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偏微分方程在人口问题中的应用06数学系杜慧通PB06001022根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解方法。dp(t)ap(t) dt ,tt0

:pp0其中p(t)表示t时刻的人口总数，p0示人口净增长率。

为初始时刻t0

时的人口总数，a表体总数的自然线性增长项ap(t) dp(t ap(t) ap2(t) dttt0

,:pp0a称为生命系数，而且a比a要小很多。ap2(t)就是考虑到生存p(t)不太大时，由于a比a中的每一个个体视为同等地位来对待的，这个原则只适用于低等动［2：p(t,x) t

p(t,x)x

d(x)p(t,x)

(tx

(1)t0:pp

(x)

(0x

(2)x0:p(t,0)

b)p(t,)d (t0)a

(3)p(tx表示任意时刻txdx表示x的人口死亡率，bx表示年龄为x(ax的人的生育率，aA表示人的最大年龄。对于上述偏微分方程模型成立如下结论：1.对偏微分方程的初值问题(1)－(3)，如果下列条件成立：在区间[0A]px)0且适当光滑；0在区间[0,A]上，d(x)0且适当光滑，并且当 xA0时，d(x)及xd；0p0

(0)b)pa

()d；(IV)p'(0)d()p()Ab)(p')d)p

())d。0 0 a 0 0则该初边值问题(1)－(3)存在唯一的整体解p(t,x)并且满足p(t,x)0且p(t,A)0。该模型在经过适当的简化假设后，例如假设dx)d常数，bx)b常数，就可以回到前面的常微分方程模型。但在偏微分方程模型中ddx)、bbx方程模型确实更进一步、更能精确地描述人口分布的发展过程。度。参考文献：〔1〕W.F.卢卡斯主编，朱煜民、周宇虹译，微分方程模型，国防科技大学出版社，1988.〔2〕G.F.Webb,TheoryofAge-Depend

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