2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2022年1月含解析及考点卡片）

2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2022年1月）一.选择题（共io小题）（2021秋•舞钢市期末）如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点。处安装水平遮阳板。C,使光线不能直接射入室内，则遮阳板3c的长度至少是（ ）D,_如/•/pA.——2——米 B.2sin800米tan800C.—_米 D.2.2cos800米tan80°（2021秋•碑林区校级月考）如图，在小正方形网格中，AABC的三个顶点均在格点上，3.（2021秋•长宁区期末）已知在△4BC中，ZC=90",NA=a,AB=c,那么BC的长为（ ）A.c,sina B.c,tana C.--- D.c,cotacosa（2020秋•铜仁市期末）某山坡坡面的坡度i=l：虫，小刚沿此山坡向上前进了100米,小刚上升了（

A.2,米 B.50米 C.5m米D.1。0^米3（2021秋•农安县期末）如图，某停车场入口的栏杆48,从水平位置绕点0旋转到43的位置，已知AO的长为5米.若栏杆的旋转角NAO4=a,则栏杆A端升高的高度为（）A.--—米 B.——米 C.5sina米 D.5cosa米sinCL cosd（2021秋•朝阳区期末）如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在4岛周围20海里水域有暗礁.若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到08的距离4c.下列算法正确的是（ ）北”二1A.AC=52cos640B.AC=二1A.AC=52cos640B.AC=——cos640D.AC=52tan64°C.AC=52sin64°（2021秋•汝阳县期末）如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AO的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则B点到河岸AD的距离为（D.5。T米（2021•滨江区校级三模）如图，点A为NB边上任意一点，作ACLBC于点C,CD1AB于点。，下列用线段比表示tanB的值，错误的是（ ）

TOC\o"1-5"\h\zA.岖 B.世 C.£ D.型\o"CurrentDocument"AC CD BC BD（2021•钦州模拟）如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达B处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔SC.（15近-15衣）海里 D.15近海里（2021秋•武昌区校级期末）如图，ZVIBC中，NC=90°,BC=5,。为BC边上一点,CD=LAC>BC,E为边AC上一动点，当NBEC最大时CE的长为（ ）A.2 B.3 C.V5 D.273-1填空题（共5小题）（2021秋•普宁市期末）计算：tan30°・sin60°-cos245°=.（2021秋•朝阳区期末）计算：Lin60°=2如图，小明沿着坡度i=l：2.4的坡面由8到A直行走了13米时，他上升的高度AC=米.（2021秋•南岗区校级期末）如图，△ABC中，NACB=90°,4C=BC,点、D、点E分

另lj在AB、4c上，连接CO、ED,ED=CD,tanZADE=A,BD=®,则4B=（2021秋•南岗区校级期末）在AABC中，tan/B=工，元，4C=>/吊则线段3BC的长为三.解答题（共10小题）（2021秋•韩城市期末）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=\2,BC=5.求sinA,cosA和tanA.（2021秋•海淀区校级期末）如图，小明想知道湖中两个小亭4、B之间的距离，他在与小亭A、8位于同一水平面且东西走向的湖边小道/上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60°,亭8在点M的北偏东30°,当小明由点M沿小道/向东走60米时,到达点N处，此时测得亭A恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点Q处,此时亭B恰好位于点Q的正北方向.根据以上数据，请你帮助小明在图中画出求湖中两个小亭A、8之间距离的示意图，标出相关条件和求解过程中相关线段的长度，并直接写出两个小亭A、8之间距离.（2021秋•农安县期末）如图，小明为了测量学校旗杆CO的高度，在地面离旗杆底部C处22米的4处放置高度为1.8米的测角仪AB,测得旗杆顶端。的仰角为32°.求旗杆的高度CD（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62]Il~XX/B产鱼A C（2021秋•长宁区期末）如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连.