2020-2021学年苏教版高中数学必修第二册综合检测题（二）【含答案】

苏教版必修第二册数学全册综合检测题（二）一、单选题TOC\o"1-5"\h\z.若z=2+i,则卜一z|=（ ）A.回 B.2 C.痴 D.3.有一个装有水且底面直径为12cm的圆柱形容器，水面与容器口的距离为1cm.现往容器中放入一个半径为「（单位：cm）的小球，该小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出，则小球半径r的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.43.某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40）、[40,60）、[60,80）、[80,100],若高于60分的人数是35人,则该班的学4.向量Z,石满足⑷=勺*•阳若以”可的最小值为2（戕R）,则TOC\o"1-5"\h\za-b=（ ）A.0 B.4 C.8 D.165.若〃表示直线，。表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为（ ）m//n] m-La] m_La>= mlIn 〉=>加_L〃①加闻；②〃_LaJ:③〃〃aJ；@mlla\>=>nmLn\A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.已知tana=-2,则sin2a+cos2a的值为（ ）4 _4 3 _3A.5 B.5 c.5 D.5.在三棱锥尸―NBC中，点a在平面P8C中的投影是aP8C的垂心，若△力3c是等腰直角三角形且48=NC=1,PC=仆,则三棱锥P-ZBC的外接球表面积为（）4%TOC\o"1-5"\h\zA.兀 B.3 C.4万 D.6兀.在A4SC中，a，。，。分别是内角"I,。的对边，sinZ+JIsin8=2sinC,b=3,当内角0最大时，△N3C的面积为（ ）+3G 6+3由 3痴-G 3-一6A.4 B.4 C.4 D.4二、多选题719.已知向量成，万的夹角为7,且|而|=6,|万|=2,则|玩一万|和应在万方向上的投影的数量分别等于（ ）3A.4 B.2 C.1 D.210.2014年7月18H,教育部公布了修订的《国家学生体质健康标准》.学生体测成绩达到或超过良好，才有资格参与评优与评奖，中学男生100米体能测试的良好成绩小于14.15秒、某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测试的成绩（单位：秒），将数据按照［11.5,12）,［12,12.5）,…，［15.5,16］分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.由直方图推断，下列选项正确的是（ ）A.直方图中a的值为0.4B.由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒C.由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒D.由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80%11.在中，呢b,c分别为NN,DB,NC的对边，下列叙述正确的是（a_bA.若sin8sin/I,则为等腰三角形a_bB.若cos8cosJ,则为等腰三角形C.若tanA+tan8+tanC<0,则为钝角三角形, ZC=-D若。=bsmC+ccos8,则412.如图，正方体"'CD_44Goi的棱长为3,点E,尸分别在CG,'4上，—► —► —> ->GE=2EC,BF=2FB1动点乂在侧面/切圈内（包含边界）运动，且满足直线8河〃平面°",则（）

Z)1A.过0,E,b的平面截正方体所得截面为等腰梯形B.三棱锥2一"'"的体积为定值C.动点”所形成轨迹的长度为何D.过8,E,M的平面截正方体所得截面面积的最小值为3屈13.计算：tan22.5°—tan22.5°=14.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为5,和棋的概率为2,则乙不输的概率为5..AB=4,AC=7,cos/BAC=—,B+D=7v.如图，在四边形"BO。中， 7 .AC是ND48的角平分线，则OC的长为..在四棱锥S-48co中，四边形”88是边长为2的正方形，是正三角形,

且侧面底面”SCO.若点S,A,B,C,。都在同一个球面上，则该球的表面积为四、解答题.已知关于x的方程厂一0'+25=0（。€1^）在复数范围内的两根为西、（1）若p=8,求玉、2(2)若*=3+4i,求p的值..某中学现有学生150。人，为了解学生数学学习情况，对学生进行了数学测频率试,得分分布在[50,100]之间，按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分3m=n组，得到的频率分布直方图如图所示，且已知2（1）求，〃的值;（2）估计该中学数学测试的平均分（同组数据以这组数据的中间值作代表）:（3）估计该中学数学分数在BO,70）的人数..如图，在底面为菱形的四棱柱/80°一44GA中，= =1ZBAD= =60°,4在底面ABCD内的射影E为线段AC上一点.

