，NABM=4CDN<BM=DN，NAMB=ZCNDMBM=^CDN（ASA）.AB=CD.【点评】本题考查了全等三角形的应用.熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.21.（2021秋•思明区校级期末）问题提出：（1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做“偏等积三角形”.如图1,AABC中，AC=7,BC=9,AB=1O,P为AC上一点，7当AP=-时，AABP与ACBP是偏等积三角形；~2~问题解决：（2）如图2,四边形MEE）是一片绿色花园，AACB、ADCE是等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°（0<NBCE<90°）,①AACZ）与ABCE是偏等积三角形吗？请说明理由；②已知8E=60m,44。。的面积为2100,“\如图3,计划修建一条经过点C的笔直的小路CF,F在BE边上,尸C的延长线经过4）中点G.若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价.2(2)①AAC£＞与ABCE是偏等积三角形，理由见解答；②42000元.【考点】三角形的面积【专题】应用意识：三角形；新定义：图形的全等；推理能力【分析】(1)当AP=CP时，则= 证&4附=见8-，再证A4BP与AC5尸不全等，即可得出结论；(2)①过A作AM_LE＞C于M,过8作BN_LC£于N,证AACM三ABCN(AAS),得AM=BN,贝ISms= ，再证AAC£＞与ABCE不全等，即可得出结论；②过点A作/W//CZ),交CG的延长线于N,证得AAGN三ADGC(AAS),得至Ij/W=8,再证AACNmACBE(S4S),得ZACN=NCBE,由余角的性质可证Cr_L8E,然后由三角形面积和偏等积三角形的定义得S.ce=JbE-C/7, =SMCD=2100.求出C/=70(/w),即可求解.7【解答】解：(1)当AP=CP='时，AABP与ACBP是偏等积三角形，理由如下：2设点8到AC的距离为人,则之胪=!"・"，SxBP’CPh・・・AP=CP、PB=PB,・•・AABP与/XCHP不全等，AABP与ACBP是偏等积三角形,故答案为：2（2）①AACD与MCE是偏等积三角形，理由如下：过A作AM_LDC于过B作BN工CE于N,如图所示,则NAMC=ZB/VC=90°,・・・AAC5、ADCE是等腰直角三角形，/.ZACB=ZDCE=90°fAC=BC,CD=CE,.\Z^C7V+ZACD=360o-ZAC^-ZZX?E=360o-90o-900=18(r,vZAOW+ZACD=180°,:.ZACM=ZBCN,在MCM和ABCN中，ZAMC=NBNC,ZACM=ZBCN,AC=BC：.MCM7^BCN(AAS)，/.AM=BN,■.-Smc/}=^CDAM,S®e=；CEBN,•C—c,"mMCD_2MCE'\*ZBCE+ZACD=180°,0°<ZBCE<90°,:aCD于/BCE,・；CD=CE,AC=BC,二MCD与\BCE不全等，/.AACD与\BCE是偏等积三角形；②如图，过点A作47V//CD,交CG的延长线于N,则Z2V=NGCD,・・・G点为4D的中点，AG=GD,在AAGV和ADGC中，ZN=NGCD,ZAGN=ZDGC,AG=DG,\AGN=\DGC{AAS),：.AN=CD,\CD=CE,:.AN=CE,\AN//CD,••.N0W+NACD=18Oo,\ZACB=ZDCE=90°./.ZACD^ZBCE=360°-90°—90。=180。，；.ZBCE=NCAN,在AAC7V和△(2£中，AN=CE,NGW=ZBC£,AC=CB,/.^ACN=SCBE(SAS)t,\ZACN=ZCBE,vZAC7V+ZBCF=180°-90o=90°,"CBE+ZBCF=9QP,.\ZBFC=90°f/.CF1BE.由①得：A4CD与MCE是偏等积三角形，,SgCE=2BE,CF,^fyjiCE=^AACD=2100f,〜A2sge£2x2100”，、..CF=Z\ = =70(/n),BE60.,.修建小路CF的总造价为：600x70=42000(元).【点评】本题是三角形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明A4CMWABCV和AACN三AC8E•是解题的关键，属于中考常考题型.22.(2021秋•南山区校级期末)NMON=90。，点A,3分别在射线。M、ON上运动(不与点O重合).(1)如图①，AE.8E分别是N54O和的平分线，随着点A、点8的运动，ZAEB=135°：(2)如图②，若5c是NABN的平分线，8c的反向延长线与N045的平分线交于点O.①若ZBAO=60。，则ND=°；②随着点A,B的运动，的大小是否会变化？如果不变，求NO的度数：如果变化，请说明理由.c(2)①45；②45。.【考点】三角形内角和定理【专题】推理能力；三角形【分析】(1)根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论;(2)①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；②由①的思路可得结论.【解答】解：(1)♦.■直线与直线PQ垂直相交于O,.\ZAOB=90P,.-.ZOAB+ZOBA=90°,-.AE,BE分别是NBA。和NA8O角的平分线，NBAE=-NOAB,ZABE=-ZABO,2 2.i.ZBAE+ZABE=-(ZOAB+ZABO)=45°,ZAEB=135°;故答案为：135；(2)①•.•ZAO5=90°,ZR4O=60°.ZABO=30°,:.ZABN=15O°,•■•3C是NABN的平分线，NOBD=々CBN=-xl50°=75°,2,.,AD平分N84O,..ZDAB=30°,ZD=180°-ZABD-ZaW-ZAOB=180°-75°-30°-30°=45°,故答案为：45；②N£)的度数不随A、8的移动而发生变化，设NS4D=a,,.•AD平分NB4O,/.ZBAO=2a,vZAOB=90°,/.ZABN=1300-ZABO=ZAOB+ZBAO=9Q-h2a,・・・BC平分ZABN,/.z64BC=45°+cr,\ZABC=18(T-ZABD=ZD+ZBAD,.\ZD=ZABC-ZBAD=45o^-a-a=45o.【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键.(2021秋•金水区校级期末)“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题.今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的.有人曾利用如图所示的图形进行探索，其中ASCD是长方形，尸是D4延长线上一点，G是C尸上一点，且NACG=NAGC,NGAF=NF.请写出NEC8和NAC8的数量关系，并说明理由.【答案】4lCB=3NECB.【考点】平行线的性质；三角形的外角性质【专题】三角形；线段、角、相交线与平行线；推理能力【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得NAGC=2NF,从而得到NACG=2",根据两直线平行，内错角相等可得NECB=4,再求出NAC8=3Nk,从而得解.【解答】解：ZACB=3ZECB.