已知直线AB与直线BC的夹角是76°,在地面点。处测得点A的仰角是53°,点B仰角是45°,点A与点。之间的距离为3.5米.求：（1）点A到地面的距离；48的长度.（精确到0.1米）（参考数据：sin53°-0.8,cos53°—0.6,sin76°—0.97,cos760—0.24）（2021秋•海淀区校级期末）如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为50米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°,底端8的俯角为10°,请你根据以上数据，求出楼AB的高度.（精确到0.1米）（参考数据：sin10°七0.17,coslO0^0.98,tan10°七0.18,&=1.41,料=1.73）（2021秋•沈河区期末）如图是我们日常生活中经常使用的订书器，A8是订书机的托板,压柄BC绕着点8旋转，连接杆OE的一端点。固定，点E从A向B处滑动.在滑动过程中，OE的长保持不变.已知8£>=4j5cvn.（1）如图1,当NA8C=45°,BE=\2cm^\,求连接杆的长度；（结果保留根号）（2）现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座A8垂直，如图2所示，请直接写出此过程中，点E滑动的距离.（结果保根号）（2021秋•绿园区期末）“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑.某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料，得到了以下信息：信息一：在。处用高1.2米的测角仪CD,测得最高点4仰角为32.6°.信息二：在。’处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°.信息三：测得=20米，点。、O'、8在同一条直线上.信息四：参考数据：sin32.6°=0.54,cos32.6°=0.84,tan32.6°=0.64.请根据以上信息，回答下列问题：（1）在RtZ\ACE中，处=（填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°）,CE.•.处= （填0.54、0.84或0.64）.CE设AE=x米，则CE=（用含x的代数式表示）米，CE=（用含x的代数式表示）米.（2）在（1）的条件下，结合题中信息求出x的值.（3）“太阳鸟”的高度AB约为（精确到0.1）米.

D D'D D' B（2021秋•皇姑区期末）如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，AB是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角NMA8的范围是：30° ,伸展臂伸展角NABC的范围是：45°WN4BCW105°.（1）如图③，当NMA8=45°,伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）：（2）若（1）中BC长度不变,求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石.（结果保留根号）33图① 图② 图③（2021秋•海淀区校级期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处.（1）问B处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点。处.圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险.①请判断海轮到达8处是否有触礁的危险？并说明理由.②如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明

理由.（参考数据：72^1.414,73^1.732）北IBA（2021秋•宽城区期末）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，河旁有一座小山，山高BC=S0m,点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶8处测得河岸E和对岸尸的俯角分别为NO8E=45°,ZDBF=31°.若在此处建桥，求河宽EF的长.（结果精确到1/n）[参考数据：sin31"弋0.52,cos31°七0.86,tan31°-0.60]C2022年中考数学复习新题速递之锐角三角函数（2022年1月）参考答案与试题解析选择题（共10小题）（2021秋•舞钢市期末）如图，太阳光线与地面成80°角，窗子AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点。处安装水平遮阳板OC,使光线不能直接射入室内，则遮阳板。C的长度至少是（ ）_如R2A. 