(I)求ZE的长；(n)求三棱锥c-48〃的体积.20,已知向量”(一3,1)3=(l,-2),c=(1,1)(1)求向量Z与石的夹角的大小；(2)若I4求实数％的值..袋中装有6个形状、大小完全相同的球，其中标有数字T”的球有3个，标有数字“2”的球有2个，标有数字“3”的球有1个.规定取出一个标有数字“1”的球记1分，取出一个标有数字“2”的球记2分，取出一个标有数字“3”的球记3分.在无法看到球上面数字的情况下，首先由甲取出3个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的3球.规定取出球的总积分多者获胜.(1)求甲、乙平局的概率：(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性.已知Q=(2cosx,l),B=(Gsinx+cosx,])函数=(1)求函数“X)(1)求函数“X)在区间L%]上的最大值和最小值:fM=（2）若5'°1_4'2」，求cos2x。的值;(3)若函数v=/(0x)在区间上是单调递增函数，求正数口的取值范围.答案A【分析】根据复数的运算法则，以及复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为z=2+i,所以z-z=（2+i）—（2+i）=4+4，-1-2-，=l+3i,由jz?-z[= +3]=V10因此। ।故选：A.C【分析】求出圆柱上部的体积，利用球的体积公式转化求解即可.【详解】解：小球放入水中后直接沉入容器底部，若使该容器内的水不溢出,则球的最大体积与圆柱上部的体积相等，小球半径尸，-"r3=62zr-l可得3 ,解得r=3（。加）.故选：C.B【分析】计算出高于60分的学生所占的频率，然后用35除以频率即可得出结果.【详解】由频率分布直方图可知，高于6°分的学生所占的频率为（°.02+°915»20=°.7,35——=50因此，该班的学生人数是°：故选：B.C【分析】a-b-\b\\Aa-b\ 〜 ,由已知得।।,然后把। ।平方转化为数量积的运算，利用二次函数知识得最小值，从而求得G*.【详解】b-[a-bj=a-b-^=0所以。.6=忖Rq—W=4〜a-24a,b+b=16/〜-2(。力)4+。力64(a-b)-4(a-b)2由题意64 ,解得75=8.故选：C.C【分析】根据空间中的线面关系逐一判断即可.【详解】mlln\ mLa\ mLa\La >=>加//〃 m-Lnmla),正确，〃LaJ,正确，〃//&J,正确若m//a,mlnt则〃可以与a平行，相交或〃ua,故④错误故选：CD【分析】利用二倍角公式，然后弦化切，即可利用已知条件计算求值.【详解】vtana=-2,.3 2 2sinacosa+cos2a2tana+1-3sin2a+cosa= - = =—sin-a+cos〜a tan-a+l 5.故选：D.方法点睛：三角函数求值问题中已知tana求关于sina,cosa的代数式的值时一般利用弦公切后直接代入tana求值，在关于sma,cosa的齐次式中，常常用弦公切的方法转化为tana的式子.C【分析】由垂心知，可证PCJ•平面则所以可证Z8_L平面尸4C,则有ABLPA,同理有4c_LP/,故两两垂直，所以直径2R=ylAP2+AB2+AC-t则外接球表面积可求解.【详解】设aPBC的垂心为〃，连接〃则/〃，平面P8C,如图所示：由垂心知，BHLPC,CH1.PB,又4HtpC,8〃口/〃=〃则尸CJ■平面所以尸C-6,又Z81ZC,PCcAC=C,所以平面PZC,^ABIPA同理ZC_LP4所以两两垂直，则三棱锥尸-Z8C的外接球是以北,/民"为长宽高的长方体的外接球，故2H=yjAP2+AB2+AC2=\lPC2-AC2+AB2+AC2=VJ+T=2所以R=l,三棱锥P-ZBC的外接球表面积为4i故选：C方法点睛：求外接球半径的常用方法：(1)补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解：

