变化率问题与导数的概念

关于变化率问题与导数的概念第一页，共十五页，2022年，8月28日问题1.气球平均膨胀率.吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角度解释这一现象吗?解:可知:V(r)=πr3

即：r(V)=

当空气容量Ｖ从０增加１Ｌ时，半径增加了r(1)－r(0)=0.62气球平均膨胀率：

第二页，共十五页，2022年，8月28日问题1.气球平均膨胀率.当空气容量Ｖ从１加２Ｌ时，半径增加了r(２)－r(１)=0.１６气球平均膨胀率：

可以看出，随着气球体积变大，它的平均膨胀率变小．思考：当空气容量从V1增加到V2

时,气球的平均膨胀率是多少呢?第三页，共十五页，2022年，8月28日问题2.平均速度.物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12求１s到２s时的平均速度．

解：S2－S1==14.7t2－t1=1V=第四页，共十五页，2022年，8月28日问题2.平均速度.思考：求t1s到t2s时的平均速度．

V=第五页，共十五页，2022年，8月28日平均变化率如果上述的两个函数关系用f(x)表示那么当自变量x从x1变化到x2时，函数值就从y1变化到y2则函数f(x)从x1到x2的平均变化率：它的几何意义是什么呢？第六页，共十五页，2022年，8月28日问题３：瞬时速度物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？

能否用求平均速度的方法求某一时刻的瞬时速度？

（我们可以取t=3临近时间间隔内的平均速度当作t=3时刻的平均速度，不过时间隔要很小很小）

第七页，共十五页，2022年，8月28日问题３：瞬时速度物体自由落体的运动方程是:S(t)=gt2,12如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？

解：取一小段时间：［3,3+△t]△Ｓ=g(3+△t)2－gV=△Ｓ△t(6+△t)第八页，共十五页，2022年，8月28日问题３：瞬时速度解：取一小段时间：［3,3+△t]△Ｓ=g(3+△t)2－gV=△Ｓ△t(6+△t)当△t0时，v3g=29.4（平均速度的极限为瞬时速度）

第九页，共十五页，2022年，8月28日瞬时速度：（平均速度的极限为瞬时速度）

即：lim△t0S(3+△t)－S(3)△t=29.4

思考：在t0时刻的瞬时速度呢？lim△t0S(t0+△t)－S(t0)△t第十页，共十五页，2022年，8月28日瞬时变化率：思考：我们利用平均速度的极限求得瞬时速度，那么如何求函数f(x)在x=x0点的瞬时变化率呢？可知:函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△xlim△x0△f△x=第十一页，共十五页，2022年，8月28日导数函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率为：lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△xlim△x0△f△x=我们称它为函数f(x)在x=x0处的导数．记作：f’(x0)=lim△x0f(x0+△x)－f(x0)△x第十二页，共十五页，2022年，8月28日小结：由定义知，求f(x)在x0处的导数步骤为：第十三页，共十五页，