米 B.2sin80°米tan800C.——米 D.2.2cos80°米tan800【考点】解直角三角形的应用.【分析】由已知条件易求DB的长，在光线、遮阳板和窗户构成的直角三角形中，80°角的正切值=窗户高：遮阳板的宽，据此即可解答.【解答】解：•.•D4=0.2米，A8=2米，：.DB=DA+AB=2.2米，•光线与地面成80°角，...NBCO=80°.又迈，DC•nr-DB-2.2tanZBCDtan800故选：C.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择三角函数关系是解题关键.（2021秋•碑林区校级月考）如图，在小正方形网格中，△48C的三个顶点均在格点上,则cosA的值为（【考点】解直角三角形.【专题】解直角三角形及其应用：应用意识.【分析】观察题目易知AABC为直角三角形，其中AC=3,BC=4,根据勾股定理得AB=5,根据正弦的定义即可求解.【解答】解：由题知△ABC为直角三角形，其中AC=3,BC=4,：.AB=5,：.cosA=^-=^.AB5故选：A.【点评】本题考查解直角三角形知识，熟练掌握锐角三角函数的定义并能在解直角三角形中的灵活应用是解题的关键.（2021秋•长宁区期末）已知在△A8C中，ZC=90°,NA=a,AB=c,那么8C的长为（ ）A.c,sina B.c,tana C.--- D.c,cotacosa【考点】解直角三角形.【专题】函数及其图象；运算能力.【分析】根据锐角三角函数的正弦值计算即可.【解答】解：在RtZVIBC中，sinA=gC,AB:.BC=c*sina故选：A.【点评】本题考查了解直角三角形，熟练掌握并区分锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键.（2020秋•铜仁市期末）某山坡坡面的坡度i=l：、后，小刚沿此山坡向上前进了100米,小刚上升了（ ）A.2&\巧米B.50米 C.米D.10喳米3【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】设小刚上升了X米，根据坡度的概念用X表示出小刚行走的水平距离，根据勾股定理计算，得到答案.【解答】解：设小刚上升了X米，•.•山坡坡面的坡度i=l：5/3.•••小刚行走的水平距离为丘米，则/+2=10（）2,解得：xi=50.X2=-50（舍去），则小刚上升了50米，故选：B.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题，掌握坡度的概念：坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度/的比是解题的关键.（2021秋•农安县期末）如图，某停车场入口的栏杆AB,从水平位置绕点O旋转到4b的位置，已知A。的长为5米.若栏杆的旋转角NAO4=a,则栏杆A端升高的高度为A.―一米B.——米 C.5sina米 D.5cosa米sinCl cosQ【考点】解直角三角形的应用.【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】作AHL4O于”，根据三角函数求出的长度即可.【解答】解：作AHL4。于〃，AiA：aXOB…口 「5，"：0A'=5m,ZAOA,=a,...A77=OA・sina=5sina（米），故选：C.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的应用是解题的关键.（2021秋•朝阳区期末）如图，一艘轮船由西向东航行到。处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在4岛周围20海里水域有暗礁.若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算A到08的距离AC.下列算法正确的是（ ）北八A 1/ » •~~AO C B东A.AC=52cos64° B.AC= 星 cos640C.AC=52sin64° D.AC=52tan64°【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识.【分析】先求出NCAO的度数，再由锐角三角函数定义求出AC的长即可.【解答】解：由题意可得：NC4O=64°,：.cosZCAO=^~,OA即cos64°=2^,52/.AC=52cos64°.故选：A.【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键.（2021秋•汝阳县期末）如图，点A到点C的距离为100米，要测量河对岸B点到河岸AO的距离.小明在A点测得B在北偏东60°的方向上，在C点测得B在北偏东30°的方向上，则8点到河岸A。的距离为（ ）