（2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径；（3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.A【分析】已知等式利用正弦定理角化边化简，得到关系式，利用余弦定理表示出cosC,把得出关系式整理后代入，利用基本不等式求出cosC的最小值，然后利用三角形面积公式计算.【详解】已知等式利用正弦定理化简得：a+Ob=2c,(3a2+2b2-2y/2ab^两边平方得：（a+^b）2=4c',(3a2+2b2-2y/2ab^a2+b2-c2=所以 4 ,「a2+b2-c23a2+2b2-2yl2abcosC= = 所以 2ab Sab细=殳厂厂 "华=卒="当且仅当ba,即=12b时取等号，此时V373\/6—则cosc的最小值为 4sinC\/6—则cosc的最小值为 4,此时C最大，且 4则的面积2 2 4 4故选:A.本题主要考查正弦定理和余弦定理以及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.关键在于熟练掌握利用正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求得cosC关于9的表达式，并使用基本不等式求得cosC的最小值.【分析】根据平面向量的数量积计算模长，根据投影的定义计算对应的数值.【详解】71解：向量近方的夹角为6,I而|=G,|«|=2,_r-至=26X3=所以”.〃=V3x2xcos6 2 3；所以(而一万):赤-2而.万+/=3必3+4=1,所以|比一日|=1：所以而在方方向上的投影的数量为=Gxcos—=>/3x—=—1mleos。 6 2 2.故选：CD.AB【分析】A：根据各组频率之和为1,进行求解判断即可：B：根据直方图的众数是频率最高组的中点进行判断即可：C：根据直方图的中位数是频率相等的分点进行判断即可：D：根据直方图求出成绩小于14.15秒的人数所占百分比进行判断即可.【详解】A：由概率统计相关知识，可知各组频率之和为1.频率=(频率/组距)X组距，0.5(0.08+0.16+0.30+a+0.52+0.30+0.12+0.08+0.04)=1,解得a=0.4,故A正确；135+14=13.75B：直方图的众数是频率最高组的中点，即2 ,故B正确：C：直方图的中位数是频率相等的分点，设为x,则0.5x(0.08+0.16+0.30+0.4)+0.52(x-13.5)=0.5,解得xr13.56<13.7,故c错误;D：由图可知.成绩小于14.15秒的人数所占百分比为：[0.5x(0.08+0.16+0.30+0.4+0.52)+0.3x0.15]xl00%=77.5%<80%故D错误.故选：ABACD【分析】多项选择题，一个一个选项验证：对于A：利用正弦定理判断sin4=sin8,在三角形中只能<=民即可判断；对于B：•••由正弦定理得sin2N=sin28,可以判断二为等腰三角形或直角三角形;对于C：利用三角函数化简得sinsin5sinCtanA+tanB4-tanCcosAcosBcosC,利用sin/>0,sin6>0,sinC>°,判断cosAcos5cost;必有一个小于o,即可判断；对于D：利用正弦定理判断得cosC=sinC求出角C.【详解】a_ba_b对于A：•••由正弦定理得：sin"sin5,而sin8sin/,sin"=sin8,3+B+Cf,.•.只能4=8,即aNBC为等腰三角形，故a正确；a_h对于B：•.•由正弦定理得：sin/sin8,a_b...若cos5cosJ可化为sin-cos4=sin5cos5,即sin24=sin25,...2/=28或24+26=万.•.△NBC为等腰三角形或直角三角形，故B错误：对于C：•:A+B+C=7c,sin4-5)=sin(^-C)=sinC,cos(4+8)=cos(乃一C)=cosC...tanA+tanB+tanCsin%sinBsinC= 4 4 cosAcosBcosCsinAcos8+sin8cosAsinC= 1 cosAcosB cosCsinCsinC= + cosAcosBcosCq 1 )=sinC + IcosAcosBcosC).JcosC+cosAcosB=sinC \cosAcosBcosC)_sin/sin8sinCcosJcos5cosC.•.」211人+12118+1211。<0而111/1>0,4118>0,4110>0,AcosAycosBcosC必有一个小于°,为钝角三角形.故C正确；对于D：・.・Q=bsinC+ccos8,・••由正弦定理得：sin"=sin5sin4-sinCcosB即sinBcosC+sinCcosB=sinBsinC+sinCcosB...cosC=sinC..Ce(O/).C-W•••・故D正确.故选：ACD在解三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考:(1)从题目给出的条件，边角关系来选择；(2)从式子结构来选择.BCD【分析】由题做出过“，E,尸的平面截正方体所得截面为梯形AEFN,进而计算即可排除A选项：根据BM//平面由等体积转化法得—FM=VM-DiEF=VB-DiEF=即可得B选项正确；取“4靠近4点的三等分点H,靠近。点的三等分点/,易知M的轨迹为线段印，其长度为何，故C选项正确;过“点做8E的平行线交441于尸，交DD]于o连接BPQE,易知过8,E,M的平面截正方体所得截面即为平行四边形8PQE,进而得当“位于点/时，截面面积最小，为四边形"BE/的面积，且面积为S='8,8E=3ji5【详解】解：对于A选项，如图，取8口中点G,连接4G,由点£,尸分别在CC,8片上，CXE=2ECBF=2FBt（故四边形4°跖为平行四边形，故"//*,由于在△4收，F为"G中点,当N为44中点时，有NE//4G//*,故过外/2N=卜+0]=—产的平面截正方体所得截面为梯形此时V 2,EF=\/32+12=V10,故梯形"E/W不是等腰梯形，故人选项错误；对于B选项，三棱锥"一瓦”的体积等于三棱锥”―0跖的体积，由于平面D'EF,故三棱锥”一乌跖的体积等于三棱锥8一A"的体积，三棱锥8一°£”的体积等于三棱锥马-8EE的体积，而三棱锥4一8£厂的体积为定值，故B选项正确；对于C选项，取“4靠近4点的三等分点〃，靠近。点的三等分点/,易知HBUA\GI/NF,BIUD\F,由于印0以=/,破口。尸=/，故平面出〃//平面*F,故”的轨迹为线段其长度为何，故C选项正确：对于D选项，过M点做8E的平行线交于尸，交OR于°,连接BP,OE,则过E,M的平面截正方体所得截面即为平行四边形8P°E,易知当〃位于点/时，平行四边形BPOE边BP最小,且为Z8,此时截面平行四边形8P0E的面积最小，为四边形的面积，且面积为S="8-8E=3而，故d选项正确:故选：BCD本题解题的关键在于根据题意，依次做出过E,b的平面截正方体所得截面为梯形D'EFN,过8,£,M的平面截正方体所得截面即为平行四边形8P0E,进而讨论AD选项，通过6川//平面乌七”，并结合等体积转化法得,『EFM='m-MF=VB-D}EF=VDX-BEF知B选项正确，通过构造面面平行得M的轨迹为线段印，进而讨论C选项，考查回归转化思想和空间思维能力，是中档题.-2【分析】利用正切的二倍角公式即可求解.【详解】[tan22.5°-tan22.5’tan222.50-1tan22.5

