新课标高中数学人教A版必修1函数的应用优秀教案

备课资料［备选例题］【例题】求以下函数的零点，并画出函数的图象.(1)y=-x2-x+2;(2)y=(x2-2)(x2-3x+2).活动：教师点拨提示:求函数的零点可转化为求相应方程的根.解：(1)如图3-1-1-23,令y=0,即-x2-x+2=0,解得x1=-2,x2=1.所以所求函数的零点为-2、1.(2)如图3-1-1-24,令y=0,即(x2-2)(x2-3x+2)=0,解得x1=2,x2=-2,x3=1,x4=2.所以所求函数的零点为2,-2,1,2.图3-1-1-23图3-1-1-24(设计者：方诚心)第三章函数的应用本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模〞也是高考考查的重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想〞“数形结合思想〞“转化思想〞,从而提高自己的数学能力.因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律.本章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：3.1函数与方程约3课时3.2函数模型及其应用约4课时实习作业约1课时本章复习约1课时3.1函数与方程方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节表达的数学思想是：“数形结合〞思想和“转化〞思想.本节充分表达了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方程的根〞与“函数的零点〞的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般〞的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言〞的严谨性，“数学思想方法〞的科学性,体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念.课时安排2课时教学过程第1课时方程的根与函数的零点导入新课思路1.(情景导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程(领先那么喜，落后即悲).请问：整场足球比赛出现几次“比分相同〞的时段?学生思考或讨论答复：三次:(1)开场;(2)由领先到落后必经过“比分相同〞时段;(3)由落后到领先必经过“平分〞时段.教师点拨：足球比赛有“落后〞“领先〞“比分相同〞,函数值有“负〞“正〞“零〞,函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？炮弹回到地面即高度h=0，求方程20t-5t2=0的根,得t=4秒.如图3-1-1-1.图3-1-1-1思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再答复，经教师提示、点拨，对答复正确的学生及时表扬，对答复不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题①:先求方程的两个根，找出抛物线的顶点,画出二次函数的图象(图3-1-1-2).问题②:方程有一个根，说明抛物线的顶点在x轴上(图3-1-1-3).问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的关键(图3-1-1-4).问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？问题⑥:函数的零点是一个实数.问题⑦:可以利用“转化思想〞.问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分〞？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴那么有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3.②方程的实数根为1.③方程没有实数根.④方程的根就是函数的图象与x轴交点的横坐标.⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x1、x2，相应的二次函数的图象与x轴有两个交点(x1,0)、(x2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x1=x2，相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点(x1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x轴没有交点.⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.⑦方程f(x)=0有实根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点.⑧观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x2-2x-3在区间［-2,1］上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x2-2x-3=0的另一个根.图3-1-1-2图3-1-1-3图3-1-1-4应用例如思路1例1函数f(x)=|x2-2x-3|-a分别满足以下条件，求实数a的取值范围.(1)函数有两个零点;(2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再答复，教师点拨、提示并及时评价学生.因为函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x2-2x-3|=a的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x2-2x-3|与函数f(x)=a交点个数问题.解：设f(x)=|x2-2x-3|和f(x)=a分别作出这两个函数的图象(图3-1-1-5)，它们交点的个数，即函数f(x)=|x2-2x-3|-a的零点个数.图3-1-1-5(1)假设函数有两个零点，那么a=0或a>4.(2)假设函数有三个零点，那么a=4.(3)函数有四个零点,那么0<a<4.变式训练1.判断函数y=|x-1|-2零点的个数.解：通过分类讨论把绝对值函数转化为分段函数,作出函数图象(图3-1-1-6)，图3-1-1-6函数y=|x-1|-2的图象与x轴有两个交点，所以函数y=|x-1|-2有两个零点.2.求证：函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法一:因为一元二次方程2x2-3x-2=0的判别式Δ=32+4×2×2=25>0,所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法二:因为一元二次方程2x2-3x-2=0可化为(2x+1)(x-2)=0,所以一元二次方程2x2-3x-2=0有两个不相等的实根x1=2,x2=.所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x轴的下方,即f(0)=-2<0,所以函数f(x)=2x2-3x-2有两个零点.如图3-1-1-6.图3-1-1-7点评：判断函数零点个数可以结合函数的图象.