BA CDBA.100米 B.50米 C.22芋1米 D.50y米【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识.【分析】过8作于先证NBAO=N4BC,得8c=AC=100米，再在RtABCM中，由锐角三角函数定义求出BM即可.【解答】解；过8作8M_LAO于例，如图：由题意得：ZBAD=9Q°-60°=30°,NBCD=90°-30°=60°,:.ZABC=BCD-/B4O=30°,：.ZBAD-=ZABC,：.BC=AC=\00米,BM1AD,...NBMC=90°,在RtZ\BCM中，sinNBCM=型,BCABM=BCXsinZBCM=100X2^=5073（米），即B点到河岸AD的距离为50«米，故选：D.VD故选：D.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用以及等腰三角形的判定等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.（2021•滨江区校级三模）如图，点A为NB边上任意一点，作ACLBC于点C,CDA.AB于点。，下列用线段比表示tan8的值，错误的是（A.岖 B.世 C.辿 D.型AC CD BC BD【考点】解直角三角形.【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.【分析】证明NB=NACO,推出tanB=tanNACO,可得由此即BDBCCD可判断.【解答】解：于点C,COL48于点O,；.NACB=NCDB=90°,/.ZB+ZfiCD=90°,ZBCD+ZACD=90°,AZB=ZACD,tanB=tanZACD,tanB=—,BDBCCD故选：A.【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是证明/B=NACD(2021•钦州模拟)如图，一艘测量船在A处测得灯塔S在它的南偏东60°方向，测量船继续向正东航行30海里后到达8处，这时测得灯塔S在它的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A的距离是( )A BSA.15y海里 B.(15/§-15)海里C.(I5J5-15&)海里 D.15点海里【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识.【分析】过S作SCAB于C,在A8上截取CO=AC,根据线段垂直平分线的性质得到AS=DS,由等腰三角形的性质得到/CDS=NC4S=3O°,求得SO=BO,设CS=x海里，解直角三角形即可得到答案.【解答】解：过S作SC_LA8于C,在A8上截取CO=AC,：.AS=DS,：.ZCDS=ZCAS=30°,VZABS=15°,:・NDSB=15°,:,SD=BD,设CS=x海里，在RtZ^ASC中，ZCAS=30°,.'.AC=V3x（海里），AS=DS=BD=2x（海里），•・・A8=30海里，/.yf2x+y/2x-^2x=30,解得：X=1渣二15,2：.AS=（15次-15）（海里），【点评】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题、等腰三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.（2021秋•武昌区校级期末）如图，△A8C中，ZC=90°,BC=5,D为BC边上一点、,CD=1,AC>BC,E为边AC上一动前,当NBEZ）最大时CE的长为（ ）A.2 B.3 C.yf5 D.25/3-1【考点】解一元二次方程-公式法；二次函数的性质；勾股定理；解直角三角形.【专题】压轴题；二次函数图象及其性质；解直角三角形及其应用；推理能力.

【分析】过点。作于点凡根据二次函数的性质，解宜角三角形即可解决问题.【解答】解：如图，过点。作DFLBE于点F,设CE=x,£)£^Vce2-k:d2=Vx2+i,BE=^C252+x2=^lX2+25',.,SaBDE”xBD-CE^I.xBE-DF,2 2：.BDtCE^BE-DF,：.£>f1=BD：.£>f1=BD・CE=

BE在RtZXEDF中，Vx>0,..；「/nw-DFfx —4小DEVx2+25'7x2+1Vx4+26x2+25.•.当（x-立）2=0时，（x-互）2+36有最小值，从而sinNOEF有最大值，即/OEF有X X最大值，解得，x=±&,其中x=-逐不符合题意舍去，/.当ZBED最大时CE的长为故选：c.【点评】本题属于综合题，是选择题的压轴题，考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，一元二次方程，勾股定理，解决本题的关键是掌握二次函数最值的问题.填空题（共5小题）（2021秋•普宁市期末）计算：tan30°・sin60°-cos245°=0.【考点】特殊角的三角函数值.【专题】实数；运算能力.【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案.【解答】解：原式=返乂返-（返）23 2 2=±-1~2~2=0.故答案为：0.【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键.（2021秋•朝阳区期末）计算：iin60°=返.2 —4—【考点】特殊角的三角函数值.