=2-=2-2tan22.5°

tan222.5°-12tan22.5°1-tan222.5°C 1 C-2 =-2tan45"故-245【分析】乙不输即是乙获胜或甲乙和棋，由互斥事件概率加法公式可求.【详解】解：记“甲获胜”为事件4,记“和棋”为事件8,记“乙获胜”为事件C,J（"）=（，P（8）=；，P（C）=1—尸（/）一尸伍）=1一!一则3 Z j2 10i1 4P=P（BUC）=P（5）+P（C）=-+—=-所以，乙不输的概率为. 21054故答案为5.【分析】在△NBC中根据余弦定理求得8C,正弦定理求得角8,然后根据题目条件中的角的关系,△ACD中利用正弦定理求得DC.【详解】5=4,4C=7,cosNBAC=—解：中， 7

DBC2^AC2+AB2-2AC-ABcosZBAC由余弦定理得DBC2^AC2+AB2-2AC-ABcosZBAC由余弦定理得72+42-2x7x4x-=257所以8C=5,sin/8/C=11一又 丫ACBC由正弦定理得sinBsinZSzIC,所以r2767x sinB= -5276丁2[72+。=%,sin。=sin8= 又 52[7A sinNDAC=sinNBAC=△4CQ中， 7DC_AC由正弦定理得sin/ZMCsin。，72瓜7x——DC=——^-=52<6所以即DC的长为5.故5.关键点点睛：利用正弦定理，余弦定理解得三角形的未知边和角.