方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2假设关于x的方程3x2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a的取值范围.活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析.解：设f(x)=3x2-5x+a,那么f(x)为开口向上的抛物线,如图3-1-1-8：图3-1-1-8因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，所以即故所求a的取值范围是-12<a<0.变式训练关于x的方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a的取值范围.解：设f(x)=x2-ax+a2-7,图象为开口向上的抛物线(如图3-1-1-9).因为方程x2-ax+a2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,所以函数f(x)=x2-ax+a2-7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)=x2-ax+a2-7的图象与x轴的两个交点在点(2，0)的两侧.只需f(2)<0,即4-2a+a2-7<0,所以-1<a<3.图3-1-1-9思路2例1假设方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a的取值范围.活动：学生先思考或讨论，再答复.教师根据实际，可以提示引导：①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.②用一般解法固然可以，假设结合函数图象观察分析，可以找到捷径.③有两种情况：a.a=0;b.a≠0,Δ≥0.解：令f(x)=2ax2-x-1，(1)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)<0或a≠0且Δ=0,由f(0)·f(1)<0,得(-1)(2a-2)<0,所以a>1.由Δ=0,得1+8a=0,a=∴方程为x2-x-1=0,即x=-2(0,1)(舍去).综上可得a>1.(2)当方程2ax2-x-1=0在(0，1)内有两个解时，那么或容易解得实数a不存在.综合(1)(2),知a>1.变式训练假设方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a的取值范围.解：(1)当a=0时，x=0满足题意.(2)当a≠0时，设f(x)=ax2+3x+4a.方法一:假设方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，那么∴∴0<a≤.综上(1)(2),得0≤a≤.方法二:假设方程ax2+3x+4a=0的根都小于1，那么∴解得0<a≤.综上(1)(2),得0≤a≤.点评：有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组.(2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例2设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根为x1、x2,满足0<x1<x2<.(1)当x∈(0,x1)时，求证：x<f(x)<x1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，求证：x0<.活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再答复，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f(x)-x=0的两个根为x1、x2，可考虑把f(x)-x设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:(1)∵x1、x2是方程f(x)-x=0的两个根，且0<x1<x2<，∴当x∈(0,x1)时,有f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)=a(x1-x)(x2-x)>0,即f(x)-x>0.又∵f(x)-x=a(x1-x)(x2-x)<a·(x1-x)=x1-x,即f(x)-x<x1-x,故0<f(x)-x<x1-x,即x<f(x)<x1.(2)∵f(x)-x=ax2+(b-1)x+c,且f(x)-x=0的两个根为x1、x2,∴二次函数f(x)-x的对称轴为x==.∴=.又由，得x0=，∴=x0+.又∵x2<,∴>0.故=x0+>x0,即x0<.变式训练1.二次函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为x1、x2,求x1+x2.解：∵对任意x都有f(3-x)=f(3+x)，∴函数f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.∴二次函数f(x)的对称轴为x=3.∵x1、x2为二次函数f(x)的两个零点，∴x1+x2=6.2.假设函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和.解：同理函数f(x)的对称轴为x=3，∴3(x1+x2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：假设二次项系数为a,两个根为x1、x2,那么二次函数解析式为f(x)=a(x-x1)(x-x2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f(x)的对称轴为x=.总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握.知能训练讨论函数y=ex+4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性.(2)作出y=ex和y=4-4x的图象，把函数y=ex+4x-4的零点的个数转化为方程ex=4-4x根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数.解：(方法一)利用计算机作出x，f(x)的对应值表：x01f(x)-32.71828由表和图可知，f(0)<0,f(1)>0,那么f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点,由于函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.(方法二)作出y=ex和y=4-4x的图象(图3-1-1-10),即可直观地看出零点的个数为1.图3-1-1-10总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.拓展提升1.2007山东青岛高三教学质量检测,理19m∈R,设P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈［1，2］恒成立；Q：函数f(x)=3x2+2mx+m+有两个不同的零点,求使P和Q同时成立的实数m的取值范围.解：由题意知x1+x2=a,x1x2=-2,∴|x1-x2|==.当a∈［1,2］时,的最小值为3.要使|m-5|≤|x1-x2|对任意实数a∈［1，2］恒成立，只需|m－5|≤3,即2≤m≤8.由得Q中:f(x)=3x2+2mx+m+的判别式Δ=4m2-12(m+)=4m2-12m-16>0，得m<-1或m>4.