【专题】解直角三角形及其应用：运算能力.【分析】根据60°的正弦值等于返计算即可.2【解答】解：Asin6002 2 2 4故答案为：圆4【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记60°的正弦值是亚■是解题的关键.2如图，小明沿着坡度i=l：2.4的坡面由8到A直行走了13米时，他上升的高度AC=5_米.【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】由坡度易得4c与的比为1：2.4,设出相应未知数，利用勾股定理可得AC的长度.【解答】解：•.•坡度i=l：2.4,与BC的比为1：2.4,设AC=x米，则BC=2.4x米，由勾股定理，得/+（2.4x）2=印.解得x=5.故答案为：5.【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理：理解坡度的意义是解决本题的关键.（2021秋•南岗区校级期末）如图，ZVIBC中，NACB=90°,AC=BC,点。、点E分别在AB、AC上，连接C。、ED,ED=CD,tanZAD£=A,BD=&,则4B=3y.【考点】等腰直角三角形；解直角三角形.【专题】解直角三角形及其应用：推理能力.【分析】如图，过点。作OQ1MC于点Q,DPLBC于点P,过点作于点7.证明△4E7,4DPB,△4QQ都是等腰直角三角形，利用参数构建方程求解即可.【解答】解：如图，过点。作OQLAC于点Q,OPLBC于点P,过点作。于点'：CA=CB,ZACB=90°,•\ZA=ZB=45",：.AT=ET,DP=PB,BD=&,:・PB=DP=\,*.*tanZ.ADE=^-=—,DT3，可以假设DT=3k,:・AD=4k,:・AE=®,AQ=OQ=2&h:・EQ=AQ-AE=&k,♦：DE=DC,DQLEC,：.EQ=CQ=PD=\,・,・亚=1,.•/=返，2:.AD=4k=26：.AB=AD+DB=3yf2>【点评】本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.(2021秋•南岗区校级期末)在△ABC中，tan/B=」，AB=yflQ,AC=S，则线段38c的长为 3-Vfi.【考点】解直角三角形.【专题】解直角三角形及其应用；几何直观；运算能力：推理能力.【分析】此题分两种情况：如图1,过A作AZ5_LBC于£),在RtZ\A8£)中，由已知条件tanZB=A,设AO=x,BD=3x,根据勾股定理求出x的值，从而得出A£)=l,BD=3,3在RtZVIQC中，根据勾股定理得出CO=灰，于是得到结果；如图2,过A作4O_LBC交BC的延长线于O,同理可得结果.【解答】解：如图1,过A作于O,在RtZ\A8£)中，VtanZB=A,3.•.设AD=x,BD=3x,,：AD1+BD2=AB2,：.(x)2+(3x)2=(V10)2,•*»x=1,在RtZkAOC中，8=加2-AD2=夜7=爪BC=BD+CD=3+瓜如图2,过4作AO_L8C交BC的延长线于。，在RtZXABO中，VtanZB=A,3，设AO=jgBD=3x,t：AD1+BD2=AB2f(X)2+(3x)2=(yflQ')2,•»X^1,：.AD=\fBD=3,在RtAADC中，CD=Ja,2—AD2=77-]=:.BC=BD-CD=3-a;故答案为：3+J^或3-【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.三.解答题（共10小题）（2021秋•韩城市期末）如图，在Rt/XABC中，ZC=90°,AC=i2,BC=5.求sinA,cosA和tanA.B【考点】锐角三角函数的定义.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力；模型思想.【分析】根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可.【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90°,AC=12,BC=5.•>•^b=>/aC2+BC2=V122+52=⑶sinA=J^-=-5-,AB13【点评】本题考查锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的关键.（2021秋•海淀区校级期末）如图，小明想知道湖中两个小亭A、B之间的距离，他在与小亭A、B位于同一水平面且东西走向的湖边小道/上某一观测点M处，测得亭A在点M的北偏东60°,亭8在点M的北偏东30°,当小明由点M沿小道/向东走60米时，到达点N处，此时测得亭4恰好位于点N的正北方向，继续向东走30米时到达点。处,此时亭B恰好位于点Q的正北方向.根据以上数据，请你帮助小明在图中画出求湖中两个小亭A、B之间距离的示意图，标出相关条件和求解过程中相关线段的长度，并直接写出两个小亭A、8之间距离.【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【专题】解直角三角形及其应用；运算能力.