28zr3【分析】先将该四棱锥补形为正三棱柱弘。一尸8C,根据正棱柱的特征，结合球的性质，以及题中数据，求出该正三棱柱的外接球半径，进而可求出外接球的表面积.【详解】由题意，可将该四棱锥补形为正三棱柱则该四棱锥的外接球即为正三棱柱SAD-PBC的外接球，记球心为0,分别取8C、"。的中点为E、F.分别记与aPBC的外接圆圆心为〃、G,连接SR,PE,HG,因为aS/。与aPBC都是正三角形，HG//AB且HG=AB=2,SH=-SF=->/22-1HG//AB且HG=AB=2,根据球的性质，以及正棱柱的结构特征可得，球心。必在“G上，且。为“G的中点，连接os,28万28万故答案为.3思路点睛：求解几何体外接球的相关问题时，一般需要先根据几何体的结构特征确定球心位置，再结合题中所给数据求出外接球的半径，进而即可得解（有时所给几何体比较特殊，可根据补形的方法进行求解）.（1）W=4+3i,x2=4-3i；（2）p=6【分析】（1）利用求根公式即可求解.（2）将玉=3+41代入方程即可求解【详解】（1）由题意得，A=P2T00=-36<0,8±>/^368±V36F8±6z,_x= = = =4±3z2 2 2 ,.*=4+3ix2=4-3/（2）已知关于x的方程——Px+25=°（，e&）的一根为%=3+4i,（3+4i）2_p（3+4z）+25=（18-3p）+（24-4p）i=0所以18-3p=24-4p=0,解得p=6.in=0.01518.⑴= ；（2）76.5；⑶375.【分析】（1）由频率分布直方图联立方程，求出答案：（2）由频率分布直方图，直接求平均分；（3）分别求出该中学数学分数在［50，60）和［60,70）的频率和人数进一步求出答案【详解】（0.03+0.035+m+w+n）xl0=1V（1）由频率分布直方图可得126二3/2 ,m-0.015解得 .(2)由频率分布直方图可得，估计该中学数学测试的平均分为(55x0.01+65x0.015+75x0.035+85x0.03+95x0.01)x10=76.5(3)因为该中学数学分数在的频率是0.01x10=0.1,所以估计该中学数学分数在［5°，6°)的人数是1500x0.1=150；同理，因为该中学数学分数在［6°，7。)的频率是0.015x10=0.15,所以估计该中学数学分数在16°，70)的人数是1500x0.15=225.所以估计该中学数学分数在［5°，70)的人数为150+225=375._V3 V2AE=—— ——(I) 3；(n)12.【分析】(I)由已知条件得出点4在底面ABCD上的射影是△460的外心即可求解：(n)利用等体积法即可得出所求三棱锥°一"'9的体积.【详解】解：(I)...”=40=44=48=1,—BAAi为等边三角形，.Z5A4,=60°▽ZBAD=ZA.AD=60°乂 ，.ZBAA=ZDAA]・••点4在底面ABCD上的射影E是等边AABD的外心,_2V3,百AE=-x——x1=——(口)由(I)可知4",底面ABCD,

.A{E1ACAF_2又一"F,M=1A、E=笈'3嚷，叫=GT叱=；xgxlxlxsinl20°xT=V371（1）4；（2）-2【分析】aa'bc°sd=尸百ah（1）由"口，计算可求出答案；0,进而可列出方程，即可⑵先求出入也再根据“G+口），可得"+0,进而可列出方程，即可求出左的值.【详解】（1）由题意,（1）由题意,aa，bCOSu—Hi=HH-3-2V9+TxVT+49=电因为。e[0,兀],故4a+ =(―3+%,1—24)c±(a+kh\c-(a+^fe)=0因为«所以I),即一3+左+1—2左=0,解得左=一23（1）W.（2）不影响.【分析】分甲取的三个小球的情况（1）甲、乙平局，即甲得5分，然后根据各种小球的分值情况,分甲取的三个小球的情况得出结果.(2)由甲先取球时，求出甲获胜的概率和乙获胜的概率，再同理求出由乙先取球时，求出乙获胜的概率和甲获胜的概率，从而可得答案.【详解】(1)记标有数字“1”的球为。，b,ct标有数字“2”的球为d,e,标有数字“3”的球为f,则甲取球的所有情况为。儿，ahd,abe,abf,acd,ace,acf,ade,adf,aef,bed,bee,bef,bde,bdf,bef,cde,c可,cef,def,共20种，由于6个小球总分为3x1+2x2+1x3=10分，故甲、乙平局时都得5分，此时，甲取出的三个小球中有1个标有数字“1”的球和2个标有数字“2”的球，或有2个标有数字“1”的球和1个标有数字“3”的球，共有6种情况，n6 3P—