综上，要使P和Q同时成立，只需解得实数m的取值范围是(4,8］.2.如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再答复.利用函数图象进行探索分析:①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［-3,3］上函数零点个数，(1)可能没有零点如图(图3-1-1-11).图3-1-1-11图3-1-1-12(2)可能有一个零点如图(图3-1-1-12).(3)可能有两个零点如图(图3-1-1-13).图3-1-1-13图3-1-1-14(4)可能有三个零点如图(图3-1-1-14).(5)可能有n(n∈N*)个零点,图略.点评：在区间［-3,3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P88练习1.设计感想本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次清楚、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.(设计者：赵冠明)第2课时方程的根与函数的零点复习提出问题①函数f(x)=mx2+mx+1没有零点，求实数m的范围.②证明函数f(x)=x2+6x+10没有零点.③函数f(x)=2mx2-x+m有一个零点，求实数m的范围.④函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m-1有两个零点，求实数m的范围.活动：先让学生动手做题后再答复，经教师提示、点拨，对答复正确的学生及时表扬，对答复不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①因为Δ=m2-4m<0或m=0,∴0≤m<4.②因为Δ=36-40=-4<0,∴没有零点.③Δ=1-4m2=0或m=0,∴m=或m=或m=0.④Δ=16m2-8(m+1)(2m-1)=-8m+8>0且2(m+1)≠0,∴m<1且m≠-1.导入新课思路1.(情景导入)歌中唱到：再“穿过〞一条烦恼的河流明天就会到达，同学们知道生活中“穿过〞的含义.请同学们思考用数学语言是怎样描述函数图象“穿过〞x轴的？学生思考或讨论答复：利用函数值的符号，即f(a)f(b)<0.思路2.(直接导入)教师直接点出课题：这一节我们将进一步稳固有关方程的根与函数的零点的知识，总结求方程的根与函数的零点的方法，探寻其中的规律.推进新课新知探究提出问题①如果函数相应的方程不易求根，其图象也不易画出,怎样讨论其零点?②用数学语言总结判断零点存在性定理,并找出好的理解记忆方法.活动：先让学生动手做题后再答复，经教师提示、点拨，对答复正确的学生及时表扬，对答复不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①在闭区间［a,b］上，假设f(a)f(b)<0，y=f(x)连续，那么(a,b)内有零点.②如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.我们把它叫做零点存在性定理.因为闭区间端点符号相反的连续函数在开区间内有零点,可以简记为：“闭端反连(脸)，开内零点.〞应用例如思路1例1求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再答复，教师点拨、提示:因为方程lnx+2x-6=0的根不易求得，函数f(x)=lnx+2x-6的图象不易画出，如果不借助计算机，怎么判断零点个数？可以利用f(a)f(b)<0，及函数单调性.解：利用计算机作出x，f(x)的对应值表：x123456789f(x)-4-1.30691.09863.38635.60947.79189.945012.079414.1972由表和图3-1-1-15可知，f(2)<0,f(3)>0,那么f(2)f(3)<0，这说明f(x)在区间(2,3)内有零点.由于函数在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.图3-1-1-15图3-1-1-16变式训练证明函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.证明:如图3-1-1-16,因为f(1)=-7,f(10)=3,∴f(1)f(10)<0.∴函数f(x)=lgx+x-8有一个零点.∵y=lgx为增函数，y=x-8是增函数，∴函数f(x)=lgx+x-8是增函数.∴函数f(x)=lgx+x-8有且仅有一个零点.点评：判断零点的个数:(1)利用零点存在性定理判断存在性;(2)利用单调性证明唯一性.例2函数f(x)=3x+,(1)判断函数零点的个数.(2)找出零点所在区间.解：(1)设g(x)=3x,h(x)=,作出它们的图象(图3-1-1-17)，两函数图象交点的个数即为f(x)零点的个数.所以两函数图象有且仅有一个交点，即函数f(x)=3x+有且仅有一个零点.图3-1-1-17(2)因为f(0)=-1,f(1)=2.5,所以零点x∈(0,1).变式训练证明函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.证明:利用计算机作出x，f(x)的对应值表：x-101234567f(x)-7.5-32816284884172图3-1-1-18由表和图3-1-1-18可知，f(0)<0,f(1)>0,那么f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间内有零点.下面证明函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.设x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2，f(x1)-f(x2)=2+4x1-4-(2+4x2-4)=2-2+4(x1-x2)=2(2-x2-1)+4(x1-x2).∵x1<x2，∴x1-x2<0,2-x2-1<0,2>0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数.那么函数f(x)=2x+4x-4有且仅有一个零点.思路2例1证明函数y=2|x|-2恰有两个零点.图3-1-1-19证明:如图3-1-1-19,∵f(-2)=2,f(0)=-1,f(2)=2,∴f(-2)f(0)<0,f(0)f(2)<0.∴函数y=2|x|-2有两个零点.要证恰有两个零点,需证函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为单调的，函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为单调的.∵在(0，+∞)上，函数y=2|x|-2可化为y=2x-1,下面证明f(x)=2x-1在(0，+∞)上为增函数.证明：设x1,x2为(0，+∞)上任意两实数，且0<x1<x2,∵f(x1)-f(x2)=2-2-(2-2)=2-2=2(2-x2-1),∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,2-x2<1.∴2>0,2-x2-1<0.∴2(2-x2-1)<0.∴f(x1)-f(x2)<0.∴f(x1)<f(x2).∴函数y=2|x|-2在(0，+∞)上为增函数.同理可证函数y=2|x|-2在(-∞，0)上为减函数.∴函数y=2|x|-2恰有两个零点.变式训练证明函数f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有两个零点.