【分析】根据题意可得△BMQ都是直角三角形，先求出AMBQ,要求AB,一般需要把A8放在直角三角形中，所以想到过点A作然后放在直角三角形中，利用勾股定理求出AB即可.【解答】解：如图：过点A作垂足为4,由题意得△AMN,△8WQ都是直角三角形，N4MN=30°,ZBMQ=60a,则AH=NQ=30米，AN=HQ,：.MQ=MN+NQ=3>0+6Q=90米，在RtZ\AMN中，AN=MMan30°=60X返=20雨米，3.*.AN="Q=2（）V^米，在RtZ\BMQ中，8Q=MQan60°=90*遂=90，§米，：.BH=BQ-〃Q=70我米，在Rt/^AHB中，AB=yj+^2=>j302+（70y/3）2=207^米•【点评】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，常需要添加辅助线构造直角三角形，放在直角三角形中去解决.（2021秋•农安县期末）如图，小明为了测量学校旗杆CO的高度，在地面离旗杆底部C处22米的4处放置高度为1.8米的测角仪AB,测得旗杆顶端。的仰角为32°.求旗杆的高度CD.（结果精确到0.1米）【参考数据：sin32°=0.53,cos32°=0.85,tan32°=0.62]

a_✓XXA C【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】根据正切的定义求出OE,结合图形计算，得到答案.【解答】解：由题意得：CE=AB=1.8米，BE=AC=22米，在 中，ZDBE=32°,则DE=BE-tanZDB£5«22X0.62=13.64（米），CD=DE+EC=13.64+1.8S«15.4（米），答：旗杆的高度CO约为15.4米.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.（2021秋•长宁区期末）如图，某种路灯灯柱8c垂直于地面，与灯杆AB相连.已知直线48与直线BC的夹角是76°,在地面点。处测得点A的仰角是53°,点B仰角是45°,点A与点。之间的距离为3.5米.求：（1）点A到地面的距离：A8的长度.（精确到0.1米）（参考数据：sin53°20.8,cos53°七0.6,sin76°-0.97,cos76°^0.24）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用：运算能力.【分析】（1）要求点A到地面的距离，所以过点A作A尸，CC,垂足为F,然后放在直角三角形AFD中即可解答；(2)要求48的长度，需要把AB放在直角三角形中，所以过点4作AGLEC,垂足为G,在RtZVlF。中，求出。尸的长，然后设CF为x,用x表示AG,BG的长，再用76°的正切值求出X,最后求出AB即可.【解答】解：(1)过点A作AF1.CD,垂足为凡在RtZXAFC中，AF=ADsin53°=3.5X0.8=2.8米，答：点A到地面的距离为2.8米；(2)过点A作AG_LEC,垂足为G,则AF=GC,AG=CF,在RtZkAF£)中，DF=ADcos53°=3.5X0.6=2.1米，设CF为x米，则CC为(2.1+x)米，在Rt^BCC中，fiC=CDtan45°=(2.1+x)米，：.GB=GC-BC=2.S-(2.1+x)=(0.7-x)米，在RtZ\AGB中，tan76°=sin76。=0..9二旦,cos76°0.2424.*.tan76o=旭，BG・X97•'0.7-xR'解得：KO.56,，C/=AG=0.56米，：.AB=—蛆—=2^51~0.6米.sin76°0.97【点评】本题考查了解直角三角形得应用一仰角俯角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键.(2021秋•海淀区校级期末)如图所示，某小组同学为了测量对面楼AB的高度，分工合作，有的组员测得两楼间距离为50米，有的组员在教室窗户处测得楼顶端A的仰角为30°,底端8的俯角为10°,请你根据以上数据，求出楼AB的高度.（精确到0.1米）（参考数据：sin10°^0.17,cos10°g0.98,tanlO°七0.18,加=1.41,遥=1.73）C B【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】根据正切的定义分别求出AE、BE,计算即可.【解答】解：在RtZXAEZ）中，£>E=50米，ZADE=30°,则AE=OE・tan/AOE=50义返-28.83（米），3在 中，OE=50米，NBDE=10°,则8E=OE・tan/B£>£Q50X0.18=9（米），.•.A8=AE+BE=37.83弋37.8（米），答:楼4B的高度约为37.8米.【点评】本题考查的是解直角三角形的应用一仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.（2021秋•沈河区期末）如图是我们日常生活中经常使用的订书器，A8是订书机的托板,压柄BC绕着点B旋转，连接杆OE的一端点。固定，点E从A向8处滑动.在滑动过程中，£>£的长保持不变.