理由如下：在A4GF中，ZAGC=ZF+ZGAF=2ZF.-,ZACG=ZAGC,ZACG=2ZF..AD!IBC,:.ZECB=^F.ZACB=ZACG+NBCE=3NF.故NAC8=3NEC8.【点评】本题考查了矩形的性质，等角对等边的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解直角三角形，熟记各性质并读懂题目信息理解三等分角的方法是解题的关犍.(2021秋•崇明区期末)如图，在A4BC中，点尸为AA8C的重心，联结"'并延长交8c于点。，联结班'并延长交AC于点E.(1)求无空的值；SgBF(2)如果= AC=b,用万、万表示和衣.A【答案】（1）4（2）BE=-b-a,AF=-a+-b.2 3 3【考点】*平面向量；三角形的重心；三角形的面积【专题】应用意识；三角形；图形的相似【分析】（1）根据三角形重心的定义可知比是AA8C的中位线，根据中位线的性质得出VDE//AB,且£>E=—AB,再证明ADEFsaaBF,根据相似三角形的性质即可求出3里的2值：（2）由已知荏= = 再利用三角形法则可求出炉，再根据三角形重心的性质得2出所:=2丽，再利用三角形法则求出A尸.3【解答】解：（1）•.•点尸为A4BC的重心，联结AF并延长交5c于点。，联结班'并延长交AC于点E,.•.DE是AABC的中位线，:.DE//AB,且OE=，A8,2.SgEA_（DE2_1,‘二法—"(2)・・・AC=b9石为AC中点,・•・AE=-AC=-b92 2AB+BE=AE,AB=d,/.BE=AE-AB=—b-a,2・・•点尸为AABC的重心,TOC\o"1-5"\h\z,BF=-BE=-(-b-a)=-b--a,3 3 2 3 3—• ―» -- 1-2 1 1 一AF'=A3+BF=at—b—a=-aH—b•3 3 3 3【点评】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.25.如图所示，点。，A.E在一条直线上，点。和点E是对应顶点，ZS4C=30°.ZD=45°.(1)求NB的度数；(2)求N8MC的度数.WBC【答案】⑴30°；(2)60°.【考点】全等三角形的性质【专题】图形的全等；推理能力【分析】(1)根据全等三角形的性质得到= NE="=45。，根据三角形的内角和定理即可得到结论；(2)根据三角形的面积和定理以及对顶角的性质即可得到结论.【解答】解：(1)•.•AWC三AAEB,：.ZDAC=ZEAB,ZE=ZD=45°,：.ZDAB=ZEAC,•.ZS4C=30°,NDAB=ZEAC=75°,..ZBAE=105°,ZB=180P-ZBAE-ZE=3QP；(2)•.Z£>=45°,ZDAM=75°,ZAMD=180°—ZD—NZMM=60°，/.ZBMC=ZAMD=60°.【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键.考点卡片.平行线的性质1、平行线性质定理定理1:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等.定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补..简单说成：两直线平行，同旁内角互补.定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等.2、两条平行线之间的距离处处相等..三角形的角平分线、中线和高(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.(2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线.(3)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线.(4)三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段.(5)锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点..三角形的面积(1)三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即弘=』X底X高.2(2)三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分..三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性.这一特性主要应用在实际生活中..三角形的重心(1)三角形的重心是三角形三边中线的交点.(2)重心的性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等.③重心到三角形3个顶点距离的和最小.(等边三角形).三角形三边关系(1)三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.(3)三角形的两边差小于第三边.(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略..三角形内角和定理(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°.(2)三角形内角和定理：三角形内角和是180°.(3)三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平行线.(4)三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角;②依据三角形中角的关系,用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角..三角形的外角性质(1)三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.(2)三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°.②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.(3)若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去.(4)探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角..全等三角形的性质(1)性质1：全等三角形的对应边相等性质2：全等三角形的对应角相等说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等②全等三角形的周长相等，面积相等③平移、翻折、旋转前后的图形全等(2)关于全等三角形的性质应注意①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边.②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角..全等三角形的判定(1)判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等.(2)判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.(3)判定定理3：4SA--两角及其