证明:∵f()=,f(1)=-1,f(3)=,∴f()f(1)<0,f(1)f(3)<0.∴函数f(x)=x+-3在(0，+∞)上有两个零点.要证恰有两个零点,需证函数f(x)=x+-3在(0，1)上为单调的，函数f(x)=x+-3在(1，+∞)上为单调的.证明：设x1,x2为(0，1)上的任意两实数，且x1<x2.∵f(x1)-f(x2)=x1+-3-(x2+-3)=(x1-x2)+()=(x1-x2)+=(x1-x2)(),∵0<x1<x2<1，∴x1-x2<0,<0.∴(x1-x2)()>0.∴f(x1)-f(x2)>0.∴函数f(x)=x+-3在(0，1)上为减函数.同理函数f(x)=x+-3在(1，+∞)上为增函数.∴函数f(x)=x+-3在(0，+∞)上恰有两个零点(如图3-1-1-20).图3-1-1-20点评：证明函数零点的个数是一个难点和重点，对于根本初等函数可以借助函数图象和方程来讨论.对于较复杂的函数证明函数恰有n个零点，先找出有n个，再利用单调性证明仅有n个.例2函数f(x)=ax3+bx2+cx+d有三个零点，分别是0、1、2,如图3-1-1-21，求证:b<0.图3-1-1-21活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再答复，教师点拨、提示:方法一：把零点代入，用a、c表示b.方法二：用参数a表示函数.证法一：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以d=0,a+b+c=0,4a+2b+c=0.所以a=,c=b.所以f(x)=x(x2-3x+2)=x(x-1)(x-2).当x<0时，f(x)<0，所以b<0.证法二：因为f(0)=f(1)=f(2)=0,所以f(x)=ax(x-1)(x-2).当x>2时,f(x)>0,所以a>0.比拟同次项系数，得b=-3a.所以b<0.变式训练函数y=ax2-2bx的一个零点为1，求函数y=bx2-ax的零点.答案:函数y=bx2-ax的零点为0、2.点评：如果题目给出函数的零点，这涉及到零点的应用问题.(1)可以考虑把零点代入用待定系数法解决问题.(2)利用零点的特殊性把解析式的设法简单化.知能训练1.函数f(x)=lgx-2x2+3的零点一定位于以下哪个区间?()A.(4,5)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)2.假设函数f(x)=2mx+4在［-2,1］上存在零点，那么实数m的取值范围是()A.［4］B.(-∞,-2］∪［1,+∞)C.［-1,2］D.(-2,1)3.函数f(x)=－3x5－6x＋1,有如下对应值表：x-2-1.5012f(x)10944.171-8-107函数y＝f(x)在哪几个区间内必有零点？为什么？答案:1.B2.B3.(0，1),因为f(0)·f(1)<0.点评：结合函数图象性质判断函数零点所在区间是本节重点，应切实掌握.拓展提升方程lnx+2x+3=0根的个数及所在的区间，能否进一步缩小根所在范围？分析：利用函数图象(图3-1-1-22)进行探索分析.图3-1-1-22解：(1)观察函数的图象计算f(1)、f(2),知f(x)=lnx+2x+3有零点.(2)通过证明函数的单调性,知f(x)=lnx+2x+3有一个零点x∈(1,2).请同学们自己探究能否进一步缩小根所在范围？借助计算机可以验证同学们判断，激发学生学习兴趣.课堂小结(1)学会由函数解析式讨论零点个数，证明零点个数.(2)思想方法：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想.作业课本P88练习2.设计感想如何用数学语言描述“穿过〞是本节的关键，本节从导入开始让学生体会数学语言与文字语言的区别,并进一步让学生学会应用数学语言描述零点存在性定理.本节屡次用计算机作图来感知函数零点，在零点证明题中又经常用到函数的单调性进行严格证明，所以本节是数与形的完美统一.备课资料［备用习题］求方程x3+3x-1=0的一个正的近似解?(精确度0.1)解：设f(x)=x3-3x-1,设x1为函数的零点,即方程x3-3x-1=0的解.作出函数f(x)=x3-3x-1的图象(图3-1-3-17).图3-1-2-11因为f(1)=-3<0,f(2)=1>0,所以在区间(1，2)内方程x3-3x-1=0有一个解，记为x1.取1与2的平均数1.5，因为f(1.5)=-2.125<0，所以1.5<x1<2.再取2与1.5的平均数1.75，因为f(1.75)=-0.890625<0，所以1.75<x1<2.如此继续下去，得f(1)<0，f(2)>0x1∈(1,2),f(1.5)<0，f(2)>0x1∈(1.5,2)，f(1.75)<0，f(2)>0x1∈(1.75,2)，f(1.875)<0，f(2)>0x1∈(1.875,2)，f(1.875)<0，f(1.9375)>0x1∈(1.875,1.9375)，因为|1.9375-1.875|=0.0625<0.1,所以区间(1.875,1.9325)内的每一个实数都可以作为方程x3-3x-1=0的正近似解.(设计者：张新军)用二分法求方程的近似解整体设计教学分析求方程的解是常见的数学问题，这之前我们学过解一元一次、一元二次方程，但有些方程求精确解较难.本节从另一个角度来求方程的近似解，这是一种崭新的思维方式，在现实生活中也有着广泛的应用.用二分法求方程近似解的特点是：运算量大，且重复相同的步骤，因此适合用计算器或计算机进行运算.在教学过程中要让学生体会到人类在方程求解中的不断进步.三维目标1.让学生学会用二分法求方程的近似解，知道二分法是科学的数学方法.2.了解用二分法求方程的近似解特点，学会用计算器或计算机求方程的近似解，初步了解算法思想.3.回忆解方程的历史，了解人类解方程的进步历程，激发学习的热情和学习的兴趣.重点难点用二分法求方程的近似解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情景导入)师：(手拿一款)如果让你来猜这件商品的价格，你如何猜？生1：先初步估算一个价格，如果高了再每隔10元降低报价.生2：这样太慢了，先初步估算一个价格，如果高了每隔100元降低报价.如果低了，每50元上升；如果再高了，每隔20元降低报价；如果低了，每隔10元上升报价……生3：先初步估算一个价格，如果高了，再报一个价格；如果低了，就报两个价格和的一半；如果高了，再把报的低价与一半价相加再求其半，报出价格；如果低了，就把刚刚报出的价格与前面的价格结合起来取其和的半价……师：在现实生活中我们也常常利用这种方法.譬如，一天，我们华庄校区与锡南校区的线路出了故障，(相距大约3500米)电工是怎样检测的呢？是按照生1那样每隔10米或者按照生2那样每隔100米来检测,还是按照生3那样来检测呢？生：(齐答)按照生3那样来检测.师：生3的答复，我们可以用一个动态过程来展示一下(展示多媒体课件，区间逼近法).思路2.(事例导入)有12个小球，质量均匀，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球，要求次数越少越好.(让同学们自由发言，找出最好的方法)解：第一次，两端各放六个球，低的那一端一定有重球.第二次，两端各放三个球，低的那一端一定有重球.第三次，两端各放一个球，如果平衡，剩下的就是重球，否那么，低的就是重球.其实这就是一种二分法的思想，那什么叫二分法呢？推进新课新知探究提出问题①解方程2x-16=0.②解方程x2-x-2=0.③解方程x3-2x2-x+2=0.④解方程(x2-2)(x2-3x+2)=0.⑤我们知道，函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内有零点.