已知8£>=4&c%（1）如图1,当NABC=45°,8E=12cw时，求连接杆DE的长度；（结果保留根号）（2）现将压柄BC从图1的位置旋转到与底座AB垂直，如图2所示，请直接写出此过程中，点E滑动的距离.（结果保根号）【考点】解直角三角形的应用.【专题】解直角三角形及其应用：应用意识.【分析】（1）作于，，利用三角函数求出O”，再利用勾股定理求出OE即可;（2）利用勾股定理求出8E,再用初始位置的BE值减去求得的BE值即可.【解答】解：（1）作。于H,,:BE=l2cm,：.EH=BE-BH=12-4=8（an）,D£=VeH2+DH2=V82+42=4a^（加，，连接杆DE的长度为4心m；（2）由（1）知3O=45/^c/n,DE=4y[^cm,...此时的m=®2不=几可不亦=4F（cm）,故点E滑动的距离为（12-473）cm.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解题的关键.（2021秋•绿园区期末）“太阳鸟”是我市文化广场的标志性雕塑.某“数学综合与实践”小组为了测量“太阳鸟”的高度，利用双休日通过实地测量（如示意图）和查阅资料,得到了以下信息：信息一：在。处用高1.2米的测角仪CQ,测得最高点A仰角为32.6°.信息二：在£>'处用同一测角仪测得最高点A的仰角为45°.信息三：测得。£>'=20米，点、D、D'、B在同一条直线上.信息四：参考数据：sin32.6°=0.54,cos32.6°=0.84,tan32.6°=0.64.请根据以上信息，回答下列问题：（1）在RtZ\ACE中，tan32.6°（填sin32.6°、cos32.6°或tan32.6°）.CE：.^-=0.64（填0.54、0.84或0.64）.CE设AE=x米，则CE= （用含x的代数式表示）米，C'E=x（用含x的代数式表示）~0.64-米.（2）在（1）的条件下，结合题中信息求出x的值.“太阳鸟”的高度AB约为36.8 （精确到0.1）米.【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识.【分析】（1）在Rt^ACE中，利用直角三角形的边角间关系可得结论；（2）用含x的代数式表示出CE、CE,再利用线段的和差关系得方程，求解即可;（3）利用线段的和差求出AB.【解答】解：（1）在RtZkACE中，VtanZAC£=-^,CE，tan32.6°=坐=0.64.CE设AE=x米，：.CE=AE=x0.640.64VZAC'E=45°,AELCE,：.CE=AE=x.故答案为：tan32.6°,0.64,-L,x.0.64'：CE-CE=CC,CC'=DD',-x=2O.0.64解得x=%.9的值为四米.9；CD=BE,：.AB=AE+BE=320+1.29-35.56+1.2=36.76Q36.8（米）.故答案为:36.8.【点评】本题考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键.（2021秋•皇姑区期末）如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图（MN是基座，A8是主臂，BC是伸展臂），若主臂AB长为4米，主臂伸展角NMAB的范围是：30° ,伸展臂伸展角N48C的范围是：45°WN4BCW105。.（1）如图③，当NMAB=45°,伸展臂8C恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长（结果保留根号）；（2）若（1）中8c长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石.（结果保留根号）

图①图②图③图①图②图③【考点】解直角三角形的应用.【专题】解直角三角形及其应用；推理能力.【分析】（1）根据题意画出图形，可得△A8C是等腰直角三角形，即可得出BC的长；（2）根据主臂伸展角NMAB和伸展臂伸展角NA8C的范围求出伸展到最远时4C的长度即可得出结果.【解答】解：（1）如图：由题意得：NM4B=45°,ZC=90°,AB=4m,，8C=AB・sin45°=4X返=2加（加，2答：伸展臂BC的长为2&m；（2）如图:由题意得，NM4B=30°,ZABC=105°时，伸展臂伸展的最远，过点B作BDLMN交MW的延长线于在RtZ\ABO中，NMAB=30°,AB=4m,.,.AO=4B・cos30°.,.AO=4B・cos30°（加），ZMAB=30°,BD上MN,：.ZABD=60°,VZABC=105°,：.ZCBD=45°,在RtZXCBO中，ZCBD=30°,BC=2五n,ACD=BC*cos45°=2&X返=2（M,2：.AC^CD+AD=（2+2V3）（cm）.该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方（2+273）米的土石.【点评】本题考查了解直角三角形的应用、含30°角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确解直角三角形是解题的关键.