进一步的问题是，如何找出这个零点的近似值？⑥“取中点〞后，怎样判断所在零点的区间?⑦什么叫二分法?⑧试求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2，3)内零点的近似值.⑨总结用二分法求函数零点近似值的步骤.⑩思考用二分法求函数零点近似值的特点.讨论结果：①x=8.②x=-1,x=2.③x=-1,x=1,x=2.④x=,x=,x=1,x=2.⑤如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值.为了方便，我们通过“取中点〞的方法逐步缩小零点所在的范围.〔“取中点〞,一般地,我们把x=称为区间(a,b)的中点〕⑥比方取区间(2，3)的中点2.5,用计算器算得f(2.5)<0,因为f(2.5)·f(3)<0,所以零点在区间(2.5,3)内.⑦对于在区间［a,b］上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法(bisection).⑧因为函数f(x)=lnx+2x-6，用计算器或计算机作出函数f(x)=lnx+2x-6的对应值表.x123456789f(x)-4-1.3061.09863.38635.60947.79189.945912.079414.1972由表可知，f(2)<0,f(3)>0,那么f(2)·f(3)<0，这说明f(x)在区间内有零点x0，取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器算得f(2.5)≈-0.084，因为f(2.5)·f(3)<0，所以x0∈(2.5,3).同理,可得表(下表)与图象(如图3-1-2-1).区间中点的值中点函数的近似值(2，3)2.5-0.084(2.5,3)2.750.512(2.5,2.75)2.6250.215(2.5,2.625)2.56250.066(2.5,2.5625)2.53-1-2-5-0.009(2.53-1-2-5,2.5625)2.5468750.029(2.53-1-2-5,2.546875)2.53906250.010(2.53-1-2-5,2.5390625)2.535156250.001图3-1-2-1由于(2,3)(2.5,3)(2.5,2.75),所以零点所在的范围确实越来越小了.如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小(见上表).这样，在一定的精确度下，我们可以在有限次重复相同步骤后，将所得的零点所在区间内的任意一点作为函数零点的近似值.特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值.例如，当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53-1-2-5|=0.0078125<0.01，所以，我们可以将x=2.53-1-2-5作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值.⑨给定精度ε，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤如下：1°确定区间［a,b］，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ε.2°求区间(a,b)的中点c.3°计算f(c):a.假设f(c)=0，那么c就是函数的零点；b.假设f(a)·f(c)<0，那么令b=c〔此时零点x0∈(a,c)〕；c.假设f(c)·f(b)<0，那么令a=c〔此时零点x0∈(c,b)〕.4°判断是否到达精度ε；即假设|a-b|<ε，那么得到零点值a(或b)；否那么重复步骤2°~4°．⑩由函数的零点与相应方程的关系，我们可用二分法来求方程的近似解.由于计算量较大，而且是重复相同的步骤，因此，我们可以通过设计一定的计算程序，借助计算器或计算机完成计算.应用例如思路1例1借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度为0.1).活动：①师生共同探讨交流，引出借助函数f(x)=2x+3x-7的图象，能够缩小根所在区间，并根据f(1)<0,f(2)>0,可得出根所在区间(1,2)；②引发学生思考，如何进一步有效缩小根所在的区间；③共同探讨各种方法，引导学生探寻出通过不断对分区间，有助于问题的解决；④用图例演示根所在区间不断被缩小的过程，加深学生对上述方法的理解；⑤引发学生思考在有效缩小根所在区间时，到什么时候才能到达所要求的精确度.学生简述上述求方程近似解的过程.解：原方程即2x+3x-7=0,令f(x)=2x+3x-7,用计算器或计算机做出函数f(x)=2x+3x-7的对应值表与图象(3-1-2-2).x012345678f(x)-6-2310214075142273图3-1-2-2观察图表可知f(1)·f(2)<0,说明这个函数在区间(1，2)内有零点x0.取区间(1，2)的中点x=1.5,用计算器算得f(1.5)≈0.33.因为f(1)·f(1.5)<0,所以x0∈(1,1.5).再取区间(1，1.5)的中点x=1.25,用计算器算得f(1.25)≈-0.87.因为f(1.25)·f(1.5)<0,所以x0∈(1.25,1.5).同理,可得，x0∈(1.375,1.5)，x0∈(1.375,1.4375).由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1,所以，原方程的近似解可取为1.4375.例2利用计算器，求方程x2-2x-1=0的一个近似解(精确度0.1)．活动：教师帮助学生分析:画出函数f(x)=x2-2x-1的图象，如图3-1-2-3所示.从图象上可以发现，方程x2-2x-1=0的一个根x1在区间(2，3)内，另一个根x2在区间(-1，0)内.根据图象，我们发现f(2)=-1<0，f(3)=2>0，这说明此函数图象在区间(2，3)上穿过x轴一次，即方程f(x)=0在区间(2，3)上有唯一解.图3-1-2-3计算得f()=>0，发现x1∈(2，2.5)(如图3-1-2-3)，这样可以进一步缩小x1所在的区间.解：设f(x)=x2-2x-1，先画出函数图象的简图，如图3-1-2-3.因为f(2)=-1<0，f(3)=2>0，所以在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有一解，记为x1.取2与3的平均数2.5，因为f(2.5)=0.25>0，所以2<x1<2.5.再取2与2.5的平均数2.25，因为f(2.25)=-0.4375<0，所以2.25<x1<2.5.如此继续下去，得f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3),f(2)<0,f(2.5)>0x1∈(2,2.5),f(2.25)<0，f(2.5)>0x1∈(2.25,2.5),f(2.375)<0，f(2.5)>0x1∈(2.375,2.5),f(2.375)<0，f(2.4375)>0x1∈(2.375,2.4375).因为2.375与2.4375精确到0.1的近似值都为2.4，所以此方程的近似解为x1≈2.4.点评：利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.思路2例1利用计算器，求方程lgx=3-x的近似解(精确度0.1).活动：学生先思考或讨论后再答复，教师点拨、提示并及时评价学生.分别画出y=lgx和y=3-x的图象，如图3124所示.在两个函数图象的交点处，函数值相等.因此，这个点的横坐标就是方程lgx=3-x的解.由函数y=lgx与y=3-x的图象可以发现，方程lgx=3-x有唯一解，记为x1，并且这个解在区间(2，3)内.图3-1-2-4解：设f(x)=lgx+x-3，设x1为函数的零点即方程lgx=3-x的解.用计算器计算，得f(2)<0，f(3)>0x1∈(2,3)，f(2.5)<0，f(3)>0x1∈(2.5,3)，f(2.5)<0，f(2.75)>0x1∈(2.5,2.75)，f(2.5)<0，f(2.625)>0x1∈(2.5,2.625)，f(2.5625)<0，f(2.625)>0x1∈(2.5625,2.625).因为2.5625与2.625精确到0.1的近似值都为2.6，所以原方程的近似解为x1≈2.6.例2求方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根(精确度0.1).解：设f(x)=lnx-2x+3,那么原方程的根为函数f(x)的零点.设x1为函数的零点即方程lnx-2x+3=0的解.如图3-1-2-5,因为f(1)=1,f(2)=-0.306852819,所以f(1)f(2)<0,即函数f(x)在［1,2］内有一个零点.根据二分法，用计算器得出以下表格：xy112-0.3068528193-1.9013877114-3.6137056395-5.3905620886-7.2082405317-9.0540898518-10.92055846(步长为1)xy111.550.4054651082-0.3068528192.5-1.0837092683-1.9013877113.5-2.74723703243.6137056394.5-4.495922603(步长为0.5)xy111.250.7231435511.50.4054651081.750.0596157872-0.3068528192.25-0.6890697832.5-1.0837092682.75-1.488399088(步长为0.25)xy111.1250.8677830351.250.7231435511.3750.5684537311.50.4054651081.6250.2355078151.750.0596157871.875-0.12139134(步长为0.125)xy1.50.4054651081.56250.3-2-1-2871021.6250.2355078151.68750.1482481431.750.0596157871.8125-0.0302928921.875-0.121391341.9375-0.213601517(步长为0.0625)由上述表格可以得到下表与图象3-1-2-5:区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.50.405465108(1.5,2)1.750.059615787(1.75,2)1.875-0.12139134(1.75,1.875)1.8125-0.030292892图3-1-2-5因为f(1.75)=0.059615787>0,f(1.8125)=-0.030292892<0,所以x1∈(1.75,1.8125).由于|1.8125-1.75|=0.0625<0.1,所以区间(1.75,1.8125)内的每一个实数都可以作为方程lnx-2x+3=0在区间［1,2］内的根.点评：①先设出方程对应的函数，画出函数的图象，初步确定解所在的区间,再用二分法求方程近似解.②二分法,即逐渐逼近的方法.③计算量较大，而且是重复相同的步骤，借助计算器或计算机完成计算比拟容易.知能训练1.根据下表中的数据，可以断定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间为()x-10123ex0.3712.277.3920.0x+212345A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)2.用二分法判断方程2x=x2的根的个数为()A.1B.2C.3D.4答案:1.C.设f(x)=ex-x-2,f(1)<0,f(2)>0,即f(1)f(2)<0,∴x∈(1,2).2.C.设f(x)=2x-x2(下表),画出函数y=2x与y=x2的图象(图3-1-2-6).x-1012345f(x)-0.5112-107图3-1-2-6由图与表,知有三个根.拓展提升从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要检查接点的个数为多少？(此例既表达了二分法的应用价值，也有利于开展学生的应用意识)答案:至少需要检查接点的个数为4.课堂小结活动：学生先思考或讨论，再答复.教师提示、点拨，及时评价.引导方法：从根本知识根本技能和思想方法两方面来总结.①掌握用二分法求方程的近似解，及二分法的其他应用.②思想方法：函数方程思想、数形结合思想.作业课本P92习题3.1A组1、3.设计感想“猜价格〞的游戏深受人们的喜欢,它是二分法的具体应用,用它引入拉近了数学与生活的距离.二分法是科学的数学方法，它在求方程的近似解和现实生活中都有着广泛的应用.本节设计紧紧围绕这两个中心展开，充分借助现代教学手段，用多种角度处理问题，使学生充分体会数学思想方法的科学性与完美性.习题详解(课本第88页练习)1.(1)令f(x)=-x2+3x+5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(1))，它与x轴有两个交点，所以方程-x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.(2)2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0，令f(x)=2x2-4x+3,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(2))，它与x轴没有交点，所以方程2x(x-2)=-3无实数根.(3)x2=4x-4可化为x2-4x+4=0,令f(x)=x2-4x+4,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(3))，它与x轴只有一个交点(相切)，所以方程x2=4x-4有两个相等的实数根.(4)5x2+2x=3x2+5可化为2x2+2x-5=0,令f(x)=2x2+2x-5,作出函数f(x)的图象(图3-1-2-7(4))，它与x轴有两个交点，所以方程5x2+2x=3x2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点.(3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=ex-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=ex-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8(课本第91页练习)1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.6875)，x0∈(0.65625,0.6875).由于|0.6875-0.65625|=0.03125<0.1,所以原方程的近似解可取为0.65625.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.5625,2.625),x0∈(2.5625,2.59375),x0∈(2.578125,2.59375),x0∈(2.5859375,2.59375).