（2021秋•海淀区校级期末）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处.（1）问8处距离灯塔P有多远？（结果精确到0.1海里）（2）假设有一圆形暗礁区域，它的圆心位于射线PB上，距离灯塔150海里的点。处.圆形暗礁区域的半径为60海里，进入这个区域，就有触礁的危险.①请判断海轮到达B处是否有触礁的危险？并说明理由.②如果海伦从B处继续向正北方向航行，是否有触礁的危险？直接写出结论，不用说明理由.（参考数据：&七1.414,丁3N1.732）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题.【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用：运算能力；推理能力：应用意识.【分析】（I）过户作尸。_L4B于点力，求出N4=30°.得P0=50（海里），再证△PB。是等腰直角三角形，则PB=®PDF0.7（海里）即可；（2）①求出08的长，即可得出结论；②过点。作与E,求出0E的长，即可得出结论.【解答】解：（1）过点P作PCA8于点D依题意可知，以=100海里，ZAPD=90°-30°=60°,NBPD=45°AZA=90°-60°=30°.：.PD=^R\=50（海里），2在RtZ\PB£>中，NBPD=45°,.••△P8O是等腰直角三角形，：.PB=y/2PD=50y/2（海里）270.7（海里）.答：B处距离灯塔P约70.7海里.（2）①海轮到达8处没有触礁的危险，理由如下：依题意知：OP=150海里，P8=50近海里，：.OB=OP-PB=（150-5072）海里-79.3海里>60海里，.•.海轮到达B处没有触礁的危险.②过点O作与E,交A8延长线于点E,则/OEB=90°,,：ZOBE=ZPBD=45°,AOE=OBsmZOBE^(150-50扬X返=75料-50、56。7<60,2有触礁的危险.有触礁的危险.【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.（2021秋•宽城区期末）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥.如图，河旁有一座小山，山高BC=80/n,点C、A与河岸E、F在同一水平线上，从山顶8处测得河岸E和对岸尸的俯角分别为NO8E=45°,NDBF=31".若在此处建桥，求河宽EF的长.（结果精确到[参考数据:sin31°=0.52,cos31°=0.86,tan31°~0.60]BD【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识.【分析】根据等腰三角形的性质可得CE=BC=S0m.在RtABCF中，由三角函数的定义求出CF的长，根据线段的和差即可求出EF的长度.【解答】解：在RtZXBCE中，BC=80〃i,NBEC=NDBE=45",；.NCBE=45°,:.NBEC=NCBE=45°,：.CE=BC=S0m.在RtZ\8CF中，BC=80w,NBFC=NDBF=31°,tan/BFC=此，CF•8060-vrA133.3.：.EF=CF-CE=133.3-80=53.3^53（m）.答：河宽E”的长约为53%【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键.考点卡片.解一元二次方程-公式法(1)把*=b±Jb4ac(人2_4a?0)叫做一•元二次方程/+力x+c=O(aWO)的求根2a公式.(2)用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.(3)用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a,b,c的值(注意符号)；②求出户-4比的值(若廿-4砒<0,方程无实数根)；③在/-4ac20的前提下，把人氏c的值代入公式进行计算求出方程的根.注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①。大0:②启-4acNO..二次函数的性质二次函数丁=/+&1+0(a#0)的顶点坐标是4ac-b),对称轴直线^=-±2a4a 2a二次函数y=a?+fer+c(〃W0)的图象具有如下性质：①当〃>0时，抛物线丁=/+法+。(〃W0)的开口向上，xV一2时，y随x的增大而减小；2ax>-也时，y随X的增大而增大；x=--L时，y取得最小值4atp 即顶点是抛物线2a 2a 4a的最低点.②当aVO时，抛物线丫=/+公+。(〃#0)的开口向下，xV-时，y随x的增大而增大;2a2X>-且时，y随X的增大而减小；x=-且时，y取得最大值%0_,即顶点是抛物线2a 2a 4a的最高点.③抛物线产=0?+公+。(aWO)的图象可由抛物线丫=/的图象向右或向左平移|一且|个单2a位，再向上或向下平移居空心个单位得到的.4a.勾股定理(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么/+b2=c2.

(2)勾股定理应用的前提条件是在宜角三角形中.(3)勾股定理公式。