由于|2.5859375-2.59375|=0.0078125<0.01,所以原方程的近似解可取为2.59375.(课本第92页习题3.1)A组1.A,C点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.〞可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.9375,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.9375)|=0.0625<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.9375.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.因为f(0.875)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.75,0.875).同理,可得x0∈(0.8125,0.875)，x0∈(0.8125,0.84375).由于|0.8125-0.84375|=0.03125<0.1,所以原方程的近似解可取为0.84375.5.由题设有f(2)≈-0.31<0,f(3)≈0.43>0,于是f(2)·f(3)<0,所以函数f(x)在区间(2，3)内有一个零点.下面用二分法求函数f(x)=lnx在区间(2，3)内的近似解.取区间(2，3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈0.12.因为f(2)·f(2.5)<0,所以x0∈(2,2.5).再取(2，2.5)的中点x2=2.25,用计算器可算得f(2.25)≈-0.08.因为f(2.25)·f(2.5)<0,所以x0∈(2.25,2.5).同理,可得x0∈(2.25,2.375)，x0∈(2.3125,2.375),x0∈(2.34375,2.375),x0∈(2.34375,2.359375),x0∈(2.34375,2.3515625),x0∈(2.34375,2.34765625).由于|2.34375-2.34765625|=0.00390625<0.01,所以原方程的近似解可取为2.34765625.B组1.将系数代入求根公式x=,得x==,所以方程的两个解分别为x1=,x2=.下面用二分法求方程的近似解.取区间(1.775,1.8)和(-0.3,-0.275),令f(x)=2x2-3x-1.在区间(1.775,1.8)内用计算器可算得f(1.775)=-0.02375,f(1.8)=0.08.于是f(1.775)·f(1.8)<0.所以这个方程在区间(1.775,1.8)内有一个解.由于|1.8-1.775|=0.025<0.1,所以原方程在区间(1.775,1.8)内的近似解可取为1.8.同理,可得方程在区间(-0.3,-0.275)内的近似解可取为-0.275.所以方程精确到0.1的近似解分别是1.8和-0.3.2.原方程即x3-6x2-3x+5=0,令f(x)=x3-6x2-3x+5,函数图象如以下图所示.图3-1-2-9所以这个方程在区间(-2,0),(0,1),(6,7)内各有一个解.取区间(-2，0)的中点x1=-1,用计算器可算得f(-1)=1.因为f(-2)·f(-1)<0,所以x0∈(-2,-1).再取(-2，-1)的中点x2=-1.5,用计算器可算得f(-1.5)=-7.375.因为f(-1.5)·f(-1)<0,所以x0∈(-1.5,-1).同理,可得x0∈(-1.25,-1)，x0∈(-1.125,-1),x0∈(-1.125,-1.0625).由于|(-1.0625)-(-1.125)|=0.0625<0.1,所以原方程在区间(-2，0)内的近似解可取为-1.0625.同理,可得原方程在区间(0，1)内的近似解可取为0.7,在区间(6，7)内的近似解可取为6.3.3.(1)由题设有g(x)=2-［f(x)］2=2-(x2+3x+2)2=-x4-6x3-13x2-12x-2.(2)函数图象如以下图所示.图3-1-2-10(3)由图象可知，函数g(x)分别在区间(-3，-2)和区间(-1，0)内各有一个零点.取区间(-3，-2)的中点x1=-2.5,用计算器可算得g(-2.5)=0.1875.因为g(-3)·g(-2.5)<0,所以x0∈(-3,-2.5).再取(-3，-2.5)的中点x2=-2.75,用计算器可算得g(-2.75)≈0.28.因为g(-3)·g(-2.75)<0,所以x0∈(-3,-2.75).同理,可得x0∈(-2.875,-2.75)，x0∈(-2.8125,-2.75).由于|-2.75-(-2.8125)|=0.0625<0.1,所以原方程在区间(-3，-2)内的近似解可取为-2.8125.同样可求得函数在区间(-1,0)内的零点约为-0.2.所以函数g(x)精确到0.1的零点约为-2.8或-0.2.点评：第2、3题采用信息技术画出函数图象,并据此明确函数零点所在的区间.在教学中,如果没有信息技术条件,建议教师直接给出函数图象或零点所在区间.备课资料［备选例题］【例1】某西部山区的某种特产由于运输的原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投入x万元，可获得利润P=(x-40)2+100万元.当地政府拟在新的十年开展规划中加快开展此特产的销售，其规划方案为：在规划后对该工程每年都投入60万元的销售投资，在未来10年的前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每年投入x万元，可获利润Q=(60-x)2+(60-x)万元.问从10年的累积利润看，该规划方案是否可行？解：在实施规划前，由题设P=(x-40)2+100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元.那么10年的总利润为W1=100×10=1000(万元).实施规划后的前5年中，由题设P=(x-40)2+100,知每年投入30万元时，有最大利润Pmax=(万元).前5年的利润和为×5=(万元).设在公路通车的后5年中，每年用x万元投资于本地的销售，而用剩下的(60－x)万元用于外地区的销售投资，那么其总利润为W2=［(x-40)2+100］×5+(x2+x)×5=-5(x-30)2+4950.当x=30时，(W2)max=4950(万元).从而10年的总利润为+4950(万元).∵+4950>1000，∴该规划方案有极大实施价值.(设计者：张建国)3.2函数模型及其应用几类不同增长的函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的根本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题.课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的.三维目标1.借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比拟指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异.2.恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题.3.让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣.重点难点教学重点:认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点:应用函数模型解决简单问题.课时安排2课时教学过程第1课时几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01cm，一块砖的厚度大约为10cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度:f(n)=0.01·2n(cm),n块砖的厚度:g(n)=10n(cm),f(20)≈105m,g(20)=2m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解.思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比拟它们的增长差异.推进新课新知探究提出问题①如果张红购置了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y,把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y,把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦比拟它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再答复，经教师提示、点拨，对答复正确的学生及时表扬，对答复不准确的学生提示引导考虑问题的思路.①总价等于单价与数量的积.②面积等于边长的平方.③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象.⑤引导学生回忆学过的函数模型.⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性.⑦让学生自己比拟并体会.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果：①y=x.②y=x2.③y=(1+5%)x,④如下表x123456y=x123456y=x2149162536y=(1+5%)x1.051.011.161.221.281.34它们的图象分别为图3-2-1-1，图3-2-1-2，图3-2-1-3.图3-2-1-1图3-2-1-2图3-2-1-3⑤它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax2+bx+c(a≠0,抛物线型)，y=kax+b(指数型).⑥从表格和图象得出它们都为增函数.⑦在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型,形如y=logax+b,我们把它叫做对数型函数.应用例如思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再答复.教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比拟它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，那么方案一可以用函数y=40(x∈N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x∈N*)进行描述；方案三可以用函数y=0.4×2x-1(x∈N*)进行描述.三个模型中，第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况.x/天方案一方案二方案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.43040030010214748364.8107374182.4再作出三个函数的图象(3-2-1-4).图3-2-1-4由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长〞，其“增长量〞是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元.下面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下：1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210180360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2818.8因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，那么应选择方案三.针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数.②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？③由此得出怎样结论.答案:①选择哪种方案依据的是累积回报数.②让我们体会每天回报数增长变化.③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元根底费，然后每通话1分钟付话费0.4元；神州行不交月根底费，每通话1分钟付话费0.6元，假设设一个月内通话x分钟，两种通讯业务的费用分别为y1元和y2元，那么(1)写出y1、y2与x之间的函数关系式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3)求出或寻求出一个月内通话多少分钟，两种通讯业务费用相同；(4)假设某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比拟它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月根底费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值范围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象答复；(4)寻求出当函数值为200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y1=50＋0.4x(x≥0)，y2=0.6x(x≥0).(2)图象如图(3-2-1-5)所示.图3-2-1-5(3)根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，所以在一个月内通话250分钟时，两种通讯业务的收费相同.(4)当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值,即选取全球通更合算.另解：当y1=200时有0.4x＋50=200,∴x1=375；当y2=200时有0.6x=200,x2=.显然375>,∴选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.例2某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个鼓励销售人员的奖励方案：在销售利润到达10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再答复.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需在区间［10,1000］上，检验三个模型是否符合公司要求即可.不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果.解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x的图象(图3-2